1、排列組合中幾個易混淆問題辨析文章來源：現代教育報 思維訓練 作者：王強芳 點擊數：1583更新時間：2007-4-12 14:25:58宴收藏此貢1 .分組問題分組問題是排列組合中的一個難點，主要有以下三種情況1 .1非平均分組問題在非平均分組問題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同【例1】 把12個人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數（1）分成甲、乙、丙三組，其中甲組7人、乙組3個、丙組2人（2）分成三組，其中一組7人、一組3人、一組2人解：（1）先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙組，則共有'-1. 1-丄 種不同的分組方法.（2）

2、先從12人中任選7人為一組有':種選法，再從余下5人中任選3人有'種選法，剩下的2人為一組，共有£論2土種不同的方法.【點評】 由于各組人數不同，這個問題屬于非平均分組問題，盡管第（1）個問題中給出了甲、乙、丙三個組，而第（2）個問題只是給岀了各組人數而沒有具體指定組名，但分組的方法數都是一樣的易錯點：誤把（1）的結果表示為1 .2平均分組冋題上面的非平均分組問題中，是否給岀組名對結果沒有影響，但在平均分組問題中一定要注意問題是否給岀 了具體的組名，它們的結果是不同的 .【例2】 有6本不同的書，按下列要求分配，各有多少種不同的分法？（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本

3、 .（2）平均分成三份.解：（1）從6本書中任取2本給一個人，再從剩下的4本中取2本給另一個人，剩下的2本給最后一空223222x'A3=C&CfiC2-人，共有QGGo種分法.（2）設平均分成三堆有 x種方法，再分給甲、乙、丙三人每人得2本，則應有15種不同的分法【點評】 上面例子可以看岀：兩個問題都是分成3堆，每堆2本，屬于平均分組問題，而（1）分到甲、 乙、丙三人，屬于到位問題，相當于給岀了甲、乙、丙三個指定的組，但（2）沒有給岀組名，因而結果是 不同的.一般地，把n、m個不同元素平均分到 m個不同的位置，有"種方法，把n、m種分法.個不同元素平均分成 m組有易

4、錯點：錯把（1）的結論寫為 C''-'-錯把（2）的結論寫為1 .3局部平均分組問題某些分組問題中，有一部分組之間的元素的個數相同，但又不是所有組的元素都相同，這樣的分組稱為局 部平均分組解決這問題同樣要考慮分組時是否給岀了組名【例3】（1）把6本不同的書分給4人，兩人各得1本，另外兩人各得2本，有幾種分法？（2）把6本不同的書分成4份，兩份各1本，兩份各2本，有幾種分法？解析：我們先來研究： 兩個無區別的白球與兩個無區別的紅球排成一排的方法數”問題.如果這4個球各不相同，則有種排法，由于白球和紅球各有-種排法，因此兩個白球與兩個紅球排成A一排的排法有中，下面來解決上述

5、問題.（1）可按下面步驟完成：先將6本書分成1本、1本、2本、2本4個部分，然后讓四個人去全排列取書，即有r 1'1 ' 止"種.（2）先把6本書分成1本、1本、2本、2本的4堆，由于兩個1本與兩個2本是無區別（沒有順序）的，因此，所求的分法數為I I i .11 .GGGC?。ㄒ卜N.【點評】 兩個問題同屬局部平均分組問題，但（1）中指定分給了4個人，相當于指定了組名，而（2）沒有給出組名，因此分組的情況是不相同的事實上，（1）中相當于把4本書分成兩份2本，兩份1本，共'- 種分配方法，然后把它分給4個人在元素相同的組中，若沒給出具體的組名，則必須除以相同元素

6、的組數的階乘，若把問題改為：把6本不同的書分成A、E、C、D四堆，其中A、E各2本，C、D各1本，則有幾種分法?該問題的分法有易錯點：誤把（2）中的結論表示為因此，在解決分組問題中，要弄清以下幾點：分配對象是否明確（組名是否給出）？ 是否平均分配? 是否局部平均分配？ 分配中有無順序關系?2. 擋板模型與分組問題擋板模型是解決排列組合問題的常用方法之一，且效果極佳，但有些分配問題如果不加分析而亂套擋板模 型，則極易岀現誤解.【例4】5個教師分配到3個班參加活動，每班至少1人，有幾種不同的分法?錯解：把5個老師排成一排，中間投入四塊擋板：0|0 |0 |0 |0,只要在4塊擋板中任取2塊，一共有

7、6種不同的方法.錯因:5個教師是互不相同的，而用擋板時，要求這些元素必須相同.即把問題改為：把5個名額分配給3個班,每班至少有1人.問有幾種不同的分法？5個名額是沒有區別順序的.可用擋板法解決.正解:先把5位老師分成三堆，有兩類：1、1、3和1、2、2分別有種，再分到三個班里，共有【點評】 類似上面的分配問題，當元素有區別時，要利用分組辦法解決，當元素無區別時，可用擋板模型來解決.3. 擋板模型與雙排問題在元素無區別分配問題中，通?？紤]用擋板模型來解決，但一定要注意題目給岀的條件，否則極易岀錯【例5】 從5個班中選10人組成一個籃球隊（無任何要求），有幾種選法？錯解：選把10個指標排好，插入9

