1、定義定義 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內有定義，當域內有定義，當y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應地函數有增量時，相應地函數有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數此極限為函數),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導數，記為偏導數，記為一、偏導數一、偏導數同理可定義同理可定義函數函數),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數，的偏導數， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00y

2、yxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函數如果函數),(yxfz 在區域在區域D內任一點內任一點),(yx處對處對x的偏導數都存在，那么這個偏導數的偏導數都存在，那么這個偏導數就是就是x、y的函數，它就稱為函數的函數，它就稱為函數),(yxfz 對對自變量自變量x的偏導數，的偏導數， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數同理可以定義函數),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數，記作數，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏導

3、數的概念可以推廣到二元以上函數偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數處的偏導數解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 設設yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyy

4、zxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立例例 3 3 設設22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想氣體的狀態方程已知理想氣體的狀態方程RTpV （R為常數） ，求證：為常數） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2

5、VRT pR RV . 1 pVRT 偏導數偏導數xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設設例例如如 有關偏導數的幾點說明：有關偏導數的幾點說明：、 求分界點、不連續點處的偏導數要用求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏導數存在與連續的關系、偏導數存在與連續的關系例如例如,函數函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數在該點

6、處并不連續但函數在該點處并不連續. 偏導數存在偏導數存在 連續連續.一元函數中在某點可導一元函數中在某點可導 連續，連續，多元函數中在某點偏導數存在多元函數中在某點偏導數存在 連續，連續，4、偏導數的幾何意義、偏導數的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設設yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏導數偏導數),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線xTM0對對x軸的軸的斜率斜率. 偏導數偏導數),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線yTM0對對y

7、軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數數),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數數為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數統稱為高階定義：二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數偏導數.高階偏導數高階偏導數例例 5設設13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz

8、2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函數圖形原函數圖形偏導函數圖形偏導函數圖形偏導函數圖形偏導函數圖形二階混合偏二階混合偏導函數圖形導函數圖形觀察上例中原函數、偏導函數與二階混合偏導觀察上例中原函數、偏導函數與二階混合偏導函數圖象間的關系：函數圖象間的關系：例例 6 6 設設byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導導數數.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函數如果函數),(yxfz 的兩個二階混合偏導數的兩個二

9、階混合偏導數xyz 2及及yxz 2在區域在區域 D D 內連續，那末在該區域內這內連續，那末在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等兩個二階混合偏導數必相等問題：問題：混合偏導數都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導數都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 6 6 驗證函數驗證函數22ln),(yxyxu 滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)

10、()(yxyxyxxyyuxu . 0 ),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數數對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數數對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數微分學中增量與微分的關系得由一元函數微分學中增量與微分的關系得二、全微分二、全微分 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx的某鄰域內的某鄰域內有定義，并設有定義，并設),(yyxxP 為這鄰域內的為這鄰域內的任意一點，則稱這兩點的函數值之差任意一點，則稱這兩點的函數值之差 ),(),(yxfyyxxf 為函數在點為函數在點 P對應于自變量增量對

11、應于自變量增量yx ,的全增的全增量，記為量，記為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關，有關，22)()(yx ，則稱函數則稱函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數稱為函數),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定義全微分的定義 函函數數若若在在某某區區

12、域域 D 內內各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數數在在 D 內內可可微微分分. 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數在該點連續函數在該點連續.事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數數),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續續. 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數數),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，則則該該函函數數在在點點),(yx的的偏偏導導數數xz 、yz 必必存存在在，且且函函數數),(yxfz 在在點點),(

13、yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 可微的條件可微的條件證證如如果果函函數數),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當當0 y時，上式仍成立，時，上式仍成立，此時此時| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函數在某點的導數存在一元函數在某點的導數存在 微分存在微分存在多元函數的各偏導數存在多元函數的各偏導數存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0

14、, 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當當 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函數在點函數在點)0 , 0(處不可微處不可微.說明說明：多元函數的各偏導數存在并不能保證全：多元函數的各偏導數存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定理定理（充分條件）如果函數（充分條件）如果函數),(yxfz

15、 的偏的偏導數導數xz 、yz 在點在點),(yx連續，則該函數在點連續，則該函數在點),(yx可微分可微分證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內，應用拉格朗日中值定理在第一個方括號內，應用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導數的連續性）（依偏導數的連續性）且且當當0, 0 yx時時，01 .其中其中1 為為yx ,的函數的函數,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函數故函數),(yxfz 在點在點

16、),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當當0 y時，時，02 ,習慣上，記全微分為習慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數.dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數的情況疊加原理也適用于二元以上函數的情況例例 7 7 計計算算函函數數xyez 在在點點)1 , 2(處處的的全全微微分分. 解解,xyyex

17、z ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 8 8 求函數求函數)2cos(yxyz ，當，當4 x， y，4 dx， dy時的全微分時的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 9 9 計計算算函函數數yzeyxu 2sin的的全全微微分分. 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 1010 試證函數試證函

18、數 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(連續且偏導數存在，但偏導數在點連續且偏導數存在，但偏導數在點)0 , 0(不連續，而不連續，而f在點在點)0 , 0(可微可微. 思路：按有關定義討論；對于偏導數需分思路：按有關定義討論；對于偏導數需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論.證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函數在點故函數在點)0 , 0(連續連續, )0 , 0(xfxfxfx )

19、0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf當當)0 , 0(),( yx時，時， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當當點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不連續不連續.同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續不連續.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點在點

20、)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df多元函數連續、可導、可微的關系多元函數連續、可導、可微的關系函數可微函數可微函數連續函數連續偏導數連續偏導數連續函數可導函數可導全微分在近似計算中的應用全微分在近似計算中的應用都較小時，有近似等式都較小時，有近似等式連續，且連續，且個偏導數個偏導數的兩的兩在點在點當二元函數當二元函數yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 1111 計算計算02. 2)04. 1(的近似值的近似值. 解解.),(yxyx

21、f 設函數設函數.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 偏導數的定義偏導數的定義偏導數的計算、偏導數的幾何意義偏導數的計算、偏導數的幾何意義高階偏導數高階偏導數（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導純偏導混合偏導混合偏導（相等的條件）（相等的條件）三、小結三、小結、多元函數全微分的概念；、多元函數全微分的概念；、多元函數全微分的求法；、多元函數全微分的求法；、多元函數連

22、續、可導、可微的關系、多元函數連續、可導、可微的關系（注意：與一元函數有很大區別）（注意：與一元函數有很大區別）若函數若函數),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續，能否斷定續，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導數必定存在？的偏導數必定存在？思考題思考題1思考題思考題1解答解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續續,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如, 函數函數),(yxfz 在點在點),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點在點),(00yx處連續；處連續；（2）),(yxfx

23、 、),(yxfy 在點在點),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 當當0)()(22 yx時是無窮小量；時是無窮小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 當當0)()(22 yx時是無窮小量時是無窮小量.思考題思考題2一一、 填填空空題題: :1 1、 設設yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設設 xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設設,

24、zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設設,arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習習 題題 1 5 5、設、設zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數的偏導數求下列函數的偏導數: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲

25、線曲線 4422yyxz, ,在點在點(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設設xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設五、設)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 驗證驗證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設七、設 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2cs

26、c22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習題練習題 1 答案答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4 . .四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx. .五、五、223231, 0yyxzyxz . .七、七、 0, 0; 0, 00, 0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,0, 12222yxxyyxyxxfxy. .一、一、 填空題填空題: :1 1、 設設xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數若函數xyz , ,當當1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時時, ,函數的全增量函數的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._