1、 在時變場情況下，電場和磁場相互激勵，在空間在時變場情況下，電場和磁場相互激勵，在空間形成電磁波，時變電磁場的能量以電磁波的形式傳播。形成電磁波，時變電磁場的能量以電磁波的形式傳播。 電磁場的波動性可用電磁場滿足的波動方程來描電磁場的波動性可用電磁場滿足的波動方程來描述，而波動方程是將麥克斯韋方程組進行適當變化后述，而波動方程是將麥克斯韋方程組進行適當變化后得到的。得到的。第第4章時變電磁場章時變電磁場4.1 波動方程波動方程時變電磁場具有波動性，其波動方程與一般波動方程相似，時變電磁場具有波動性，其波動方程與一般波動方程相似，這是波動運動的共性。這是波動運動的共性。另一方面，電磁場的波動具有

2、個性，即它必須滿足麥克斯另一方面，電磁場的波動具有個性，即它必須滿足麥克斯韋方程。韋方程。 波動方程的建立波動方程的建立在無源空間中，電荷和電流處處為零，即在無源空間中，電荷和電流處處為零，即 0 0，J J0 0，電，電磁場滿足的麥克斯韋方程為磁場滿足的麥克斯韋方程為 ,0,0tt DBHEBD對第二式兩邊取旋度，并利用對第二式兩邊取旋度，并利用D D = = E E、B B= = H H，得，得 22tt EEB利用利用 和得和得 2 AAA0 DE222210vt EE同理：同理： 222210vt HH1v 電磁場波動方電磁場波動方程，典型的三程，典型的三維波動方程維波動方程 波動方程

3、解的一般形式波動方程解的一般形式 求解三維方程比較困難，且解的物理意義不易理解。下面求解三維方程比較困難，且解的物理意義不易理解。下面將方程簡化，再進行求解和分析。設強度將方程簡化，再進行求解和分析。設強度E E只與只與z z和時間和時間t t有關，有關，其方向沿其方向沿x x方向，即方向，即 ( , )xE z t Ee222221( ,)( ,)0E z tE z tzvt一維波動方程一維波動方程 ( ,)( ,)( ,)zzE z tEz tEz tftftvv 解的函數形式解的函數形式 變量變量 波動方程解的詮注波動方程解的詮注 電磁場的波動性電磁場的波動性 現在關心函數變量現在關心函

4、數變量 。ztv ( ,)zEz tftv 考慮第一項考慮第一項 代表的物理意義。代表的物理意義。0ztv 設設f f+ +的波形當變量的波形當變量 時為最大值。令波形最大值的時為最大值。令波形最大值的位置為位置為z=zz=zmaxmaxt00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z不同時刻波形最大值出現的位置不同時刻波形最大值出現的位置t t=0=0，z zmaxmax=0=0；t=t1 0，zmax= vt10； 沿沿z z方向傳播方向傳播 max1212zvtvtvttt圖形移動速度，即電磁波速度圖形移動速度，即電磁波速度 t=t2 t1，zmax= vt2vt10；t5vt5波動方程

5、及其解的進一步說明波動方程及其解的進一步說明 同理可得第二項表示沿同理可得第二項表示沿- -z z方向傳播的波方向傳播的波 波動方程的解代表兩個沿相反方向傳播的波，具體選擇視具波動方程的解代表兩個沿相反方向傳播的波，具體選擇視具體情況而定體情況而定 三維波動方程的解仍然代表傳播的波，但無法用圖形描繪三維波動方程的解仍然代表傳播的波，但無法用圖形描繪 滿足波動方程的電磁場，以振蕩形式在空間中傳播，形成電滿足波動方程的電磁場，以振蕩形式在空間中傳播，形成電磁波，其傳播速度為磁波，其傳播速度為 ，真空中，真空中 1v 80013 10/vcm s 4.2 電磁場的位函數電磁場的位函數 在靜態場中引入

