1、第3課時指數與指數幕的運算（3）導入新課思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數,這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數幕呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數）,有理數到實數并且知道,在有理數到實數的擴充過程 中，增添的數是一一實數對無理數指數幕，也是這樣擴充而來既然如此，我們這節課的主要內 容是:教師板書本堂課的課題（指數與指數幕的運算（3）之無理數指數幕思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數 的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾

2、種簡單的函數，如一次函數、二 次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們 必須學習實數指數幕的運算性質，為此，我們必須把指數幕從有理數指數幕擴充到實數指數幕 因此我們本節課學習：指數與指數幕的運算（3）之無理數指數幕，教師板書本堂課的課題 推進新課 新知探究 提出問題 我們知道'2 =1.414 213 56，那么1.41,1.414,1.4142,1.414 21,，是：2的什么近似值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,，是. 2 的

3、什么近似值？ 多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什么樣的規律?J2的過剩近似值55八的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.7381775225 4的近似值J2的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 2

4、9.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562 你能給上述思想起個名字嗎 ？ 一個正數的無理數次幕到底是一個什么性質的數呢？如5“,根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ 借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎 ？活動：教師引導,學生回憶,教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解 釋，可用多媒體顯示輔助內容：問題從近似值的分類來考慮，一方面從大于. 2的方向，另一方面從小于 2的

5、方向問題對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯問題上述方法實際上是無限接近，最后是逼近問題對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋問題在的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般討論結果： 1.41,1.414,1.4142,1.414 21,這些數都小于-2，稱】2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,這些數都大于-2 ,稱 2的過剩近似值 第一個表：從大于 2的方向逼近 2時,5 '就從51,5,51,42 ,51,415,5九4143 ,5141422，,即大于52的方向逼近5 2 第二個表：從小于2的方向逼近.2時,5 2

6、就從214 2,5 =414 21,即小于5 2的方向逼近5 2 從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面 5 2從2,5=414 21,即小于 5 2的方向接近 5 2 ,而另一方面 5 2從515,5142,51415,514143 Q1"1422，,即大于5 2的方向接近5 2,可以說從兩個方向無限地接近 5 2,即逼近5 2,所以5 2是一串有理數指數幕 51.4,51.41,51.414,5 1.414 2,51.414 21,，和另 一串有理數指數幕 51.5,5142,51415 ,51.4143 ,51.41422 ,按上述變化規律變化

7、的結果，事實上表示 這些數的點從兩個方向向表示 5 的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是 5 2 一定是一個實數，即 51.4<5 1.41<5 1.414<5 1.414 2<5 =414 21< <52 < <5 1422 <5 1.4143 <51.415<5 叫5 込2充分表明5 是一個實數. 逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識 根據我們可以推斷5 2是一個實數，猜測一個正數的無理數次幕是一個實數 無理數指數幕的意義：一般地，無理數指數幕aa （a>0, a是無理數）是一個確定

8、的實數.也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在 數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數我們規定了無理數指數幕的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數幕，那么，指數幕就從有理數指數幕擴充到實 數指數幕 提出問題（1 ）為什么在規定無理數指數幕的意義時，必須規定底數是正數？（2） 無理數指數幕的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數幕的運算法則相通呢？（3）你能給出實數指數幕的運算法則嗎 ？活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納對問題（1）回顧我們學習分數指數幕的意義時對底數的規定，舉例說明對問題（

9、2 ）結合有理數指數幕的運算法則 ，既然無理數指數幕 a a （a>0, a是無理數）是一個 確定的實數，那么無理數指數幕的運算法則應當與有理數指數幕的運算法則類似，并且相通對問題(3)有了有理數指數幕的運算法則和無理數指數幕的運算法則，實數的運算法則自然就得到了 討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1,那么a “是+1還是-1就無法確定了，這樣就造 成混亂，規定了底數是正數后，無理數指數幕aa是一個確定的實數，就不會再造成混亂.(2 )因為無理數指數幕是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行幕的運算，有理數指數幕的運算性質，同樣也適用于無理數指數幕類比有理數指數幕的運算

