1、第三章導數與微分一、本章學習要求與內容提要（一）學習要求1. 理解導數和微分的概念及其幾何意義，會用導數（變化率）描 述一些簡單的實際問題.2. 熟練掌握導數和微分的四則運算法則和基本初等函數的求導 公式.3. 熟練掌握復合函數、隱函數以及由參數方程所確定的函數的一 階導數的求法.4了解高階導數的槪念，熟練掌握初等函數的二階導數的求法.5.了解可導、可微、連續之間的關系.重點導數的概念及其幾何意義，計算導數的方法，初等函數的二階導數的求法.難，占、 求復合函數和隱函數的導數的方法.（二）內容提要1. 導數的概念（1）導數，設函數y = f（X）在點“的某一鄰域內有定義，、當自變量x在點兀處 有

2、增量山（心工0）,兀+心仍在該鄰域內時，相應地，函數有增量 3 = /（兀+心）-/（兀），若極限1曲空=恤盛也上如存在，則稱/（X）在點竝處可導,并稱此極限值為/在點兀處的導數，記為曲，也可記為畑）或費dr x = x（） dx x = x0若極限不存在，則稱y = f（x）在點九處不可導.若固定叫，令X（| + Ar = X ,則當Av TO時，有x x（i ,所以函數/（x）在點兀處的導數廣（兀）也可表示為/（X）-/（%）x 一兀左導數與右導數 函數/(x)在點“處的左導數f(X)= lim豈=lim丿匹f小.Z Ar A"zkv 函數f(x)在點X。處的右導數£&

3、#39;(%)= lini = lim .門入 _<)_ /乞).Avzlv 函數f(x)在點入處可導的充分必要條件是f(x)在點X。處的左導數和右導數都存在且相等.2. 導數的幾何意義(1) 曲線的切線在曲線上點M的附近，再取一點作割線MM,當點沿曲線 移動而趨向于M時，若割線MM】的極曲位置MT存在，則稱直線MT為 曲線在點M處的切線.(2) 導數的幾何意義函數y = /(x)在點處的導數表示曲線y = /(x)在點(x0 ,/(x0)處的切 線斜率.關于導數的幾何意義的3點說明： 曲線y = /(A)±點(勺,兒)處的切線斜率是縱標變量V對橫標變量 X的導數.這一點在考慮

4、用參數方程表示的曲線上某點的切線斜率時 優為重要. 如果函數y = f(x)在點兀處的導數為無窮(即耙)韋=°°,此時.心)在兒處不可導)，則曲線)/(X)上點(“，兒)處的切線垂直于x軸. 函數在某點可導幾何上意味著函數曲線在該點處必存在不垂直 于x軸的切線.3.變化率函數的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時的極限， 即導數在科學技術中常常把導數稱為變化率(即因變量關于自變量 的變化率就是因變量關于自變量的導數).變化率反映了因變量隨著 自變量在某處的變化而變化的快慢程度.4. 可導與連續的關系若函數y = /(x)在點x處可導，則y = f (x)在點兀處一定連

5、續.但反過 來不一定成.立，即在點x處連續的函數未必在點;v處可導.5. 高階導數(1)二階導數函數y = /(x)的一階導數y = /V)仍然是X的函數，則將一階導數 ffM的導<2 ,數(廣(少稱為函數y = f(x)的二階導數,記為PM或*或需，即= (y7 或心=2凹dx1dx dxj"階導數(”-1)階導數的導數稱為n階導數(n=3, 4,n)分別記為rw, /(4>«,，嚴(力,/%),或 y， y，,yi, r,器 db d4ydn-'y d”y雙而'時'0' dZ，二階及二階以上的導數稱為高階導數.6 微分微分的定

6、義如果函數y = /(x)在點尤處的改變量)，= /(a+A¥)-/(a),可以表示 成4y = AZ+og), 其中。(Ar)是比心山TO)高階的無窮小，則稱函數在點x處可微， 稱A Ay為AV的線性主部，又稱A心為函數>-=f(x)在點x處的微分，記 為 dy 或 df(x),即 dy = AAx.微分的計算df (x) = fWdx,其中 dv = Av, a 為自變量.一階微分形式不變性對于函數/(«),不論“是自變量還是因變量，總有d/(n)=.廠(“)d"成 立.7. 求導公式微分公式表3. 1給出了基本初等函數的求導公式及微分公式.表31求導與

7、微分公式未孑公天V微分公為本等數導式 基初函求公O= J -C本等數分式 基初函微公o= c d1 川Z=dx1-X = )7X1 .SXaIsX1 - X1 - XF inAGX2.3/n ta2n. ta ddA J« 2fecAsc (c2 .V1 一nd.v2 XI 一n-31"2X11+CLV2 .V1 +112 X1 +CLV2 X1 +對求導公式作如下兩點說明:(1) 求導公式表示函數f(pM對自變量兀的導數，即機0(旳dr 求導公式f9(px)表示函數f(p(x)對函數0(x)的導數，即&求導法則微分法則求導法則，微分法則見下表3. 2復合函數求導法

