1、試卷主標題姓名：_ 班級：_考號：_一、選擇題（共12題）1、 已知集合 ， ，則 = （    ） A B C D 2、 已知扇形的圓心角為 120° ，半徑為 3 ，則扇形面積為（    ） A B C D 3、 已知 ，則 （ ） A B C D 3 4、 把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度為 ，空氣的溫度是 ，那么 分鐘后物體的溫度 （單位 ）可由公式： 求得，其中 是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數 . 現有 100 的物體，放在 20 的空氣中冷卻， 4 分鐘后物體的溫度是 60 ，則再經過（ ）

2、分鐘，物體的溫度是 40 （假設空氣的溫度保持不變） . A 2 B 4 C 6 D 8 5、 已知函數 的最小正周期為 ，若將其圖象沿 軸向右平移 個單位，所得圖象關于 對稱，則實數 的最小值為（ ） A B C D 6、 如圖所示，在 中， 在線段 上， ， ， ，則邊 的長為（ ） A B C D 7、 已知 ，則實數 為（ ） A B 2 C D 8、 當函數 的圖象經過的象限個數最多時，實數 的取值范圍為（ ） A B C D 9、 下列有關說法正確的是（ ） A 當 時， B “ ” 是 “ ” 的必要不充分條件 C 若函數 的定義域為 ，則 D 命題 “ ， ” 的否定是 “ ，

3、 ” 10、 在 中，角 、 、 所對的邊分別為 、 、 ，已知 ， ，則下列說法正確的是（ ） A 若 ，則 無解 B 若 ，則 恰有一解 C 若 ，則 有兩解 D 若 ，則 有兩解 11、 已知函數 ，其中 是自然對數的底數，則下列說法正確的是（ ） A 是奇函數 B 是 的周期 C 在 上單調遞減 D 在 上有 2 個極值點 12、 函數 滿足 ，且在 上單調，若 在 上存在最大值和最小值，則實數 可以是（ ） A B C D 二、填空題（共4題）1、 函數 的圖象在 處的切線傾斜角為 135° ，則實數 _. 2、 函數 ，則不等式 的解集為 _. 3、 若函數 在 上單調遞

4、增，則 a 的取值范圍是 _ 4、 在 中，角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，且 ，則 的取值范圍是 _. 三、解答題（共6題）1、 已知角 的頂點與坐標原點 重合，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊過點 . （ 1 ）求 ， ； （ 2 ）若角 滿足 ，求 的值 . 2、 在 中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ，且 . （ 1 ）求角 的大小； （ 2 ）若 ，求 的值 . 3、 如圖，在三棱錐 中， 是正三角形， 是等腰直角三角形， ， . （ 1 ）求證： ； （ 2 ）若點 為 的中點，求 與平面 所成角的大小 . 4、 已知函數 ，其中 . （ 1 ）當

5、時，求 在區間 上的值域； （ 2 ）若關于 的方程 有兩個不同的解，求 a 的取值范圍 . 5、 已知橢圓 ： 的長軸為 ，動點 P 是橢圓上不同于 A ， B 的任一點，點 Q 滿足 ， . （ 1 ）求點 Q 的軌跡 的方程； （ 2 ）過點 的動直線 l 交 于 M ， N 兩點， y 軸上是否存在定點 S ，使得 總成立？若存在，求出定點 S ；若不存在，請說明理由 . 6、 已知函數 ， ， . （ 1 ）討論函數 的單調區間； （ 2 ）若對任意 都有 恒成立，求實數 的取值范圍 . =參考答案=一、選擇題1、 D 【分析】 先求解集合 ，再運算 . 【詳解】 ， ， 故選： D

6、 2、 B 【分析】 把圓心角化為弧度，然后由面積公式計算 【詳解】 故選： B 3、 D 【分析】 根據函數性質，代入自變量，結合指對數運算求得結果 . 【詳解】 ， 故選： D 4、 B 【分析】 根據題意將數據 ， ， ， 代入 ，可得 ，再將 代入即可得 ，即可得答案 . 【詳解】 由題意知： ， ， ， 代入 得： ， 解得 所以當 時， ， 解得： ， 所以 ， 所以再經過 分鐘物體的溫度是 40 ， 故選： B 【點睛】 本題主要考查了指數函數的綜合題，關鍵是弄清楚每個字母的含義，屬于中檔題 . 5、 B 【分析】 由周期求得 ，寫出平移后的函數解析式，然后代入 ，結合正弦函數對

