1、微專題24 數列的通項頁題恿幣君點!I合Ii忙£明考削；扣宴處真題感悟(2019 全國 II 卷)已知數列an和bn滿足 ai = 1, bi = 0, 4an+1 = 3an bn + 4, 4bn+1 = 3bn an 4.(1) 證明：an+ bn是等比數列，an bn是等差數列； 求an和bn的通項公式.1(1)證明 由題設得 4(an + 1 + bn+1)= 2(an+ bn)，即 an+1 + bn+1 = =2(an+ bn). 又因為a1 + b1= 1,1所以an+ bn是首項為1,公比為2的等比數列由題設得 4(an+1 bn+1)= 4(an bn) + 8,

2、即 an+1 bn+1 = an bn+ 2. 又因為a1 b1= 1,所以an bn是首項為1,公差為2的等差數列1解 由(1)知，an+ bn= ?n-1 , an bn = 2n 1,1 1 1所以 ；(an+ bn) + (an bn)=刁+ n 2,1 1 bn= 2【(an+ bn) (an bn) = ?n考點整合求通項公式的常見類型(1) 觀察法：利用遞推關系寫出前幾項，根據前幾項的特點觀察、歸納、猜想出an的表達式，然后用數學歸納法證明S1(n= 1),(2) 利用前n項和與通項的關系an=Sn S1(n2).(3) 公式法：利用等差(比)數列求通項公式.累加法：在已知數列a

3、n中，滿足an+1 = an+ f(n)，把原遞推公式轉化為an+1an = f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.疊乘法：在已知數列an中，滿足an+1 = f(n)an,把原遞推公式轉化為=f(n),an再利用疊乘法(逐商相乘法)求解構造等比數列法：在已知數列an中，滿足an+1 = pan + q(其中p, q均為常數， pq(p 1)工0)先用待定系數法把原遞推公式轉化為 an+i t = p(an t)，其中t =J，再利用換元法轉化為等比數列求解.| p焦點聚焦B類突的迥皿曲蛾熱點一 由Sn與an的關系求an【例1】(2018全國I卷)記Sn為數列an的前n項和若S = 2an

4、+1，貝U S6=解析 法一一因為Sn= 2an+ 1，所以當n= 1時，a1 = 2a1 + 1，解得a1 = 1;當 n = 2 時，a1 + a2= 2a2 + 1，解得 a2= 2；當 n = 3 時，a1 + a2 + a3= 2a3 + 1，解得 a3= 4；當 n = 4 時，a1 + a2 + a3 + a4 = 2a4 + 1，解得 a4= 8;當 n = 5 時，a1 + a2 + a3 + a4+ a5= 2a5 + 1，解得 a5= 16;當 n = 6 時，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2a6 + 1，解得 a6= 32.所以 S6= 1

5、 2 4 8 16 32= 63.法二 因為 Sn= 2an+ 1，所以當 n= 1 時，a1 = 2a1 + 1，解得 a1 = 1，1X (1 26)1 2當 n2 時，an= Sn 3t = 2an+ 1 (2an 1 + 1)，所以 an= 2an 1，所以數列an是以1為首項，2為公比的等比數列，所以an= 2n 1,所以S6=答案 -63探究提高 給出Sn與an的遞推關系求an,常用思路是：一是利用 3 Sn-1 = an(n2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.【訓練1】 設數列an的前n項和為Sn,已知ai= 1

6、, a2 = 2,且an+2 = 3S Sn+1 + 3, n N .證明：an+ 2= 3an ,并求 an.解 由條件，對任意nN ,有an +2 = 3Sn Sn+1+ 3, 因而對任意 n N , n2,有 an+1 = 3Sn-1 Sn+ 3.兩式相減，得 an+2 an+1 = 3an an+1, 即 an+2= 3an, n2.又 a1= 1, a2 = 2, 所以 a3= 3S1 S2 + 3 = 3a1 (a1 + a2)+ 3= 3a1,故對一切 n N*, an+2 = 3an.又因為anM0,所以an+ 2an3于是數列a2n1是首項a1 =1,公比為3的等比數列;數列