8、塊擋塊：0|0 |0 |0 |0 |0 |0|0|0 |0然后在9塊擋板中任取4塊即可分成5份，有' =12 6種分法.錯因：問題并沒有給岀 每班至少1人”這個條件，而采用擋板解決時，實際上它就是要求每班至少有1人 參加.事實上，這10個名額可給一個班，也可給兩個班正解：因為把10個指標分成5個部分，只須4塊擋板，稱為第一類元素，10個指標為第二類元素，共14個元素.當這些元素都有區別時共有1 I ;種排法.M但10個指標，4塊擋板各組之間不管怎么變化，其實就是一種情況的共有""=10 01種不同分法（或'''C ）.【點評】當分組數超過3個

9、時，若沒有給岀每組至少有1個”這個條件時，是不能用擋板法解決的，而要用雙排列方法解決.而雙排問題就是把元素分成相同的兩類，然后加以解決兩類元素排列的問題涉及面很廣，它實質上就是有重復元素排列的一種簡單情形，在歷年的高考中時有岀 現，應予以重視.教平均分組與不平均分組有感西周中學周玲素學生在學習高二數學第十章排列、組合和二項式定理過程中，解答有關平均 分組與不平均分組的應用題時感到非常棘手，主要是難以理解、無法入手。作為 教師，如何突破這一難點呢？我吸取以往學生學習這塊知識點困難的教訓，根據 歷年來的教學經驗，決定對今年這屆高二學生采用新的教學方法，效果還真不錯。首先，在要上這塊內容的前一天，我

10、自擬了一道題，分15小題，題目簡潔明了,寫在小張練習紙上發給學生作預習工作。例：有6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人得 2本，有多少種方法？分成三堆，每堆2本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種方法？分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，甲得 4本，乙、丙各得1本，有多少種方法？分成三堆，一堆4本，另兩堆各1本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，一人 4本，另兩人各得1本，有多少種方法？分成三堆，共有多少種方法？分給三人，每人至少1本，共有多少種方法？(

11、11) 分成四堆，其中兩堆各1本，另兩堆各2本，有多少種方法？(12) 分給甲、乙、丙、丁四人，其中甲、乙各得 1本，丙、丁各得2本，有多少種 方法？(13) 分給甲、乙、丙、丁四人，其中兩人各得 1本，另兩人各得2本，有多少種方 法？)分成四堆，共有多少種方法？(15)分給四人，每人至少1本，共有多少種方法？從當天晚上學生預做情況來看，前幾題尚有點解題思路，越做到后來，頭腦就被 弄得稀里糊涂。我叢容學生大膽嘗試，無論結論正確與否，先按照自己對排列、 組合的理解，對每一題作出一個結論。即使有許多同學頭腦中理不清思路，從而 得不出一個結論，但最起碼對各小題都進行了認真的思考。其次，在第二天課堂上

12、師生共同對 15小題進行討論。分給甲、乙、丙三人，每人得 2本，有多少種方法？生：第小題中，先從6本書中任取2本給甲有C 62種方法，再從剩下4本書中 選出2本給乙有C 42種方法，留下最后2本給丙有C 22種方法，所以共有 C 62C 42C 22 種方法。師：肯定的答案是 C 62C 42C 22,那么第小題的答案呢？是不是也是C 62 C 42 C 22？分成三堆，每堆2本，有多少種方法?師生共同探討：若是按 C 62 C 42 C 22來取書，我們先把6本書進行編號，分別記 作本1、本2、本3、本4、本5和本6。取法可能有在步驟 C 62時取到本1和本2,接下來在步驟 C42時取到本3

13、和本4,最后在步驟C22取到本5和本6,結 果分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆；但也有可能先取到本 3和本 4，再取到本1和本2，最后取到本5和本6，結果也分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆?？梢娚鲜鰞煞N可能只能算一種，這說明按C 62 C 42C 22種算有重復。那第小題的答案應是什么呢？很明顯下述6種取法： 本1和本2本3和本4本5和本6 本1和本2本5和本6本3和本4 本3和本4本1和本2本5和本6 本3和本4本5和本6本1和本2 本5和本6本1和本2本3和本4 本5和本6本3和本4本1和本2實際上 分成本1和本2、本3和本4、本5和本6共三堆。在第小題中算 6 種，而在 第小題中算1種方法。不難得出第小題的答案應是C 62C 42C 22“本3和本/6種。為什么是除以6呢？不難發現三個量“本1和本24”、“本5和本6”的全排列共有 A 33個，所以第小題的答案應是C 62C 42C 22 / A