6、了標量位和矢量位，分別描述電場和磁場，在靜態場中引入了標量位和矢量位，分別描述電場和磁場，簡化了對電場和磁場的分析過程。對于時變電磁場，也可以引簡化了對電場和磁場的分析過程。對于時變電磁場，也可以引入位函數來描述。入位函數來描述。4.2.1 矢量位和標量位矢量位和標量位0 BBAA矢量矢量由， 稱為由， 稱為位函數位函數。0ttt BAAEEE再由再由標量位函數標量位函數t ABAE引入引入A A和和 的意義在于簡化電磁場的求解過程，特別是對于復的意義在于簡化電磁場的求解過程，特別是對于復雜的輻射問題，引入位函數可以大大簡化。雜的輻射問題，引入位函數可以大大簡化。注意，這里定義的矢量位注意，這

7、里定義的矢量位A A和標量位和標量位 不是惟一確定的，對于不是惟一確定的，對于同樣一組同樣一組E E和和B B，還可以用另一組位函數來表示，即有，還可以用另一組位函數來表示，即有t AAA，其中為任意標量函數，其中為任意標量函數 tttt AAABAAAE+=+=顯然不同的位函數對應同樣的電磁場。由于顯然不同的位函數對應同樣的電磁場。由于 是任意標量，是任意標量，所以同樣電磁場的位函數有無數多組，即電磁場的位函數具有所以同樣電磁場的位函數有無數多組，即電磁場的位函數具有不確定性。不確定性。位函數的不確定性來源于只給定了矢量位位函數的不確定性來源于只給定了矢量位A A的旋度，對其散的旋度，對其散

8、度沒有任何限制。只有同時給定矢量場的旋度和散度，才能惟度沒有任何限制。只有同時給定矢量場的旋度和散度，才能惟一確定這個矢量場。所以，必須對矢量位一確定這個矢量場。所以，必須對矢量位A A的散度作出限制。的散度作出限制。0t A 洛侖茲條件洛侖茲條件在電磁場工程中，通常規定矢量位在電磁場工程中，通常規定矢量位A A的散度為的散度為或規定矢量位或規定矢量位A A的散度為的散度為0A庫侖條件庫侖條件tt AEBAEHJ將和代入，有將和代入，有22ttAJA222ttAAJA222tt AAAJt AEDDE再將代入，且利用 ，得再將代入，且利用 ，得2t A4.2.2 達朗貝爾方程達朗貝爾方程0t

9、A利用洛侖茲條件 ，得利用洛侖茲條件 ，得222222tt AAJ位函數滿足的達朗貝爾方程，是非齊次的波動方程。位函數滿足的達朗貝爾方程，是非齊次的波動方程。達朗貝爾方程和位函數的波動性達朗貝爾方程和位函數的波動性 電荷產生標量位波動電荷產生標量位波動 電流產生矢量位波動電流產生矢量位波動 離開源后，位函數以波動的形式存在并傳播，由此決定電磁離開源后，位函數以波動的形式存在并傳播，由此決定電磁場也以波動的形式存在和傳播場也以波動的形式存在和傳播222t 說明說明JtAA222 若應用庫侖條件，位函數滿足什么樣的方程若應用庫侖條件，位函數滿足什么樣的方程? 具有什么特點具有什么特點? 問題問題

10、應用洛侖茲條件的特點：應用洛侖茲條件的特點： 位函數滿足的方程在形式上是對稱位函數滿足的方程在形式上是對稱 的，且比較簡單，易求解；的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁場具有有限的傳遞速度；反映出電磁場具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標，標 量位只決定于量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出這對求解方程特別有利。只需解出A，無需，無需 解出解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。 電磁位函數只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數，應電磁位函數只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數，應 用

11、不同的規范條件，矢量位用不同的規范條件，矢量位A和標量位和標量位 的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。庫侖規范：庫侖規范： 位函數的規范條件位函數的規范條件0A 222AAJtt 2 不利點：不利點：磁矢位與電位函數不能分離！磁矢位與電位函數不能分離！問題：問題：u在時變電磁場中在時變電磁場中 位函數的作用位函數的作用？電磁場的波動方程電磁場的波動方程222JHHt 222J1EEtt 222AAJt 1At 位函數方程位函數方程AEt AB結論：結論：l 無源區兩種方法一樣簡單無源區兩種方法一樣簡單l 有源區位函數方程更簡單有源區位函

