1、l重點重點 (1) (1) 掌握用拉普拉斯變換分析線性電掌握用拉普拉斯變換分析線性電 路的方法和步驟路的方法和步驟 (2) (2) 網絡函數的概念網絡函數的概念(3) (3) 網絡函數的極點和零點網絡函數的極點和零點第第1414章章 線性動態電路的線性動態電路的 復頻域分析復頻域分析 拉氏變換法是一種數學積分變換，其核心是拉氏變換法是一種數學積分變換，其核心是把時間函數把時間函數f(t)與復變函數與復變函數F(s)聯系起來，把時域聯系起來，把時域問題通過數學變換為復頻域問題，把問題通過數學變換為復頻域問題，把時域的高階時域的高階微分方程微分方程變換為變換為頻域的代數方程頻域的代數方程以便求解。

2、以便求解。應用應用拉氏變換進行電路分析稱為電路的復頻域分析法，拉氏變換進行電路分析稱為電路的復頻域分析法，又稱運算法。又稱運算法。14.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義1. 拉氏變換法拉氏變換法2. 拉氏變換的定義拉氏變換的定義定義定義 0 , )區間函數區間函數 f(t)的拉普拉斯變換式：的拉普拉斯變換式： d)(j21)( d)()(0sesFtftetfsFstjcjcst正變換正變換反變換反變換s 復頻率復頻率F(s)稱為稱為f(t)的象函數，的象函數，f(t)稱為稱為F(s)的原函數。的原函數。拉氏變換把一個拉氏變換把一個時間域時間域的函數的函數f(t)變換到變換到s域域的復

3、的復變函數變函數F(s) 。js) s (L)( )(L) s ( FtftfF-1，簡寫3.3.典型函數的拉氏變換典型函數的拉氏變換 (1)單位階躍函數的象函數單位階躍函數的象函數 d)()(0tetfsFst)()(ttftettsFstd)()(L)(001stess10dtest(3)指數函數的象函數指數函數的象函數01)(taseasas1(2)單位沖激函數的象函數單位沖激函數的象函數00d)(tetst)()(ttftettsFstd )()(L)(010seatetf)( teeesFstatatdL)(014.2 14.2 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質1.1.線

4、性性質線性性質tetfAtfAstd )()(02211tetfAtetfAststd)(d)(022011)()(2211sFAsFA)()(2211sFAsFA)( )(L , )( )(L 2211sFtfsFtf若)(L)( L)()( L 22112211tfAtfAtfAtfA則)()( L 2211tfAtfA證證的象函數求)1 ()( : ateKtfj1j1j21ss22s例例1解解 asKsK-atKeKsFL L)(-例例2的象函數求) sin()( : ttf解解)(sinL)(tsF)(j21L tjtjee 根據拉氏變換的線性性質，求函數與常數根據拉氏變換的線性性質

5、，求函數與常數相乘及幾個函數相加減的象函數時，可以先求各相乘及幾個函數相加減的象函數時，可以先求各函數的象函數再進行相乘及加減計算。函數的象函數再進行相乘及加減計算。結論 )(assKa2. 2. 微分性質微分性質0)d)(0)(tsetftfestst)()0(ssFf)0()(sd)(dL fsFttf則：)()( L sFtf若：00)(ddd)(dtfetettfststttfd)(dL 證證uvuvvudd 利用0122ss22ss的象函數) (cos)( 1)( ttf例例解解)(cosd)dsin(ttt利用導數性質求下列函數的象函數利用導數性質求下列函數的象函數tttd)d(s

6、in1)(cos1 dLcosL(sin)dttt 的象函數) ()( 2)( ttf解解tttd)(d)(s1)(Lt101ssd)(dL)(Lttt3.3.積分性質積分性質) s ()(L Ftf若：) s (s1d)(L 0Fft則：證證應用分部積分法，有應用分部積分法，有000( )d( )dedttstfft L L000ee( )d( )d tststff ttss 000e1( )d( )ed tststff ttss 0只要只要s s的實部的實部取足夠大取足夠大1(s)sF ( )f tt 由于由于0( )( )dtf tt 201 11( )dtts ssLLLL求求 的象函