7、稱軸得出 的表達式，再求出最小的正數 【詳解】 由題意 ，即 ，將其圖象沿 軸向右平移 個單位，得圖象的函數式為 ， 圖象關于直線 對稱，則 ， ， ， 因為 ，所以 的最小值為 故選： B 6、 D 【分析】 利用余弦定理求得 ，由此求得 ，進而求得 ，利用正弦定理求得 . 【詳解】 在三角形 中，由余弦定理得 ， 所以 ，由于 ， 所以 . 在三角形 中，由正弦定理得 . 故選： D 【點睛】 本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于中檔題 . 7、 A 【分析】 根據誘導公式、正弦、余弦的和角公式化簡原式為 ，由此可得答案 . 【詳解】 因為 ， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 所

8、以 ，所以 ， 故選： A. 8、 B 【分析】 令 ，求導函數，分 ， ， 三種情況，討論導函數的符號，得出所令函數的單調性，繼而得出函數 的圖象所經過的象限，再令 ，分析函數 的奇偶性，由此可得選項 . 【詳解】 解：令 ，則 ， 當 時， 的圖象經過第三、四象限，當 時，令 ，得 或 ， 當 時， 或 時， ， 單調遞減， 時， ， 單調遞增， 又 ，所以 的圖象經過第二、第三、四象限； 當 時， 或 時， ， 單調遞增， 時， ， 單調遞減， 又 ，當 時， 的圖象經過第一、第二、第三、四象限，共四個象限， 此時，解得 ； 令 ，則 ，且 ， 所以函數 是奇函數，且 ， 所以當 時，函

9、數 的圖象經過四個象限， 故選： B. 【點睛】 方法點睛：導數是研究函數的單調性和極值、最值問題、方程的根的問題、以及函數的圖象問題等重要而有效的工具本題就是以含參數 的函數解析式為背景，考查導函數知識在研究函數圖象、單調性、極值等方面的綜合運用和分析問題解決問題的能力 9、 BC 【分析】 對于 A ，舉例判斷即可，對于 B ，利用充分條件和必要條件的定義判斷即可，對于 C ，由 或 可求出 的取值范圍，對于 D ，特稱命題否定為全稱命題即可 【詳解】 對于 A ，令 ，則 ，所以 A 錯誤， 對于 B ，當 ， 時，有 ，而當 時，有 ，所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分條件，所以

10、B 正確， 對于 C ，因為函數 的定義域為 ，所以當 時，滿足題意，當 時， ，即 ，解得 ，綜上， ，所以 C 正確， 對于 D ，命題 “ ， ” 的否定是 “ ， ” ，所以 D 錯誤， 故選： BC 10、 ABC 【分析】 利用正弦定理求出 的值，然后根據三角形中大邊對大角及三角形的內角和為 求角 ，從而判斷三角形解的個數 . 【詳解】 選項 A ：由正弦定理，得 ，所以無解，選項 A 正確； 選項 B ：由正弦定理，得 ，所以 ，即 恰有一解，所以選項 B 正確； 選項 C ：由正弦定理，得 ，因為 ，且 ，所以 或 ，即 有兩解，所以選項 C 正確； 選項 D ：由正弦定理，得

11、 ，因為 ，所以 ，所以 ，即 有一解，所以選項 D 錯誤 . 故選： . 11、 AD 【分析】 根據奇偶性、周期性的定義判斷 AB ，利用單調性定義判斷 C ，根據導數知識判斷 D 【詳解】 ，函數為奇函數， A 正確； 由于 是周期為 的周期函數，但 不是周期函數，因此 ， 不是 的周期（實際上它不是周期函數）， B 錯誤； 且 的圖象是連續的，因此 在 上不是單調函數，所以 在 上不可能是減函數， C 錯誤； 在 上是減函數， 在 上是增函數，且 時， ， 設 ，則 ， ， ，所以 ， 即 ， 所以 在 上是減函數，無極值點（此時也可由 得 是減函數） ， 不是極值點 在 上， ，由

12、得 ， 是增函數， 是減函數， 所以 是增函數， 時， ， 時， ， 因此在 上， 有唯一零點 ， 時， ，所以 ， 遞增， 時， ，則 ， 遞減， 是 的一個極值點（極大值點），所以 在 上有一個極值點，而 是奇函數，因此它在 上也有一個極值點，因此在 上有兩個極值點 D 正確 故選： AD 12、 AD 【分析】 由條件可得 ，又利用余弦函數的性質可求 ，再結合條件得 或 ，即得 . 【詳解】 函數 在 上單調， ， ， 又函數滿足 ，且 ， 所以 為函數對稱軸， ，即 ， 故當 時， ， 當 時， 在 上存在最大值和最小值， 或 ， 或 . 故選： AD. 二、填空題1、 -2 【分析】