12、數方程更簡單4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 能量守恒定律是一切物質運動過程遵守的普遍規律，作為能量守恒定律是一切物質運動過程遵守的普遍規律，作為特殊形態的物質，電磁場及其運動過程也遵守這一規律。特殊形態的物質，電磁場及其運動過程也遵守這一規律。 本節將詳細討論電磁場的能量和能量守恒定律，引入重要本節將詳細討論電磁場的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析討論電磁場能量、電荷電的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析討論電磁場能量、電荷電流運動及電磁場做功之間的相互聯系。流運動及電磁場做功之間的相互聯系。 電磁能量問題有關概念電磁能量問題有關概念 電磁場的能量密度：電磁場能量

13、的空間分布用能量密度電磁場的能量密度：電磁場能量的空間分布用能量密度w w來來描述，它表示描述，它表示單位體積中電磁場的能量單位體積中電磁場的能量，通常是坐標與時間的，通常是坐標與時間的函數，即函數，即 ,wwt r 電磁場的能量流密度：電磁波電磁振蕩定向運動伴隨電磁電磁場的能量流密度：電磁波電磁振蕩定向運動伴隨電磁場能量移動，其流動情況用電磁場能量流密度場能量移動，其流動情況用電磁場能量流密度( (能流密度能流密度) )S S表表示。示。S S是矢量，數值為是矢量，數值為單位時間垂直流過單位面積的能量單位時間垂直流過單位面積的能量，方，方向為能量流動方向，一般是坐標和時間的函數，即向為能量流

14、動方向，一般是坐標和時間的函數，即 , t SS r 電磁場的能量流通量：通過面積電磁場的能量流通量：通過面積 的能量流通量為的能量流通量為 d S 電磁場對連續電荷系統做的功：電磁場對連續電荷系統做的功：dP v EJ EVPdV J E對單位體積電荷做功的功率對單位體積電荷做功的功率對體積對體積V V中電荷做功的功率中電荷做功的功率 電磁場對電荷系統做的功：電磁場中運動速度為電磁場對電荷系統做的功：電磁場中運動速度為v v的電荷的電荷q q受受到的電磁場作用力到的電磁場作用力 ，功率，功率qqFEvBPqF vv E 電磁場的能量守恒定律電磁場的能量守恒定律設區域設區域V V中電磁場能量隨

15、時間減少，由于能量守恒，減少的中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可能通過邊界能量可能通過邊界 流出，或因對流出，或因對V V中電荷做功而消耗，即中電荷做功而消耗，即 減少量減少量 = =流出量流出量 + + 消耗量消耗量 n E, H V 流出能量流出能量 VdwdVdt d SVdV J EVVdwdVddVdt SJ Ewt SJ E坡應廷定理坡應廷定理或或電磁電磁場能量守恒定理場能量守恒定理 用場量表示能量密度和能流密度用場量表示能量密度和能流密度能量密度和能流密度應該與電磁場場量有關，能量密度和能流密度應該與電磁場場量有關，w w和和S S可以用場可以用場量來表示。量來表

16、示。由由t DJH tttt DJ EEHEDEHHEEBDEHHE EHEHHEt BE與與坡坡應應廷廷定定理理比比較較wttt SEHDBEH坡應廷矢量坡應廷矢量1122emwww E DH B電磁場能量密度電磁場能量密度電場能量密度電場能量密度磁場能量密度磁場能量密度 定義：定義： ( W/mW/m2 2 )SH 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸的方向電磁能量傳輸的方向S 的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量 坡印廷矢量

