1、第六章 二次型將下列1-3題的二次型表示成矩陣形式。1.解：2.解：3.解：4.設元二次型的矩陣為階三對角對稱矩陣，試寫出二次型（二次齊次多項式）的表示式。解：。5.若二次型對一切恒有，證明為階零矩陣。證明：取(其中第個分量為1，其余分量全為零)，則有。再取(其中第和第個分量為1，其余分量全為零)，則有。所以，的個元素全為0，即為階零矩陣。6.設均為階對稱矩陣，且對一切有，則。證明：由，對一切恒有。利用上題結果得。7.設，且它們都是階實對稱矩陣，下列結論成立嗎？(1) ； (2) 解：(1)不成立；如，此時，與不合同。(2)成立。由(其中為可逆矩陣)，得，其中仍然可逆，所以結論成立。8.用正交

2、變換，將下列二次型化為標準形，并求正交矩陣：(1) 解：二次型對應的矩陣為的三個特征值為。由，求得對應的特征向量為由，求得對應的特征向量為由，求得對應的特征向量為因是分別屬于三個不同特征值的特征向量，故正交。單位化，令，有。(2) 解：二次型對應的矩陣為由，求得對應的特征向量為正交化，得再單位化，得由，求得對應的特征向量為單位化，令，則。9.設，求正交矩陣，使得為對角矩陣。解：利用7(2)分塊矩陣合同的結論，令，其中。對，存在可逆矩陣，使得；對，存在可逆矩陣，使得。不同特征值對應的特征向量已經正交，只需單位化。取，令 ，則有 。10.用配方法將下列二次型化為標準形，并寫出所用的坐標變換：(1)

3、 解： 令則這樣，二次型化為標準形，所用的坐標變換為，其中。(2) 解：因為二次型中沒有平方項，無法配方，所以先做一個坐標變換，使其出現平方項。根據，利用平方差公式，令則令則這樣，二次型化為標準形，所用的變換為和，即，其中，。(3) 解： 令 則 這樣，二次型轉化為標準形，所用的變換為，其中。11.用初等變換法將下列二次型化為標準形，并求相應的坐標變換。(1) 解：，則初等變換可以寫成于是，做坐標變換，其中，則二次型化為標準形。(2) 解：，則初等變換可以寫成于是，做坐標變換，其中，則二次型化為標準形。(3) 解：，則初等變換可以寫成于是，做坐標變換，其中，則二次型化為標準形。12.設為可逆矩

4、陣，且，問：對角矩陣的對角元是否都是的特征值？并說明理由。解：對角矩陣的對角元不一定都是的特征值，當為正交矩陣時，對角矩陣的對角元一定是的特征值。13.設階實對稱矩陣的秩為，試證明：(1)存在可逆矩陣，使得，其中。(2) 可表示為個秩為1的對稱矩陣之和。證明：(1) 實對稱矩陣存在正交矩陣，使得為對角矩陣，其中為的非零特征值。(2) 由(1)的結論，有，其中(第個元素為，其余元素全為0，)，則 ，其中是秩為1的實對稱矩陣，因為14.設階實對稱冪等矩陣()的秩為，試求：(1) 二次型的一個標準形；(2) .解：(1) 由課本P240例4可知，對階實對稱冪等矩陣，存在正交陣()，使得(1是重特征值

5、，0是重特征值)。令，則為二次型的一個標準形。(2) 由，得()，于是，且15.設階實對稱矩陣的正負慣性指數都不為零，證明：存在非零向量和，使得和。證明：設的正、負慣性指數分別為，則存在可逆陣，使得，其中1的個數為，(-1)的個數為。令，則。取(第個分量為1，其余分量全部為0)，(第一和第個分量為1，其余分量全部為0)，代入，則得。16.設是奇數階實對稱矩陣，且。證明：存在非零的向量，使。證明：若矩陣的全部(奇數個)特征值都小于或等于零，則的行列式(等于所有特征值的乘積)也小于或等于零，這與已知的矛盾。所以存在特征值(不妨設)。由于是實對稱矩陣，存在正交陣，當時，有。取，代入，則。或 設特征值

6、所對應的特征向量為，即，則。17.把11題中的二次型化為規范形，并求變換矩陣。解：(1) 令即故。又由于，所以做坐標變換，其中，二次型化為規范形為。(2) 令即故。又由于，所以做坐標變換，其中，二次型化為規范形為。(3) 令即故。又由于，所以做坐標變換，其中，二次型化為規范形為。18.對9題中的矩陣，求可逆矩陣，使成為規范形。解：在第9題中求出正交矩陣，使得。故，因此，取可逆矩陣使。19.證明6.3節末尾的結論(i)。證明：即要證“兩個實對稱矩陣合同的充要條件是有相同的正慣性指數和相同的負慣性指數”，首先證必要性。由慣性定理知，對于實對稱矩陣分別存在可逆矩陣，使得，其中。由于，故存在可逆矩陣，

7、使得，所以。因此，存在可逆矩陣和，將化為對角陣，由慣性定理知，故有相同的正慣性指數和相同的負慣性指數。充分性：有相同的正慣性指數和相同的負慣性指數，假設分別為和，故，其中有個，有個，其中有個，有個，由傳遞性知。20.證明6.3節末尾的結論(ii)。證明：即要證“全體階實對稱矩陣，按其合同規范形(不考慮的排列順序)分類，共有類”。不考慮的排列順序，只考慮其個數，和的個數不同其合同規范形就不同。假設其中有個，那么的個數可以為，共有種，故按其合同規范形(不考慮的排列順序)分類，共有類。21.判斷下列矩陣是否是正定矩陣：(1) ； (2) ； (3) .解：(1) 令，則的階順序余子式為，根據定理6.