7、a2n是首項a2= 2,公比為3的等比數列.因此a2n1 = 3n1, a2n= 2X 3n1n 13t , n為奇數，所以an=n22X 3丁, n為偶數.熱點二“累加法”、“累乘法”求通項【例2】 已知數列an中，a1= 1,前n項和Sn=n+2an.求a2, a3；(2)求an的通項公式.4解 (1)由 S2=尹2得 3(a1+ a2)= 4a2，解得 a2 = 3a1 = 3.53由 S3= 3a3得 3(a1 + a2 + a3)= 5a3,解得 a3=?(a1+ a2) = 6.(2)由題設知a1 = 1.整理得畀A,anan-1因此an-1 an-2a3 a2n+1 na2 ai

8、= n- 1 n-24 32彳,化簡得 an =(n+1Ln ai=山+1當n= 1時也滿足上式，故an的通項公式為an=門"門：1)探究提咼形如an+1 = anf(n),求an.an采用累乘法：若已知ai且=f(n)(n2),則an- 1an- 1 an- 2an an 1a3 a2 ana2 ai=ai=f(n)f(n-1)f(3) f(2)，即 an = ai f(2) f(3) - f(n 1) (n).(2)形如 an+1 = an + f(n)，求 an.采用累加法：若已知 ai 且 an an-1 = f(n)(n2),則(an - an-1) + (an-i-an2

9、)+ (a3 a2)+ (a2 ai) = an- ai = f(n) + f(n- 1) + + f(3) + f(2),即 an= ai + f(2) + f(3)+ + f(n1)+ f(n).【訓練 2已知在數列an中，ai = 1, an= 2 3n 1 + an-i(n>2),則 an =,解析 因為an= 2 3n1 + an-i(n2),所以an-an-1 = 2 3n1(n2),由累加原理3 (1-3n1) 知 an ai = 2(3+ 32 + 33 + + 3n1)(n2)，所以 an = ai + 2 1-3=1 + 3n-3= 3n-2(n2),因為ai= 1也

10、符合上式，故an= 3n-2.答案 3n- 2熱點三用“轉化法”求an【例3 (2019蘇州模擬)在數列an中，已知ai = 2, an+1 = 3an+ 2n1,則數列an的通項公式是.解析 因為 an+1 = 3an + 2n 1,所以 an+1 + n+ 1 = 3(an + n),又 ai = 2,所以 anan+1 + n+ 1解an+1 =誥，兩邊取倒數得FT盤+ 1,an+1>0, an+ n>0,故=3,故an+ n是以3為首項，3為公比的等比數an+ n列，從而 an+ n = 3n，故 an= 3n n.答案 an= 3n n探究提高本題主要考查利用轉化思想構造

11、等比數列來求數列的通項公式本方法主要適用于給出遞推關系式的數列的通項公式的求解問題一般地，需要將所給出的遞推關系式進行轉化變形，構造出一個新數列，此新數列為等差數列或等 比數列，通過求出此新數列的通項公式后，再求出原數列的通項公式.常見的遞推關系的形式有：（1）an= pan 1 + q（其中p，q為常數，且pH0，pH 1），通過變q, q, qpan1形得an+= p an1 + p 1，從而構造出等比數列an+ p 1 ；2）an=p 1p 1p 1qan1 + r（其中p，q，r為常數），通過變形得右=p + q，令bn =右，則轉化為第（1）種an p an 1pan類型或等差數列來

12、求解.2an【訓練3】 在數列an中，已知a1 = 4，an+1 = 2+1，求數列&的通項公式1 1 1設 bn= an，貝U bn +1= qbn+1，貝U bn +1 2 = 2（bn 2），bn +1 21bn 2 = 2,171故bn 2是以b1 2 =當一2= 4為首項，2為公比的等比數列.bn 一 2 =1 n 122*+1得 an= qn+2 一 7【新題感悟】（2019蘇北七市高三一模）已知等差數列an滿足a4= 4,前8項和S8= 36.(1) 求數列an的通項公式；n(2) 若數列bn滿足石 1 (bka2n+1-2k) + 2an= 3(2n 1), (n N*