17、（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O例例 一根長度為一根長度為l l、橫截面為、橫截面為S S的導線兩端電位差為的導線兩端電位差為U U，導，導線的電導率為線的電導率為 。求當電流流過導線時電場能量的損耗。求當電流流過導線時電場能量的損耗。解：解：當導線兩端存在電位差時，導線中會產生電場，即當導線兩端存在電位差時，導線中會產生電場，即 ,UUEJEll 222VSUdVSlE SlUPlR J EE E可見，電場對電荷做功導致電場能量消耗，電場能量通過做功可見，電場對電荷做功導致電場能量消耗，電場能量通過做功轉換為光、熱、機械能或其他形式

18、的能量。轉換為光、熱、機械能或其他形式的能量。 例例.1 同軸線的內導體半徑為同軸線的內導體半徑為a a 、外導體的內半徑為、外導體的內半徑為b b，其間填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為其間填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為U U ，導體中流，導體中流過的電流為過的電流為I I 。（。（1 1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸的功率；（傳輸的功率；（2 2）當導體的電導率）當導體的電導率為有限值時，計算通過內導為有限值時，計算通過內導體表面進入每單位長度內導體的功率。體表面進入每單位長度內導體的功率。同軸線同軸線

19、解解：（：（1 1）在內外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存）在內外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存在于內外導體之間的理想介質中，內外導體表面的電場無切向分在于內外導體之間的理想介質中，內外導體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環路定理，容易量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環路定理，容易求得內外導體之間的電場和磁場分別為求得內外導體之間的電場和磁場分別為,ln()UEeb a ()ab 2IHe 2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a 內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量電磁能量在內外導體

20、之間的介質中沿軸方向流動，即由電源流向電磁能量在內外導體之間的介質中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。負載，如圖所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）（理想導體情況） （2 2）當導體的電導率）當導體的電導率為有限值時，導體內部存在沿電流方為有限值時，導體內部存在沿電流方向的電場向的電場內內2zJIEea 根據邊界條件，在內導體表面上電場的切向分量連續，即根據邊界條件，在內導體表面上電場的切向分量連續，即因此，在內導體表面外側的電場為因此，在

21、內導體表面外側的電場為zzEE 外外 內2ln()zaUIEeeab aa 外2aIHea 外磁場則仍為磁場則仍為內導體表面外側的坡印廷矢量為內導體表面外側的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）22122320()d2 d2SaIIPSeSa zRIaa 外21Ra 式中式中 是單位長度內導體的電阻。由此可見，進是單位長度內導體的電阻。由此可見，進入內導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。入內導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。由此可見，內導體表面外由此

22、可見，內導體表面外側的坡印廷矢量既有軸向側的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如分量，也有徑向分量，如圖所示。圖所示。進入每單位長度進入每單位長度內導體的功率為內導體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸的，導體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸的，導體僅起著定向引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）

23、0t 2220EEt 222AAJt 11( )( E DH B)E J22E HStS 在以閉曲面在以閉曲面S S為邊界的有界區域為邊界的有界區域V V 內，內，如果給定如果給定t t0 0 時刻的電場強度和磁場強度時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在的初始值，并且在 t t 0 0 時，給定邊界面時，給定邊界面S S上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在 t t 0 0 時，區域時，區域V V 內的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。內的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界區域的時變

24、電磁場問題時，常常需要在給定的初在分析有界區域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥件下，有界區域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題?？怂鬼f方程的解的惟一問題。 惟一性問題惟一性問題VS 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件， 為電磁場問題的求解提供了理論依據，具有非常重為電磁場問題的求解提供了理論依據，具有非常重 要的意義和廣泛的應用。要的意義和

25、廣泛的應用。 場源（電荷或電流）以一定的角頻率場源（電荷或電流）以一定的角頻率 隨時間作正弦變化，隨時間作正弦變化，它所激發的電磁場也以相同的角頻率隨時間作正弦變化，稱為它所激發的電磁場也以相同的角頻率隨時間作正弦變化，稱為時諧場時諧場或或正弦場正弦場 廣播、電視和通信的載波，都是廣播、電視和通信的載波，都是時諧波時諧波或稱或稱正弦電磁波正弦電磁波 即使電磁場不是正弦場，也可以通過富里葉變換展開成正弦即使電磁場不是正弦場，也可以通過富里葉變換展開成正弦場來研究。所以，研究正弦場具有普遍意義場來研究。所以，研究正弦場具有普遍意義 復數表示法可以使大多數正弦場問題得以簡化，但有時仍需復數表示法可以