8、6可知為正定矩陣。(2) 令，則的階順序余子式為，根據定理6.6可知不是正定矩陣。(3) 令，則的階順序余子式為，根據定理6.6可知為正定矩陣。22.判斷下列二次型是否是正定二次型：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) 設此二次型對應的矩陣為，則的階順序余子式為，根據定理6.6可知此二次型為正定二次型。(2) 設此二次型對應的矩陣為，則的階順序余子式為，根據定理6.6可知此二次型為正定二次型。(3) 設此二次型對應的矩陣為，則的階順序余子式為，根據定理6.6可知此二次型不是正定二次型。23.用正交變換法化二次型為標準形，并說明它是否正定。在的情況下求正交變換的矩陣。解：二次型對應的矩陣為，

9、由 得：(重)。由此可得正定。由于的每行行和均為，由(其中)得對應的特征向量為。當(重根)時，由的同解方程組，得對應的個線性無關的特征向量：。已經為正交向量組，只須單位化。令，則為正交陣，且為所求的標準形。24.對上題中時的二次型矩陣，求正定矩陣，使得.解：當時，取，則。所以。令正定矩陣，則。25.求下列二次型中的參數，使得二次型正定：(1) ；(2) .解：(1) 設此二次型所對應的矩陣為，若要使二次型為正定二次型，則要求的階順序余子式均大于零，即，由此可得。(2) 設此二次型所對應的矩陣為，若要使二次型為正定二次型，則要求的階順序余子式均大于零，即，由此可得。26.用矩陣的特征值和特征向量

10、的定義及正定二次型的定義，證明正定矩陣的特征值大于零。證明：設為正定二次型，則根據正定二次型的定義，對于任意的非零向量，恒有。設為矩陣的對應于的特征向量，則，于是，所以正定矩陣的特征值大于零。27.若是可逆矩陣，用定義證明：是正定矩陣。證明：，因為可逆，所以，且，因此，矩陣正定。28.設是正定矩陣，是實可逆矩陣，證明：是實對稱矩陣，而且也是正定矩陣。證明：由于，所以是實對稱矩陣。由于，即存在可逆矩陣，使得，根據合同的定義知與合同，故與具有相同的正慣性指數。由于是正定矩陣，所以的正慣性指數為，因此的正慣性指數也為，由此可得為正定矩陣。29.設是正定矩陣，證明的伴隨矩陣也是正定矩陣。證明：由于是正

11、定矩陣，所以的特征值均大于零，且，而的特征值為，故的特征值均大于零，所以也是正定矩陣。30.設均是階正定矩陣，都是正數，用定義證明也是正定矩陣。證明：由于均是階正定矩陣，所以對于任意的，。由于都是正數，所以，因此，也是正定矩陣。39.設是實對稱矩陣，證明：當充分大時，是正定矩陣。證明：設是實對稱矩陣，是的個特征值，則的個特征值是，這樣，當時，均大于零，故是正定矩陣。40.設階實對稱矩陣的特征值為，問：滿足什么條件時，為正定矩陣。解：的個特征值為，所以的個特征值為，則當時，均大于零，此時為正定矩陣。41.證明：因為正定，所以，存在可逆陣，使得.因為，所以，為實對稱陣。于是，存在正交陣(注意)，使

12、得,其中為的特征值。令，則于是，和都成對角形。42.設皆為正定矩陣，且，證明是正定矩陣。證明：顯然AB是對稱陣。下面證明AB是正定陣由于A正定，故對稱，因此存在正交陣C，使得B正定，根據28題可知也是正定陣，故存在正交陣D，使得，即 (1)對兩邊同時左乘，右乘D，可得，即 (2)(1)(2)兩式相乘即得由于為正定陣，故可以有歸納法得出的順序主子式均大于零，由此即可得到AB是正定陣。44.設是階正定矩陣，證明：。證明：將分塊為，其中。因為正定，的階順序主子式，所以，矩陣正定(也正定)，且可逆。對分塊矩陣做初等行變換，將矩陣化為上三角塊陣，即。上式兩邊取行列式(上三角塊矩陣的行列式等于對角塊的行列

13、式的乘積)，得。因為也正定，當時，有，所以。同理，在中，有，以此類推，得，其中，所以。45.設是階實可逆矩陣，證明：。證明：作，由于可逆，故由合同的定義可知，因此為正定矩陣，且，。又由44題結論可得，即。46.已知通過正交變換可化為標準形，試求參數及正交矩陣。解：設二次型對應的矩陣為，根據題設條件可得，故 。當時，的三個特征值為。由，求得對應的特征向量為由，求得對應的特征向量為由，求得對應的特征向量為因是分別屬于三個不同特征值的特征向量，故正交。單位化，令，有。當時，的三個特征值為。由，求得對應的特征向量為由，求得對應的特征向量為由，求得對應的特征向量為因是分別屬于三個不同特征值的特征向量，故正交。單位化，令，有。47.已知的秩為2.(1) 求； (2) 方程表示何種二次曲面。解：設二次型所對應的矩陣為，則，故，即。因此，。下面求的特征值：的特征方程為由此可得的全部特征值為。做正交變換，原二次型化為標準形，則方程表示橢圓柱面。48.設，為實數，為單位矩陣。求對角矩陣，使并問：為何值時，為正定矩陣。解：由于為實對稱矩陣，故由定理5.12知，存在正交矩陣，使得。下面求的特征值：的特征方程為，故的特征值為。因此，存在正交矩陣，使得。由于所以存在正交矩陣，使得，即。要使為