7、數的象函數例例解解4.4.延遲性質延遲性質tettfsttd)(00)(0sFest)()(L sFtf若：)()()( L 000sFettttfst則：tettttfttttfstd)()()()(L00000d)(0)(0tsef0 tt令延遲因子 0ste證證d)(00sstefe例例1求矩形脈沖的象函數求矩形脈沖的象函數解解根據延遲性質根據延遲性質1tf(t)o( )( )()f ttt 1( ) ts L L 1()stes L L 11( )( )()sf tttess LLLL1(1)ses 5.5.拉氏變換的卷積定理拉氏變換的卷積定理)()(L )()(L 2211sFtfs

8、Ftf若：)()( d )()(L)()(L 21t02121sFsFftftftf則：證證tftfetftfstdd )()()()(Lt0210211()0ttt 因為因為故故121200()( )() ()( )tf tfdf ttfd tx 令xeefxxfsxsdd )()()(0021 0201d )(d)()(ssxefxexxf)()( 21sFsFtfttfestdd )()()(0210()sts xee 14.3 14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開拉普拉斯反變換的部分分式展開 用拉氏變換求解線性電路的時域響應時，需要把用拉氏變換求解線性電路的時域響應時，需要把求得的響

9、應的拉氏變換式反變換為時間函數。求得的響應的拉氏變換式反變換為時間函數。由象函數求原函數的方法：由象函數求原函數的方法：(1)利用公式利用公式seFtfstjjd)s (j21)(cc(2)對簡單形式的對簡單形式的F(s)可以可以查拉氏變換表得原函數查拉氏變換表得原函數(3)把把F(s)分解為簡單項的組合分解為簡單項的組合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式部分分式展開法展開法 分解分解F(s)時，若時，若F(s)不是真分式，則需將其化為真不是真分式，則需將其化為真分式。若分式。若n m ，則化為真分式；若，則化為真分式；若n = m ，則，

10、則0( )( )( )NsF sAD s式中，第一項式中，第一項A是個常數，第二項是真分式。是個常數，第二項是真分式。)( )()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmm 象函數的一般形式象函數的一般形式利用部分分式可將利用部分分式可將F(s)分解為：分解為：nppns 10)(D (1)個單根分別為有若nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常數待定常數用部分分式展開真分式時，需要對分母多項式作因式用部分分式展開真分式時，需要對分母多項式作因式分解，這需要先求出分解，這需要先求出D(s)=0的根。其根有的根。其根有單根單根、共軛共軛復根復根和和重根重根幾種情況。

11、幾種情況。 兩邊同乘以兩邊同乘以(sp1) ，得，得21112() ( )()nnKKsp F sKspspsp 令令s = p1，得，得111() ( )s pKsp F s 同理求得同理求得222() ( )() ( )nnns ps pKsp F sKsp F s 故，計算待定系數得公式為故，計算待定系數得公式為() ( )1,2,iiis pKsp F sin 用求極限的方法確定用求極限的方法確定Ki的值，即的值，即()( )()( )( )()limlim( )( )()iiiiiispspisp N ssp N sN sN pKD sD sD p 111()( )( )ee1,2,

12、()nniiiiiiiptptN pf tF sKinD pL L解解【例】求【例】求 的原函數的原函數 f(t) 。324848( )1448(6)(8)ssF sssss ss31268KKKsssD(s) = 0的根的根為為123068ppp，求出各待定系數為求出各待定系數為10048( )168sssKsF sss388488( )2.56sssKsF ss s266486( )3.58sssKsF ss s3248( )1448sF ssss 或根據或根據求出各待定系數為求出各待定系數為( )1,2,( )iis pN sKinD s1200( )481( )32848ssN ssK