10、性質可以得到無理數指數幕的運算法則： ar as=a r+s (a>O，r，s 都是無理數). (ar)s=a rs(a>0，r，s 都是無理數). (a b) r=a rbr(a>O，b>O，r 是無理數).(3)指數幕擴充到實數后，指數幕的運算性質也就推廣到了實數指數幕實數指數幕的運算性質：對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： ar as=a r+s (a>0，r，s R). (ar)s=a rs(a>0，r，s R). (a b) r=a rbr(a>0，b>0，r R).應用示例思路1例1利用函數計算器計算.(精確到0.001 )3_

11、(1 ) 0.3 2七(2) 3.14 -3; ( 3) 3.1 4 ; ( 4) 3：活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數 值，對于(1 )，可先按底數0.3,再按鍵，再按幕指數2.1,最后按，即可求得它的值；對于(2)，先按底數3.14,再按LJ鍵，再按負號丨一鍵,再按3,最后按|一即可；對于(3),先按底數3.1,再按鍵再按3一4,最后按 即可；對于(4)，這種無理指數幕，可先按底數3,其次按IF鍵，再按鍵，再按3,最后按冋|鍵.有時也可按空生或土厠鍵,使用鍵上面的功能去運算.學生可以相互交流，挖掘計算器的用途.答案：(1) 0.3 2.1

12、 0.080; (2) 3.14-3 0.032;3(3 ) 3.1 4 2.336; (4) 3 3 P.705.點評：熟練掌握用計算器計算幕的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四舍五入法求近似值 ，若保留小數點后n位,只需看第(n+1 )位能否進位即 可.例2求值或化簡.(1) .a 4b23 ab2 (a>0,b>0)；12(*"4ab 1)(2) ( -) 2? (a>0,b>0);(0.1) 2(a3b 3)2.5 2、67 4/3； 6 4 2.活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數

13、則應使所化式子 達到最簡，對既有分數指數幕又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數幕的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數幕，要緊扣分數指數幕的意義和運算性質，對(2)既有分數指數幕又有根式，應當統一起來，化為分數指數幕，對(3)有多重 根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成 421211111424Va4b2V0=a2b2(a3b3)=a-2bab3=a 珂匯其.6 11. a( 3 )2+(2 )2,22+( 3 )2,22+( . 2 )2,并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律.解: (1)點

14、評：根式的運算常常化成幕的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示1(4)1( 4ab 1 )3(0.1) 2(a3b3)242 ?42102a 2 a 2b44=a°b°=2525點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數幕的定義把負指數化成正指數，另個方法是采用分式的基本性質把負指數化成正指數2.67 <3.6 4、2=.(.32)2(2,3)2(2、2)2=-、2 +2- -：.；3 -2+ - 2=0.點評：考慮根號里面的數是一個完全平方數，千萬注意方根的性質的運用1 1 例 3 已知 x= 1 (5 n -5 n),n N *,求(x+

15、1 x2 )n 的值.21 1活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然后再求值，要有預見性，5下與5 °具有對稱性，它們的積是常數1,為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示.x2=!(5-54n)2=l(5；-2450+51 £=(5 n +2+542n 八-4)11 -n _=(5+541h2-1.這時應看到1+x 2=1+ (n -5 n)2= 1 (5 n +5441)2,這樣先算出1+x 2,再算出1 x2，帶入即可.11 -解：將 x= (5n-52iiii- 1 - - 1 -n)代入 1+x 2，得 1+x 2=1+

16、-1 (5 n -5 n)2=丄(5 n +5441n n12 1所以(x+ .1 x )n= (5 n -521 1 1 1»4(5n 5n)2 : n1=-(5 n -52n)+1(5+521 1n) n=(5 n )n=5.點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法思路2(2)1253+(1)-2+3432例1計算:.61V 414 0.06253-()27(5 )01 1 1 2(-2x 4y 3)(3x 2y3)；1 1 1 1(x 2 -y 2 )+(x 4 -y 4).活動：學生觀察、思考，根式化成分數指數，利用幕的運算性質解題,另外要注意整體

17、的意識教師有針對性的提示引導，對(1)根式的運算常常化成幕的運算進行，對(2)充分利用指數幕的運算法則來進行，對(3)則要根據單項式乘法和幕的運算法則進行，對(4)要利用平方差公式先因式分解，并對學生作及時的評價解：4 0.0625(5 )014 +1-1 125 227 3=()2 +() 3+(0.062 5)485 2 13 3 34 41=()2 X- +() 3+(0.5)4+ -2 2 2 2531=+0.5+ 222=5；2 1 111-(2) 125 3 +()-2+343 3-() 32272 1 1=(5 3) 3 +(2 -1 )-2+(7 3) 3 -(3 -3) 33