8、則參數方程求導法則隱函數求導法對數求導法表3.2求導與微分法則表求導法則微分法則函 數 的 四 則 運 算 求 導 法 則b心)± u(x)f = ux) ± ux)函 數 的 四 則 運 算 微 分 法 則d m(x) ± u(x) = dw(x) ± d u(x)«(X)L>(X)Z = llf(x)u(x) + ll(x)uf(x) 卜 u(x) = c ux)(c為常數)d du(x)u(x) = u(x)du(x) + w(x)dv(x) C"(x) = cd“(x)(C 為常數)9卩仕)_ ux)u(x)-u(x)u

9、Xx) (" 1，)“0) |_u ux)r ；"穿 To)LuMiT(x)dM(x)l u(x)dw(x)-M(x)dp(x) . m：、狀 g”o)/(x)tr(x)復 合 函 數 求 導 法 則設 y = /(w), u = <p(x),則復 合函數y = f<pM的導數為 dy _ dy dw dv dz/ ck復 合 函 數 微 分 法 則設函數y = f(u), u =(p(x),則函 數A = /(")的微分為dy = fu)du，此 式又稱為一階微分形式不變性參數方程確定的函數的導數1若參數方程X =(pt確定了，是X的函數，則dy_示

10、或d)'_f b = 0(f)dv d.vdx (P (r)反 函 數 求 導 法 則設y = /«的反函數為X =(p(y),則廣(勸=J(0(y)HO)或dy_ 1(p (y)d.x dvd?9. 微分近似公式(1) 微分進行近似計算的理論依據對于函數y = fW ,若在點心處可導且導數廣(無)工0,則當|迥很小 時，有函數的增量近似等于函數的微分，即有近似公式Ay « dy.(2) 微分進行近似計算的4個近似公式設函數y = /3在點心處可導且導數廣(無)工0,當|心|很小時，有 近似公式Ay心dy ,即f(x0 + Ax) - /(x0) « /X

11、Xq )Ar , /g + Ay) a /(x0) + f (無)山，令 x0 + Ar = x,則fW a /(X。) + f(x0)(x特別地，當x°=0,閏很小時，有/(g/(0) + f(0)x .二、主要解題方法1用導數的定義求函數導數的方法例1 求y = Xy/x在X = 0處的導數.解由導數的定義知廣(0) = lim /(0 + 心)_/(0)=亦心屆 一 0 =恤屆=° .Av->0/yAv-><)/yAxtO例2求/(A) 4，n(1 + A)?，的導數.x, x <0解當 x>0時，fx)=,1 + x當xvO時，廣=1,

12、 當“0時，八?？喴蝗绾?一/®,D X 0jX所以 /：(0) = lim 匚 = 1,X” X人(0) = lim 山"+ ')_2 = jm ln(l + x)： = In e = 1, xtO*x.t-M)*因此廣(0) = 1,x > 0 ,x<0小結求分段函數的導數時，除了在分界點處的導數用導數定義求之外，其余點則仍按初等函數的求導公式求得.2. 用和、差、積、商及復合函數的求導法則求導的方法例3設求廣解心山丄i+2 -1 1 - 1 -i八兀)=尹一7宀*.3 o 3例 4設 y = ln(x + Jx +1)求 y".解利用復

13、合函數求導法求導，得yf = ln(x + y/x2 +l)r=(%+iyX + yjX2 +1 i +(VZTihX + y/X +11V?+i=rh7ll+TT(x2+in= 【I + r41 =X + yX + 1、/;r + 1小結 若函數變形后能簡化求導運算，應先簡化后再求導，在求 高階導數時更要注意這一點.另外，還要注意應用四則運算法則的前 提條件是：函數f(x)在點兒可導，否則法則失效.如y = 在x = 0點， 用四則運算法則求導，十(0)不存在，但由例1知y = x長在x = 0的導 數為0.對于復合函數，要根據復合結構，逐層求導，直到最內層求完， 對例4中括號層次分析清楚，

14、對掌握復合函數的求導是有幫助的.3. 對數求導方法例5已知尸厝詰'求八解 兩邊取對數，得：hy = - in x + hi(x2 -1)-2 ln(x - 2),X兩邊對同一自變量X求導，得丄 = 4(ln + hi(x2 -1)-2ln(x-2) +1丄+ 4,y xxx x" -1x-2,_計(，-1)1 ,如-1) .1.22 n小結 對數求導法適合兩類函數的求導：(1)幕指函數，(2)函數 是由幾個初等函數經過乘、除、乘方、開方構成的.4 隱含數的求導法例 6 已知 arctan = In Jx2 + y2,求 y"y解兩端對x求導，得 一1 (-/ = .

