1、 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點點1M移移動動到到點點2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示向向量量a與與b的的數數量量積積為為ba cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)實例實例兩向量作這樣的運算兩向量作這樣的運算, 結果是一個數量結果是一個數量.定義定義四、四、 兩向量的數量積兩向量的數量積ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數量積也稱為數量積也稱為“點積點積”、“內積內積”.結論結論 兩

2、向量的數量積等于其中一個向量的模兩向量的數量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積. .數量積符合下列運算規律：數量積符合下列運算規律：（1 1交換律：交換律：;abba （2 2分配律：分配律：;)(cbcacba （3 3假設假設 為為數：數： ),()()(bababa 假設假設 、 為數：為數： ).()()(baba 關于數量積的說明：關于數量積的說明：.|)1(2aaa 0)2( ba.ba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikk

3、jji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數量積的坐標表達式數量積的坐標表達式數量積的坐標表達式數量積的坐標表達式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為例例 1 1 已已知知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求求(1) ba ；(2) a與與b的的夾夾角角；(3) a在在b上上的的投投影影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222

4、222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 證明向量證明向量c與向量與向量acbbca)()( 垂直垂直.證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(.Pr,Pr,3),(1, 2,3,32. 3AjBjBAbababaBbaABA 求求設設例例28376)3()32(.22 bbaababaBA解解.3128Pr,3728Pr,31,3722 BBAAjABABjBBBAAABA.,593, 3,22,3,25babaqpqpbq

5、pa 求求已已知知例例qpqqppqpqpbababa 1236)6()6()()(2qpqp 123622qpba 6解解qpqqppqpqpbababa 402516)54()54()()(2qpba54 又又593 qp 129836qp 409258166 qp.15 ba則則 設設O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點點，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點點處處力力F與與OP的的夾夾角角為為 ，力力F對對支支點點O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系

6、.實例實例五、五、 兩向量的向量積兩向量的向量積LFPQO 向量向量a與與b的的向量積向量積為為 bac sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .關于向量積的說明：關于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.abc )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 證證ba/)(0sin . 0sin| bababa/或或0 向量積符合下列運算規律：向量積符合下列運算規律：

7、（1）.abba （2分配律：分配律：.)(cbcacba （3假設假設 為為數：數： ).()()(bababa 例例：已已知知,ba為為兩兩非非零零不不共共線線向向量量，求求證證：)()( baba)( 2 ba. .abbabbaababa )()(證證明明)2ba （,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式向量積的坐

8、標表達式zzyxbaaa 000, 0 yxaa幾何上幾何上|ba 表示以表示以a和和b為鄰邊為鄰邊的平行四邊形的面積的平行四邊形的面積.xb、yb、zb不能同時為零，但允許兩個為零，不能同時為零，但允許兩個為零，例如，例如，abbac 此式僅是一個記號此式僅是一個記號向量積還可用向量積還可用三階行列式表示三階行列式表示:zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出例例 4 4 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22

9、c|0ccc .5152 kj例例 5 5 在頂點為在頂點為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD |21BDS | AC. 5| BD例例6 設以向量設以向量 和和 為邊做平行四邊形，求平行為邊做平行四邊形，求平行四邊形中垂直于四邊形中垂直于 邊的高線向量。邊的高線向量。aba0,: auauabuaubu垂直于垂

10、直于則則設高線為設高線為解解aba u.,0)(:22aaabbuaabaaabaab 即即例例 7 7 設向量設向量pnm,兩兩垂直，符合右手規則，且兩兩垂直，符合右手規則，且4| m，2| n，3| p，計算，計算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，的最小值。的最小值。時，時，滿足關系式：滿足關系式：求當求當常數常數向量向量已知已知例例rcbacrcjibjia ),(,3,3cba 解解 sincb sinbr sinbar 10 ba又又. 1min rABODOD

11、babba cos解解ADbSbabaOAB 2sinADODSODA21 ODAS 42sin2sincos22 abbaba最大。最大。時，時，S4 bbabba 21面面積積最最大大？為為何何值值時時，夾夾角角當當證證明明：例例：已已知知向向量量ODAbabbabaSODAbOBaOAODA ,)2;2)1,2,2 bbabba 21定義定義 設已知三個向量設已知三個向量a、b、c，數量，數量cba )(稱為這三個向量的稱為這三個向量的混合積混合積，記為，記為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設設,kcjc

12、icczyx 混合積的坐標表達式混合積的坐標表達式六、向量的混合積六、向量的混合積（1向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個數，它的絕對值表的一個數，它的絕對值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關于混合積的說明：關于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已已知知2 cba， 計計算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)

13、()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例9例例 1 10 0 已已知知空空間間內內不不在在一一平平面面上上的的四四點點),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求求四四面面體體的的體體積積.解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .accbbacbaaccbbacb