18、 -3 -3 ( 1)=53 +2 -2 x(-1) +73 -33=25+4+7-3=33;1 11 2 11 12(3) (-2x 4y 3)(3x 2y3)=(-2 X3)(x4x° y1 11 23 1=6x4 2 ? y 3 3=-6x 4y3=6vx3 Vy;1 1 1 1 1 1 1 1(4) (x 2-y 2)(x7-y 4 )=(x 4 )2-(y 4 )2)(x-y 4 )1111 1 1=(x 4+y 4)(x4-y 4)(x4-y 4)1 1=x 4 +y 4 .點評：在指數運算中，一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式x2例2化簡下列各式2 x (1)(2)(

19、a 3+a -3)(a3-a-3) -：(a4+a-4+1)(a-a -1):活動：學生觀察式子的特點，特別是指數的特點，教師引導學生考慮題目的思路，這兩題要注意2分解因式，特別是立方和和立方差公式的應用，對有困難的學生及時提示：對(1)考查x2與x3的關系可知(x=2，立方關系就出來了，公式便可運用，對(2)先利用平方差，再利用幕的乘方轉化為立方差，再分解因式，組織學生討論交流解：(1)原式=2X232y23X- -2 一3y2 一 3X2424=x 3 (xy) 3 y 3424x 3 (xy) 3y 32(xy)23 xyxy(2)原式=:(a3)2-(a-3)2十(a4+a-4+1)(

20、a-a -1):4(a點評:2、22、2(a ) (a )=(a2 a2)(a4a4 1)_a 4 1)(a a 1) =注意立方和立方差公式在分數指數幕當中的應用a2/ 1 2(a )1T =a+a -1a a，因為二項和、差公式，平方差公式一3 1般在使用中一目了然，而對立方和立方差公式卻一般不易觀察到,a"=(a ")3還容易看出，對其1中夾雜的數字m可以化為'=m,需認真對待，要在做題中不斷地提高靈活運用這些公式的能力 知能訓練 課本P59習題2.1A組 3.利用投影儀投射下列補充練習11.化簡:(1+232 )(1+2116 )(1+218 )(1+21

21、14 )(1+22 )的結果是代丄(1-2 32 )-12B.(1-2132 )-11C.1-2 32132D(1-232 )2分析:根據本題的特點，注意到它的整體性,特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形1因為(1+232 )(1-2132 )=1-21兀，所以原式的分子分母同乘以(1-2依次類推，所以-12 2 )(112 3212 巧 1 2 1132 1=廠=；(1-2)-1.12五答案：A2.計算(2 -)°.5+0.19-2+(21027 )23-3n0+9-0.5+49 5 X2-4.125 -解：原式=()2+100+(27 )3 -3+4964121392 X

22、= +100+-3+16 51617+ =100.3163.計算 a 2 a 1 a 2 a 1 (a >1).解:原式=.(a 11)2( a 11)2a 1 1 |.a 11|(a >1).本題可以繼續向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習1 1 1 4.設 a>0，x= - (a n -a n)，則(x+ . 1 x2 )n 的值為21n)2.分析:從整體上看，應先化簡，然后再求值,這時應看到 解:1+x2=1+ l(an-a n)2=l(aa44這樣先算出1+x 2,再算出,1 x2將 x= !(an-a 芻代入 1+x 2，得 1+x 2=1 +21 (a41n-

23、an)2=l(an+a41n)2.所以（X+ - 1X2 )n =n)+i(an+a411 -丄(a n -a211n)+ 丄(a n +a217)n=a.答案：a拓展提升參照我們說明無理數指數幕的意義的過程，請你說明無理數指數幕 2 3的意義.活動：教師引導學生回顧無理數指數幕5 2的意義的過程，利用計算器計算出 3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算 2 3的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 2 3的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果解：3=1.73205080,取它的過剩近似值和不足近似值如下表J3的過剩近似值2 "的過剩近似值

24、J3的不足近似值2的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我們把用2作底數八3的不足近似值作指數的各個幕排成從小到大的一列數2=7 2=72 2=731 2=7319.同樣把用2作底數，73的過剩近似值作指數的各個幕排成從大到小的一列數：21.8