13、D sss2266( )483.5( )32848ssN ssKD sss3288( )482.5( )32848ssN ssKD sss則有則有13.52.5( )68F ssss查表可得出查表可得出168( )( )1 3.5e2.5ettf tF s L L322121( )710(2)(5)ssF sssss ss D(s) = 0的根為的根為123025ppp ，求出各待定系數為求出各待定系數為【例【例】求求 的原函數的原函數 f(t) 。3221( )710sF ssss 解解2( )31410D sss1120( )210.1( )31410sspN ssKD sss 20.5K

14、 30.6K 25( )0.10.50.6ttf tee所以所以jpjp21具有共軛復根若 0)( )2(sDK1、K2也是一對共軛復數也是一對共軛復數注意其待定系數為其待定系數為 1jj( )(j ) ( )( )ssN sKsF sD s 2jj( )(j ) ( )( )ssN sKsF sD s j2j1e e-KKKK設：121111jj11111(j)(j)jj(j)(j)()()( )eeeeeeeee2ecos()ttttttttf tKKKKKKt )( 523)( 2tfssssF的原函數求2 j121,p例例解解的根： 0522 ss1j41 j21( )30.5j0.5

15、0.5 2e( )22ss pN ssKD ss 1421|0.5 2jjKKee 有有1( )2ecos(2)2ecos(2)44ttf tKtt 可按前述方法確定單根的待定系數可按前述方法確定單根的待定系數K2、。為了確定為了確定K11、K12 、 K13 ，在上式兩邊同乘以，在上式兩邊同乘以 (s-p1)3 ，得，得321113()( )()spF sspK 321121112()()Ksp KKspsp 此時應含此時應含 (s-p1)n 的因式。設的因式。設 D(s) 中含有中含有 (s-p1)3 因式，因式，p1為為D(s)0 的三重根，其余為單根，則的三重根，其余為單根，則則則31

16、111()( )s pKspF s 具有重根若 0)( ) 3(sD1312112231112( )()()KKKKF sspspspsp33211131212dd()( )2()()ddKspF ssp KKspsssp 則則31211d()( )ds pKspF ss 同理同理再對上式兩邊求導，得再對上式兩邊求導，得2313121d()d2)1(s pKspF ss 可推論得出第可推論得出第q階階重根的待定系數計算公式重根的待定系數計算公式 11111d()( )d11qqqqs pKspF ssq ！1312112221232( )1(1)(1)KKKKKF ssssss 求待定系數求待

17、定系數3112111(1)( )1ssKsF ss 31223111dd12(1)( )2ddsssKsF sss ss 例例 求求 的原函數的原函數 f(t) 。321( )(1)F sss 解解令令D(s)=(s+1)3s2=0，有，有p1=-1為三重根，為三重根， p2=0為為二重根，所以二重根，所以2231322241111 d1 d11 6(1)( )32 d2 d2sssKsF sss ss 2213001( )1(1)ssKs F ss 222300dd1( )3dd(1)ssKs F ssss 所以所以23232131( )1(1)(1)F ssssss 21( )3e2 ee

18、32tttf tttt 原函數原函數 n =m 時將時將F(s)化成真分式和多項式之和化成真分式和多項式之和 nnpKpKpKAF sss) s (2211由由F(s)求求f(t)的步驟：的步驟： 求真分式分母的根，求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式將真分式展開成部分分式 求各部分分式的系數求各部分分式的系數 對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換) s () s () s (0DNAF小結nppns 10)(D (1)個單根分別為有若nnpsKpsKpsKsF 2211)() ( )1,2,iiis pKsp F sin ()()iiiN pKD