13、). 證明：bn為等比數列； 求集合 (m, p) 倉=詈，m, p N* .解(1)設等差數列an的公差為d.因為等差數列an滿足a4 = 4,前8項和&= 36,a1 + 3d= 4,a1 = 1,所以 8X 7 ，解得8a1 + 2d = 36d =.所以數列an的通項公式為an= n.證明 設數列bn前n項的和為Bn.n由(1)及葛(bka2n+12k) + 2an = 3(2n 1), (n N*)n3(2n 1)=袒 1 ( bka2n+12k) + 2n,n 1(n>2).3 (2n 1 1)=kk21(bka2n-1-2k) + 2 (n 1)由一得3(2n 1)

14、 3(2n1 1)= (b1a2n- 1+ b2a2n 3+ bn 1 a3 + bna1 + 2n) (b1a2n-3 +b2a2n 5+ bn-1a1 + 2n 2)=b1(a2n-3+ 2)+ b2(a2n-5+ 2)+ bn-1(a1 + 2) + bn a1 + 2n(b1a2n3 + b2a2n5+ bn1a1 + 2n- 2)=2(b1 + b2+-+ bn-1) + bn+ 2 = 2(Bn bn) + bn+ 2.所以 3 2n1 = 2Bn bn+ 2(n2, n N*),又3(21 1) = b1a1 + 2,所以b1= 1,滿足上式.所以 2Bn bn + 2 = 3

15、2n 1(n N*).當 n2 時，2Bn-1 bn-1 + 2= 3 2n2,由一得，bn+ bn-1 = 3 2n2.bn 2n1 = (bn-1 2n2) = -= ( 1)n1(b1 20) = 0,所以 bn= 2n1,bn+1bn所以數列bn是首項為1,公比為2的等比數列.由 am 3ap 得 m 3p 即 cp-m 3p由bm二瓦，得尹二尹，即1 2二m記 6=bn，由得，6=bn=21，所以"CJ = 2n W 1 ,所以Cn> cn +1（當且僅當n= 1時等號成立).由誥=3bP，得曲=3Cp>Cp,所以mv p.設 t=p m（m, p, t N*）

16、，由 2p-m =晉，得3tm=2.當t= 3時,m= 3,不合題意；此時p = 8符合題意;m= 6,不合題意;12m= 13V1,不合題意.t>4, t N*時，m= t3t v 1.2 3不妨設 f(x) = 2x 3x 3(x>4),則 f'x) = 2xln 2 3> 0,所以f(x)在4,+x)上單調遞增，所以 f(x)f(4)= 1> 0,*3t所以當t>4, t N時，m= 23v 1，不合題意. 綜上，所求集合(m, P)1畫=譽 m, p N* = (6 , 8).專題圳練時接高割郴一、填空題1. 已知數列an的首項為1,且滿足an =

17、 3Sn(n2, n N*),則前n項和Sn =1 1 1所以S2= 2$,所以Sn= 2Sn 1( nA 2),故數列Sn是以1為首項，為公比1 n 1的等比數列，所以Sn= 21 n 1 答案 -11 1 1 *2. 已知數列an滿足 ai= 1, an = ai + Ta2 +a3+an1(nA2, n N ),若2 3n ian= 2 004,貝U n=.11i*i解析因為 an= ai + 2a2 + 3a3+ +an1(nA2, n N*)，所以 an +1 = ai+?a2 3n 121 1 n+1 * n n1 + 3a3+ + an,兩式相減，得 an+1 = _an(nA2

18、, n N )，貝U an =x3 nnn 1 n 2n- 2-2a3 一 2XXn*又 ai = 1, a2= ai = 1,所以 an=2(n 2, n N ),所以 2 004=1 nx2，故 n = 4 008.答案 4 0083. 已知數列an滿足ai= 3,且an+i = 4an + 3(n N )，則數列an的通項公式為解析 由 an+1 = 4an + 3，得 an+1 + 1 = 4+ 1)，故數列an+ 1是首項為 ai + 1=4,公比為4的等比數列，所以an+ 1= 4n,所以an= 22n- 1.答案 an= 22n- 14. (2019南京、鹽城調研)在數列an中，