26、使大多數正弦場問題得以簡化，但有時仍需用實數形式（稱為瞬時表示法），所以經常會遇到兩種表示法用實數形式（稱為瞬時表示法），所以經常會遇到兩種表示法的互換的互換 另外，對于能量密度、能流密度等含有場量的平方關系的物另外，對于能量密度、能流密度等含有場量的平方關系的物理量（稱為二次式），只能用瞬時的形式來表示理量（稱為二次式），只能用瞬時的形式來表示4.5 時諧電磁場時諧電磁場設是一個以角頻率設是一個以角頻率 隨時間隨時間t t作正弦變化的場量，它作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關系可以表

27、示成量，它與時間的關系可以表示成 ,Atr 0,cosAtAtrr式中的式中的A A0 0為振幅，為振幅， ( (r r) )為與坐標有關的相位因子。為與坐標有關的相位因子。利用三角公式利用三角公式實數表示法或瞬時實數表示法或瞬時表示法，瞬時場表示法，瞬時場 0,ReRe,jtAtA eAt rrr 其中其中 0,jjtjtAtA eeAe rrr 復數表示法復數表示法時間因子時間因子復振幅復振幅相位因子相位因子照此法，電場各分量照此法，電場各分量E Ei i（i i 表示表示x x，y y或或z z）可表示成）可表示成 0,ijtj tiiiEtEeE e rrr4.5.1 時諧電磁場的復數

28、表示時諧電磁場的復數表示 各分量合成以后，電場強度為各分量合成以后，電場強度為 0,jtj ttee rE rE rE 0jxxyyzzEEEe rE rarararE 復矢量，只與復矢量，只與坐標有關，與坐標有關，與時間無關時間無關 同理：同理： ,jtjtjtjttetetete D rD rB rB rH rH rJ rJ r對復數表示法的進一步說明對復數表示法的進一步說明 復數式用復數式用“”以示區別，但實際中以示區別，但實際中“”并不寫出來并不寫出來 復數式只是數學表示方式，不代表真實的場復數式只是數學表示方式，不代表真實的場 真實場是復數式的實部，即瞬時表達式真實場是復數式的實部，

29、即瞬時表達式 由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有關的部份就可表示場量關的部份就可表示場量 復數表示法與瞬時表示法的變換復數表示法與瞬時表示法的變換 0,costtE rEr瞬時表示法瞬時表示法 0,jtte rE rE復數表示法復數表示法 0je rE rE不含時間因子不含時間因子的復數表示法的復數表示法 0,jtte rE rE恢復時間因子恢復時間因子取實部得到瞬時表示法，即瞬時場取實部得到瞬時表示法，即瞬時場 000,ReRecosjtjj tteeet rrE rEEEr將復數形式表示的場量和電荷、電流，代入麥克斯韋方

30、程組，將復數形式表示的場量和電荷、電流，代入麥克斯韋方程組，可得正弦場的麥克斯韋方程組，如可得正弦場的麥克斯韋方程組，如 j tj tj tj tj teeeteje H rJ rD rJ rD r 消去時間因子消去時間因子 j H rJ rD r 略去略去“ ”j HJD同理同理0jj HJDEBBD4.5.2 復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程 對復數形式麥氏方程的說明對復數形式麥氏方程的說明 方程中的各量都不包含時間因子，各量均與時間無關方程中的各量都不包含時間因子，各量均與時間無關 因為因為 所以時間偏導數作用于復數形式所以時間偏導數作用于復數形式的場量時，相當于在場量前乘上的場