19、p 具有共軛復根若 0)( )2(sDj2j1e e-KKKK設：11( )2ecos()tf tKt jpjp21則則31111()( )s pKspF s 具有重根若 0)( ) 3(sD1312112231112( )()()KKKKF sspspspsp31211d()( )ds pKspF ss 2313121d()d2)1(s pKspF ss 【例例】求求23( )(1)(25)sF ssss解解( )0D s 共有三個根，共有三個根， 為共軛復根，為共軛復根，121j21j2pp ，31p 。F(s)可分解為可分解為312( )1j21j21KKKF ssss 求出待定系數為求

20、出待定系數為1j1351 j21 j23(1j2) ( )0.25 2e(1)(1j2)sssKsF sss 2j1351 j21 j23(1j2) ( )0.25 2e(1)(1j2)sssKsF sss 32113(1) ( )0.5(25)sssKsF sss的原函數 f(t) 。j135j1350.25 2e0.25 2e0.5( )1j21j21F ssss ( )2 0.25 2ecos(2135 )0.5ettf tt 原函數為原函數為14.4 14.4 運算電路運算電路基爾霍夫定律的時域表示：基爾霍夫定律的時域表示： 0)(ti 0)(tu1.1.基爾霍夫定律的運算形式基爾霍夫

21、定律的運算形式 0)(sI0) s (U根據拉氏變換的線性性質得根據拉氏變換的線性性質得KCL、KVL的運算形式的運算形式對任一結點對任一結點對任一回路對任一回路u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.2.電路元件的運算形式電路元件的運算形式 電阻電阻R的運算形式的運算形式取拉氏變換取拉氏變換電阻的運算電路電阻的運算電路uR(t)i(t)R+-時域形式：時域形式：R+-)(sU)(sItiLudd)0()()0()()(LissLIissILsUsisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 電感電感L的運算形式的運算形式取拉氏變換取拉氏變換,由微分性質得

22、由微分性質得L的的運算運算電路電路i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-時域形式：時域形式：1/sL+ U(s)I(s )si)0( -運算阻抗、導納運算阻抗、導納d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 電容電容C的運算形式的運算形式C的的運算運算電路電路i(t)+ u(t) -C時域形式：時域形式：取拉氏變換取拉氏變換,由積分性質得由積分性質得+ -1/sCsu)0(U(s)I(s)-+sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -運算阻抗、導納運算阻抗、導納tiMtiLutiMtiLud

23、ddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU 耦合電感的運算形式耦合電感的運算形式i1*L1L2+_u1+_u2i2M時域形式：時域形式：取拉氏變換取拉氏變換,由微分性質得由微分性質得sMsYsMsZMM1)()(互感運算阻抗、導納互感運算阻抗、導納耦合電感耦合電感的運算電路的運算電路)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU+-+sL2+sM+ +)(2sUsL1)(2sI)0(22iL

24、)0(1Mi)(1sI)(1sU-)0(11iL)0(2Mi- +3. 3. RLC串聯電路的運算形式串聯電路的運算形式u (t)RC-+iL時域電路時域電路 拉氏變換拉氏變換運算電路運算電路( )( )( )(0 )(0 )1( )U sRI ssLI sLiuI ssCs +-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(tctiCtiLiRu0d1dd14.5 14.5 應用拉普拉斯變換法應用拉普拉斯變換法 分析線性電路分析線性電路由換路前的電路計算由換路前的電路計算uc(0-) , iL(0-) ；畫運算電路模型，注意畫運算電路模型，注意運算阻抗運算阻抗的表示和的表

25、示和附附加電源加電源的作用；的作用；應用前面各章介紹的各種計算方法求象函數；應用前面各章介紹的各種計算方法求象函數；反變換求原函數。反變換求原函數。1. 1. 運算法的計算步驟運算法的計算步驟例例14-90)0( Li(2) 畫運算電路畫運算電路sL1ss11s11sCV1)0(cu解解(1) 計算初值計算初值 電路原處于穩態，電路原處于穩態，t =0 時開關閉合，試用時開關閉合，試用運算法求電流運算法求電流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s(3) 應用回路電流法應用回路電流法1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s)(1sI)(2s