19、已知 ai = 1， an+1 = 2an+ 1，則ai0 =解析 由題意知an+1+ 1 = 2(an+ 1), 數列an+ 1是以2為首項，2為公比的 等比數列，an+ 1 = 2n， a an= 2n- 1.a ai0= 210 1 = 1 023.答案 1 0235. (2018鹽城三模)設數列an的前n項和為Sn,若Sn= 2an+ n(n N*)，則數列an的通項公式an=.解析 因為Sn= 2an+ n,所以當n= 1時，ai= Si = 2ai + 1,即ai = 1;當n2時，an = Sn Sn1 = (2an+ n) 2an i + (n 1) = 2an 2ani +

20、1,即 an = 2ani 1,an 1 所以 an 1 = 2(an1 1),又因為 a1 1 = 2工 0,故 an 1 1工 0,所以=an 1 12,所以數列an 1為首項a1 1 = 2,公比q = 2的等比數列，所以an 1 =2X 2n 1，即an= 1 2n,當n= 1時也成立.答案 1 2n6. 已知數列an中，a1 = 1, an +1 = a + 3(n N )，貝U an =解析因為an+1an1311an+ 3(n N ),所以 =1.設 +1 = 3 -" +1，所以 3tan+1 anan+1an11111111 3111=，解得t= 2,所以訂+1=3

21、懇+ 2 又£+1=1+1=3所以數列23 1133n2是以2為首項，3為公比的等比數列，所以缶+ 2= 2X 3n1=1，所以an=317. 設數列an滿足 a1 = 2, an+1 4an= 3X 2n+1,貝U an =解析 由 a1 = 2, an+1 4an = 3X2n+1,得: 器=3.設 bn =器，則 bn+1 = 2bn+ 3.設 bn+1 +1= 2(bn +1),所以 2t1= 3,解得 t = 3,所以 bn+1 + 3= 2(bn+ 3),bn+1 + 3a1所以=2.又b1 + 3= 2 + 3= 1 + 3 = 4,所以數列bn+ 3是以4為首項，2b

22、n + 32為公比的等比數列，所以bn+ 3= 4X 2n1 = 2n+ S所以bn= 2n+1 3,所以an= bn 2n= (2n+1 3) X 2n = 22n+1 3X 2n.答案 22n+1 3X 2n8. 已知正項數列an中，ai = 2, an+i = 2an+ 3x5n,則數列an的通項公式an=解析在an+1 = 2an+ 3x 5n的兩邊同時除以5n+1,an + 15n+12an=5x5"+an232令#= bn,則式變為bn+ 1 = £bn+ 5即卩bn + 1 - 1 = £(bn 1),所以數列bn 1a3232是等比數列，其首項為b

23、1 1 = a 1 = 3,公比為5,所以bn 1= - x -n 13，即 bn= 1 5X2 n 1所以常=1 3x2 n 13x2n 15=1 5，故 an= 5n 3x 2n1.答案 5n 3x 2n1二、解答題1n+19. (1)在數列an中，a1 = 1 , an+1 = 1 + n an+ ?n，求數列 an的通項公式;(2)已知正項數列an滿足 a1= 1, (n+ 2)an +1 (n+ 1)an + anan+1= 0,求通項 an.解(1)由已知得a1=1,且n+1=骨+寺,a?a11a3a21anan 111+尹二 2 + 22，2 3 n n 1十 2n1,an,11

24、1 亠1n 1+2+2+22+ 2*1 = 2 2門-1(n> 2).n-an = 2n 2門-1(n2),又a1= 1適合上式,n_-an = 2n ?n 1由(n+ 2)an+1 (n+ 1)an + anan+1 = 0,得(n + 2)an + 1an2 + 眶=n+ 1, an，所以an+1ann+ 1n + 2an + 1an舍去an an-1 an-1 an-2a2石a1n n-122n+ 1 n 3 n+ 1故數列an的通項公式an n+ .10. 已知數列an , bn滿足2Sn= n+ 2)bn，其中Sn是數列an的前n項和.2 1若數列an是首項為3,公比為一3的等比數列，求數列bn的通項公式;若bn= n, a2 = 3,求數列an的通項公式.2解(1)因為an 3n-11 n_-2 3 ,23 1-Sn =1-1 n3132Sn1-所以bn_ R_ 11 n 2.2 + 23 +若