31、量時，相當于在場量前乘上j ，如如jtjtejet t ,tjtt E rE r例例1 已知時變場的電場強度為已知時變場的電場強度為 ，其中其中E Exmxm和和 k kz z為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量。為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量。 cosxxmzzjEk z Ee解：解： 2,RecosRecoscoscos2j txxmzjtxxmzxxmzz tjEk z eEk z eEk zt Eeee 例例.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz （2）

32、mm( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta 解解：（：（1 1）由于）由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkz j(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee E j(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee E jjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E （1）所以所以（2 2）因為）因為 cos()cos()kzttkz sin()cos()cos()22kztkzttkz jj 2jmmm( , )()sin()ecos(

33、)ekzkzxzaxxHx ze H ke Haa 故故 mm( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta 所以所以 mm()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza 實際的介質都存在損耗：實際的介質都存在損耗： 導電媒質導電媒質當電導率有限時，存在歐姆損耗當電導率有限時，存在歐姆損耗 電介質電介質受到極化時，存在電極化損耗受到極化時，存在電極化損耗 磁介質磁介質受到磁化時，存在磁化損耗受到磁化時，存在磁化損耗 損耗的大小與媒質性質、隨時間變化的頻率有關。一些媒質損耗的大小與媒質性

34、質、隨時間變化的頻率有關。一些媒質的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略4.5.3 復電容率和復磁導率復電容率和復磁導率 cjjjj HEEEE 導電媒質的等效介電常數導電媒質的等效介電常數 對于介電常數為對于介電常數為 、電導率為、電導率為 的導電媒質，有的導電媒質，有 cj 其中稱為復介電常數或復電容率，其虛部表示歐姆其中稱為復介電常數或復電容率，其虛部表示歐姆損耗。損耗。 電介質的復介電常數電介質的復介電常數 對于存在電極化損耗的電介質，有對于存在電極化損耗的電介質，有 稱稱為復介電常數或復電容率。其虛部為大于零的數，表示電介質為復介電常

35、數或復電容率。其虛部為大于零的數，表示電介質的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數。的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數。 cj 同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質 對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質，復介電常對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質，復介電常數為數為 +cj 磁介質的復磁導率磁介質的復磁導率 對于磁性介質，復磁導率數為對于磁性介質，復磁導率數為 ，其虛，其虛部為大于零的數，表示磁介質的磁化損耗。部為大于零的數，表示磁介質的磁化損耗。 cj 損耗角正切損耗角正切 工程上通常用損耗角正切來表示介質的損耗特性，其定義

36、工程上通常用損耗角正切來表示介質的損耗特性，其定義為復介常數或復磁導率虛部與實部之比，即有為復介常數或復磁導率虛部與實部之比，即有 tantantanem 電介質，磁介質，導電介質電介質，磁介質，導電介質 導電媒質導電性能的相對性導電媒質導電性能的相對性 導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導電媒質具有不同的導電性能。電媒質具有不同的導電性能。111 ，弱弱導導電電體體或或良良絕絕緣緣體體，一一般般導導電電體體，良良導導體體4.5.5 時諧場的位函數時諧場的位函數 在時諧時情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可在時諧時情況下，

37、矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復數形式，即以表示成復數形式，即j BAEA此時洛侖茲條件和位函數滿足的達朗貝爾方程變為此時洛侖茲條件和位函數滿足的達朗貝爾方程變為2222jkk AAAJ4.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 在時諧情況下，電磁場波動方程可寫成在時諧情況下，電磁場波動方程可寫成222200kkEEHH式中式中 ，此方程稱為亥姆霍茲方程，即時諧情況下的，此方程稱為亥姆霍茲方程，即時諧情況下的波動方程。對于有耗介質，有波動方程。對于有耗介質，有k cck 4.5.6 平均能量密度和平均能流密度平均能量密度和平均能流密度 時諧場中的二次式時諧場中的二次式電磁場能量密度和能