26、I0)0(1) s (1)()11 (C21susIssIssssuIsIs1)0() s ()11 () s (1C21-2)2(1)()(21ssssIsI) j1s (j1)(321KsKsKsI(4)反變換求原函數反變換求原函數j1j10 :30)(D321ppps，個根有21) s (01ssIKj)2(11) j1)(j12sssIK34124je 343124jKe 1113L( )( )+2ecos() t0224tI si tt 例例14-10RC+ucis解解畫運算電路畫運算電路1/sC+Uc(s)( )sI sR)(CsI圖示電路為圖示電路為RC并聯電路，激勵為電流源并聯

27、電路，激勵為電流源is(t)，若：若：求電路響應求電路響應u(t)。(1)( )( )(2)( )( )ssitt Aitt A1(1)( )( )( )ssitt AIss ，111( )( )( )111()sRRRsCU sZ s IsssRsC sssCRCRC 11( )( )(1) ( )tRCu tU sRet V L L1/sC+Uc(s)( )sI sR)(CsI(2)( )( )( )1ssitt AIs ，1( )( )( )1sRsCU sZ s IsRsC 111( )( )( )tRCu tU set VC L L【例【例】圖示電路中圖示電路中uC(0-) = 5V

28、 ，求，求uC(t) 。解解1010e ( )2( )20.51CtttCus，0LLLL對圖對圖b b 121101110.5210CssUsRRR代入已知條件代入已知條件 122535(1)(2)(1)(2)CKKsUsssss 122535(1)(2)(1)(2)CKKsUsssss式中式中1112535(1)( )10(2)CsssKsUss2222535(2)( )15(1)CsssKsUss所以所以 1015(1)(2)CUsss查表得查表得 1210e15e( )VCCttutUstL L例例14-11us1Li+-us2+-R1R2 圖示所示圖示所示電路中，電路原處于穩態，電路

29、中，電路原處于穩態，t=0 時將開時將開關閉合，求換路后的關閉合，求換路后的uL(t)，已知，已知us1=2e-2tV, us2=5(t)V, R1=R2=5,L=1H。 解解畫運算電路畫運算電路2/(s+2)sL+-5/s+-R1R2-+Li(0_)(0)(1)21222tsues LLLL 255 ( )suts LLLL22(0 )1sLuiAR 電感電流的初始值電感電流的初始值根據結點法求解根據結點法求解121225111(0 )2()( )LLLissUsRRsLRRsL 21211()( )55(2)LUsssss 2( )(2)(25)LsUsss 122.5( )( )( 45

30、)0LLttutUseeVt L L代人數據得代人數據得2/(s+2)sL+-5/s+-R1R2-+Li(0_)(0)(1)i1*L1L2+_usi2MR2R1I1(s)*sL1sL2+_1/sI2(s)sMR2R1例例14-12 圖示所示圖示所示電路中，已知電路中，已知R1=R2=1,L1=L2=1H, M=0.05H, 激勵為直流電壓激勵為直流電壓Us=1V，t=0 時將開關閉合，時將開關閉合，求換路后的求換路后的i1(t)和和i2(t)。 解解畫運算電路畫運算電路列出回路電流方程列出回路電流方程11121()( )( )RsL I ssMIss1222( )()( )0sMI sRsL

31、Is1220.11( )(0.75 100.21)sI ssss 2220.05( )0.75 100.21sIsss 6.67201( )(10.50.5)0tti teeAt6.67202( )0.5()0tti teeAt121(10.1 )( )0.05( )s I ssIss120.05( )(10.1 )( )0sI ss Is代入數據代入數據解得解得t = 0時打開開關時打開開關 , ,求電感電流和電壓。求電感電流和電壓。0)0(A5)0(21ii例例14-13解解計算初值計算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運算電路畫運算電路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s