15、 1(7777/,i+(與yy2 y -_12x + 2y-yf宀 y，y2 J/+ b 2；,2，整理得(y + x)yr = y-x ，故 y1 =-一，y + x上式兩端再對x求導，得嚴 _(W - i)(y+x) - O'+i)(y - x)(y+A-)2_ yyr _ y + 燈 _ x _ yyr + q' - y+x(7w=2” - 2)，O + b '將y = 2代入上式，得y + x2v.ZZ-2v,y + x2 小 2”2b2 小2(F+b)(y + x)2U +y)3(y + Q“ *小結在對隱函數求二階導數時，要將F的表達式代入y"中，

16、注意，在)，"的最后表達式中，切不能出現；/.5.由參數方程所確定的函數的求導法例7設x = t-cost >求d2yy = sinr9dx2解=f(sin/)costfdx(r-cosr)1 + sm/d2yiyr d cos/dcostdrcost J 1 ( ) ()=()Jctv2dx dx 1+sm/ dr1 + sinrdx1 + sinr did/-sin/ (1 + sin/)-cos211-1(1 + sin/)21 + sin?(1-卜 sin f)' 小結求由參數方程所確定的函數的導數時，不必死記公式，可 以先求出微分dy、dr,然后作比值型，即作

17、微商.求二階導數時，應 dx按復合函數求導法則進行，必須分清是對哪個變量求導.6 求函數微分的方法例8求函數），=卅心的微分.解一 用微分的定義dy = ff（x）dx求微分, 有dy = (xe,ntanv)rdv = eIntanx +xe,nunA -sec2 xdx tanx5（i +2xsin 2x)dv.解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得dy = d(xe,nlanx) = edv + xde111= e!n(anxdx + xe!ntanxd(ln 口 切=elluanAcLv + xe,ntan v 1 d(tanx)tanxeIluanv(Lv + xe,n

18、tanx 1 dvtanx cos" x9 reIluanx(l+)djsin2x小結求函數微分可利用微分的定義，微分的運算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變量之間是怎樣的 復合關系，有時求微分更方便.7.利用微分求近似值例9 求sin 29°的近似值.解 設/（x） = siiix ,由近似公式/（心+心）心/（x0） +廣（心）心，得sin（x0 + 心）sin x0 + cosx0 Ar ,取x0 = , Ax =，則有6 180sin29° «! + （一一 ） = 0.4849 2 2 180例10 有一批半徑為1cm的

19、球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼, 厚度為0 .Olcm,估計每只球需要用銅多少克？（銅的密度為8.9滄）解 所鍍銅的體積為球半徑從lcm增加0.01cm時，球體的增量.故由 v = 7ir? 知，所 鍍 銅 的 體 積 為 341 /Av « dv =（兀廣）= 4兀 xO.Ol = 0.04jt ,3 ；=i質量為 m = 0.0471 8.9g = 1.2g 小結 利用公式/（“+心）/（%）+廠（兒）心計算函數近似值時，關 鍵是選取函數/（X）的形式及正確選取心，Ax. 般要求/（心）,/'（心）便 于計算，|心|越小，計算出函數的近似值與精確值越接近.另外，在計

20、算三角函數的近似值時，心必須換成弧度.8. 求曲線的切線方程例11 求曲線（x-l）2 + （y + -）2 = -的切線，使該切線平行于直線22x + y = 8 解 方程 （1）2+（，+2 =扌兩端對兀求導，得32 2丫2（x-l） + 2（y + -）y = 0,）“3 + 2y） = 2 2八 / =23 + 2y由于該切線平行于直線2x+y = &所以有2-2v=-2 , l-x = -(3 + 2y) , x-2y-4 = 0 , x = 4 + 2y.3 + 2y因為切線必在曲線上，所以，將x = 4 + 2y代入曲線方程得(4 + 2y)-l2+(y + |)2 =

21、|,5y2 + 15y+ 10 = 0 , y2 +3y+ 2 = 0,角牟之 y =1,兒=_2 ,止匕時 Xj = 4 +2x (_1) = 2,不=4 + 2 x (2) = 0, 切點的坐標為(2,-1), (0,-2),切線的斜率分別為.92 2x2 2x2 2 小2兒T =亓瓦2加三百=丁7'2-0 2= =_23 + 2 x (2) I因此得切線的方程分別為>+ 1 = -2(x - 2),即y + 2 = 2(x_0),即9. 求函數的變化率例12 落在平靜水面上的石頭，產生同心圓形波紋，若最外一圏 半徑的增大率總是6m/s,問2s末受到擾動的水面面積的增大率為多 少？解 設最外圏波紋半徑為r,擾動水面面積為S,則S = Tir2兩邊同時對/求導，得 = K.2r-drdr從而=2nr = 2nr x6 = 12 ?！?d*嘰-I"I心又 少三6為常數，故廠=6/ (類似于勻速直線運動路程與速度、時間的關系),因此兒=,=12,故有= 1271-12 = 14471(/).因此，2s末受到擾動的水面面積的增大率為1447l(m/).小結 對于求變化率的模型，要先根據幾何關系及物理知識建立 變量之間的函數關系式.若是相關變化率模型，求變化率時要根據復 合函數的鏈式求導法，弄清是對哪個變