38、流密度的表達式中都包含了場量的平方電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方關系，這種關系式稱為二次式。關系，這種關系式稱為二次式。 二次式的表示方法二次式的表示方法二次式本身不能用復數形式表示，其中的場量必須是實數形二次式本身不能用復數形式表示，其中的場量必須是實數形式，不能將復數形式的場量直接代入。式，不能將復數形式的場量直接代入。 設某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為設某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為 00,cos,costttt E rErH rHr則能流密度為則能流密度為 200cost SEHEHr如把電場強度和磁場強度用復數表示，即有如把電場強度和磁場強度用復

39、數表示，即有 0,jtte rE rE 0,jtte rH rH 0020000ReReRecos 22jtjtjteeet rrrSEHEHEHEHr 00200ReRecosjtjteet rrSEHEHr先取實，再代入先取實，再代入 使用二次式時需要注意的問題使用二次式時需要注意的問題 二次式只有實數的形式，沒有復數形式二次式只有實數的形式，沒有復數形式 場量是實數式時，直接代入二次式即可場量是實數式時，直接代入二次式即可 場量是復數式時，應先取實部再代入，即場量是復數式時，應先取實部再代入，即“先取實后相乘先取實后相乘” 如復數形式的場量中沒有時間因子，取實前如復數形式的場量中沒有時間

40、因子，取實前先補充時間因子先補充時間因子 二次式的時間平均值二次式的時間平均值 能量密度和能流密度反映的是能量密度或能流密度在某一個能量密度和能流密度反映的是能量密度或能流密度在某一個瞬時的取值，是時間的函數瞬時的取值，是時間的函數 有時要關心在一個時間周期中的平均值，即平均能量密度和有時要關心在一個時間周期中的平均值，即平均能量密度和平均能流密度。這就是二次式的時間平均值問題平均能流密度。這就是二次式的時間平均值問題如電場和磁場都用實數形式給出，則平均能流密度為如電場和磁場都用實數形式給出，則平均能流密度為 20000011cos2TtdtT SEHEHrEH如果電場和磁場都用復數形式給出，

41、即有如果電場和磁場都用復數形式給出，即有 00,jtjttete rrE rEH rH001ReRe2 SEHEH *1Re2 SEH 000011Re22jtrjtree SEHEH同理，有同理，有 *11ReRe44emwww E DH B時間平均值與時間無關時間平均值與時間無關 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他 時變電磁場；而時變電磁場；而 只適用于時諧電磁場。只適用于時諧電磁場。 ( , )S r tav( )Sr 在在 中，中， 和和 都是實數形式且是都是實數形式且是 時間的函數，所以時間的函數，所以 也是時間的函數，反

42、映的是能流密度也是時間的函數，反映的是能流密度 在某一個瞬時的取值；而在某一個瞬時的取值；而 中的中的 和和 都是復矢量，與時間無關，所以都是復矢量，與時間無關，所以 也與時間無也與時間無 關，反映的是能流密度在一個時間周期內的平均取值。關，反映的是能流密度在一個時間周期內的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , ) tH r( , ) tE r( , ) tS rav1( )Re( )( )2SrE rHr( )E r( )H rav( )Srav01( )( , )dTttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 計算計算 ，但不能直，但不能直 接由接由 計算計

43、算 ，即，即av( )Srav( )Sr jav( , )Re( )ettS rSr( , ) tS rav( )Sr 關于關于 和和 的幾點說明的幾點說明( , )S r t( , ) tS r例例4.5.4已知無源空間中，電磁場的電場強度復矢量為已知無源空間中，電磁場的電場強度復矢量為 ，其中，其中k k和和E E0 0為常數。求為常數。求：H H、S S 和和S S平均平均。 0jkzyzE e Ee解：解：（1）由得）由得0j EH 0000011jkzjkzxxzjkEE eejz HEee（2 2）電場、磁場的瞬時值和玻應廷矢量為）電場、磁場的瞬時值和玻應廷矢量為 0000002200,Recos,Recoscoscoscosj tyj txyxzz tz eEtkzkEz tz etkzkEEtkztkzkEtkz EEeH