32、)+-+-23s.ssI4055110)(1ss.s.)405(51105 .1275. 12sssss)5 .12(75. 32510/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-2312.512(21.75)tieAi 0t 原來原來L1中電流中電流5A，L2中沒有電流。開關打開后，在中沒有電流。開關打開后，在t0時刻都被強制為時刻都被強制為3.75A。5 . 1) s (s3 . 0)(11IsUL375. 05 .1256. 6sUL1(s)(1 . 0)(2ssIsUL5 .1219. 2375. 0s10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-2312.51(t) 0.3

33、75 ( )6.56( )tLutet V 12.52( ) 0.375 ( )2.19( )tLuttet V 12.52( ) 0.375 ( )2.19( )tLuttet V 12.51(t) 0.375 ( )6.56( )tLutet V 3.75ti152012.512(t)( )8.75( )tLLuutet V 電感電感L1和和L2的電壓中將有沖激函的電壓中將有沖激函數出現，但數出現，但uL1+uL2中并無沖激中并無沖激函數出現，因為函數出現，因為L1和和L2中的沖激中的沖激電壓大小相同而方向相反。電壓大小相同而方向相反。12.512(21.75)tieAi us(t)1F1

34、1F+-1+-uC(t)+2uC(t)-Us(s)1/s11/s+-1+-UC(s)+2UC(s)-I1(s)I2(s) 如圖所示電路為含有受控源的零狀態電路如圖所示電路為含有受控源的零狀態電路 , ,試試求電容電壓求電容電壓uC(t)。已知激勵為。已知激勵為us(t)=20sint(t)V。例例14-14解解畫運算電路畫運算電路列電路的列電路的KVL方程方程1211(11)( )(1)( )( )sI sIsUsss1211(1)( )(11)( )2( )CI sIsssUs 121( )( )( )CUsI sIss21( )( )1CsUsUsss 220( )1sUss 222222

35、222201( )20()(1)(1)111312220113313()()()()2222CssUssssssssssss 12313( )20cos()sin()20cos ( )223tCutetttt V 解得解得而而求反變換求反變換14.6 14.6 網絡函數的定義網絡函數的定義1. 網絡函數網絡函數H（s）的定義）的定義 線性時不變網絡在單一電源激勵下，其線性時不變網絡在單一電源激勵下，其零狀零狀態響應態響應的象函數與的象函數與激勵激勵的象函數之比定義為該電的象函數之比定義為該電路的網絡函數路的網絡函數H(s)。)()( L )(L L L )(defsEsRtetrsH）激勵函數

36、零狀態響應由于激勵由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應可以是電壓源或電流源，響應R(s)可以是電壓或電流，故可以是電壓或電流，故 s 域網絡函數可以是驅域網絡函數可以是驅動點阻抗（導納），轉移阻抗（導納），電壓動點阻抗（導納），轉移阻抗（導納），電壓轉移函數或電流轉移函數。轉移函數或電流轉移函數。注意若若E(s)=1，響應響應R(s)=H(s)，即即網絡函數是該響網絡函數是該響應的象函數。網絡函數的原函數是電路的沖激應的象函數。網絡函數的原函數是電路的沖激響應響應 h(t)。 1( )( )h tH s L L例例14-15解解畫運算電路畫運算電路電路激勵為電路激勵為)()(Stti)(tuC，求沖激響應，求沖激響應sC+Uc(s)(sIsGRCsCGsCsZsUsEsRsHC1111)(1)()()()(1 11111( )( )L ( )Le( )1tRCCh tutH stCCsRC1 11111( )( )L ( )Le( )1tRCCh tutH stCCsRCG=1/RC+ucis例例14-16解解畫運算電路畫運算電路u1(t)L1Ri1(t)+-L3C2i2(t)u2(t)+-U1(s)sL1RI1(s)+-sL31/sC2I2(s)U2(s)+-I1(s)I2(s) 如圖所示電路為一低通濾波電路，激勵是電壓源如圖所示電路為一低通濾波電路，激勵是電