13、 求導函數，由已知得 ，解之可得答案 . 【詳解】 解：因為 ，所以 ，所以 ，解得 ， 故答案為： . 2、 【分析】 確定函數的奇偶性與單調性后，利用這些性質解不等式 【詳解】 顯然 ， 是偶函數， 時， 是增函數， 所以不等式 等價于 ，即 ， ， ，解得 故答案為： 3、 【分析】 函數 是由 和 復合而成，分別討論 和 時 的單調性，進而可得 在 上的單調性，再由 對于 恒成立，由二次函數的性質即可求解 . 【詳解】 函數 是由 和 復合而成， 當 時 單調遞增， 若函數 在 上單調遞增， 則 在 上單調遞增，且 對于 恒成立， 的對稱軸為 所以 解得： ， 當 時 單調遞減， 若函

14、數 在 上單調遞增， 則 在 上單調遞減，且 對于 恒成立， 的對稱軸為 所以 解得： ， 綜上所述： a 的取值范圍是 ， 故答案為： 4、 【分析】 由余弦定理，正弦定理得出 ，再由正切和角公式將 化為 ，根據角 B 的范圍可得出答案 . 【詳解】 由題意得 ，根據余弦定理得 ， 所以由正弦定理得 ，即 ，化簡得 ， 又 ，所以 ， 又 ， 所以 故答案為： . 三、解答題1、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）利用三角函數的定義求 ， ，對 用誘導公式轉化后求解； （ 2 ）由（ 1 ）先求出 ，利用兩角和的正切公式求出 . 【詳解】 解：（ 1 ） ， ， ， .

15、（ 2 ）由（ 1 ）得： . 即 【點睛】 (1) 三角函數值的大小與點 P （ x , y ）在終邊上的位置無關，嚴格代入定義式子就可以求出對應三角函數值； (2) 利用三角公式求三角函數值的關鍵：根據條件進行合理的拆角，如 等 2、 （ 1 ） （ 2 ） 【分析】 （ 1 ）利用正、余弦定理處理 ，即可得出答案（ 2 ）展開 ，結合 ，和第一問計算出的角 B 的大小，即可得出 A 的值，結合正弦定理 ，代入，即可 【詳解】 （ 1 ） 角 的對邊分別為 ，且 ， ， 由正弦定理得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， . （ 2 ） ， ， ， ， ， ， ， ， 由正弦定理得： ，

16、， ， . 【點睛】 本道題考查了正余弦定理，難度較大 3、 （ 1 ）證明見解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）取 的中點 ，連接 、 ，證明出 平面 ，再利用線面垂直的性質可證得結論成立； （ 2 ）以點 為坐標原點， 、 、 所在直線分別為 、 、 軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得 與平面 所成角的大小 . 【詳解】 （ 1 ）證明：取 的中點 ，連接 、 . 由題設可知， 是等腰直角三角形，且 ，則 ，所以 ， 因為 是正三角形，所以 ， 又 ，則 平面 ， 平面 ，因此， ； （ 2 ）在 中， ，又 ，而 ， 所以 ，故 ， 由題設及（ 1 ）知， 平面 ， 以點

17、為坐標原點， 、 、 所在直線分別為 、 、 軸建立空間直角坐標系，如圖所示， 則 、 、 、 . 為 的中點，得 ，故 ， ， ， 設 是平面 的法向量，則 ，即 ， 取 ，則 ， 因為 ， 所以 與平面 所成角的大小為 . 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 . 【分析】 (1) 代入化簡函數 ，根據正弦函數的值域可求得答案； (2) 將問題等價于 關于 有兩個不同的解分 和 兩種情況由一元二次方程的根的分布建立不等式組可求得 a 的取值范圍 . 【詳解】 (1) 當 時， ， 的值域為 ； (2) 關于 有兩個不同的解， ， 關于 有兩個不同的解， 設 在 有兩個不同的解， 當 ，不符合

18、題意 . 當 時， 在 內有兩個不同的解， 令 ， 或 . 【點睛】 本題考查正弦函數的值域，一元二次方程的根的分布，屬于較難題 . 在解決一元二次方程的根的分布問題時，常需考慮方程的根的判別式，對稱軸，方程所對應的二次函數的特殊點的函數值的正負等方面 . 5、 （ 1 ） （ ）；（ 2 ）存在， . 【分析】 （ 1 ）設 （ ）， ， ， ，根據 ， ，由 ， ，利用代入求解 . （ 2 ）設 ， ，假設存在這樣的點 , 當直線 l 的斜率存在時，設方程為 與橢圓方程聯立， 根據 ，由 ，結合韋達定理求解 . 【詳解】 （ 1 ）設 （ ）， ， ， ， ， ， ， ， 解得 代入 ， 得點 Q 的軌跡 的方程為 （ ） . （ 2 ）設 ， ， 假設存在這樣的點 滿足 ， 當直線 l 的斜率存在時，設為 ，代入橢圓 中， 得 ， ， ， ， ， ， 即 ， 即 , , ， ， ，即 ； 當斜率不存在時，直線 l 也過 . 綜上， y 軸上存在定點 ，使得 總成立 . 【點睛】 本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系以及定點問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題 .