1、.高等數學講義摘要：高等數學講義第一章 函數.函數在某點可導幾何上意味著函數曲線在該點處必.表3.1求導與微分公式求導公式微分公式基本初等函數求導公式基本初等函數微分公式.關鍵詞：講義高等數學講義,幾何,微分類別：專題技術來源：牛檔搜索（Niudown.COM）本文系牛檔搜索（Niudown.COM）根據用戶的指令自動搜索的結果，文中內涉及到的資料均來自互聯網，用于學習交流經驗，作品其著作權歸原作者所有。不代表牛檔搜索（Niudown.COM）贊成本文的內容或立場，牛檔搜索（Niudown.COM）不對其付相應的法律責任！*;高等數學講義第一章 函數一、本章學習要求與內容提要（一）學習要求1.

2、理解函數的概念2.了解分段函數、基本初等函數、初等函數的概念3.了解反函數、復合函數的概念，會分析復合函數的復合結構.4.會建立簡單實際問題的函數模型.（二） 內容提要1.函數的定義(1) 函數的定義定義1 設和是兩個變量,是一個給定的數集,如果對于每個數,變量按照一定法則總有惟一確定的數值與其對應,則稱是的函數,記作.數集稱為該函數的定義域, 稱為自變量, 稱為因變量.當自變量取數值時，因變量按照法則所取定的數值稱為函數在點處的函數值，記作.當自變量遍取定義域的每個數值時,對應的函數值的全體組成的數集=稱為函數的值域.定義2 設與是兩個非空實數集，如果存在一個對應規則，使得對中任何一個實數，

3、在中都有惟一確定的實數與對應，則對應規則稱為在上的函數，記為 ,稱為對應的函數值，記為,其中，稱為自變量，稱為因變量.由定義2知, 函數是一種對應規則，在函數中，表示函數，是對應于自變量的函數值，但在研究函數時，這種對應關系總是通過函數值表現出來的，所以習慣上常把在處的函數值稱為函數，并用的形式表示是的函數.但應正確理解，函數的本質是指對應規則.例如就是一個特定的函數，確定的對應規則為就是一個函數.(2) 函數的兩要素函數的定義域是自變量的取值范圍，而函數值又是由對應規則來確定的，所以函數實質上是由其定義域和對應規則所確定的，因此通常稱函數的定義域和對應規則為函數的兩個要素.也就是說，只要兩個

4、函數的定義域相同，對應規則也相同，就稱這兩個函數為相同的函數，與變量用什么符號表示無關，如，就是相同的函數.2 函數的三種表示方法(1) 圖像法 (2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函數時經常遇到下面幾種情況： 分段函數 在自變量的不同取值范圍內，用不同的公式表示的函數，稱為分段函數.如 就是一個定義在區間上的分段函數. 用參數方程確定的函數 用參數方程 （）表示的變量與之間的函數關系，稱為用參數方程確定的函數.例如函數可以用參數方程表示. 隱函數 如果在方程中，當在某區間I內任意取定一個值時，相應地總有滿足該方程的惟一的值存在，則稱方程在區間I內確定了一個隱函數.例如方程就確定了變量

5、是變量之間的函數關系.注意 能表示成(其中僅為的解析式)的形式的函數,稱為顯函數. 把一個隱函數化成顯函數的過程稱為隱函數的顯化.例如可以化成顯函數.但有些隱函數確不可能化成顯函數,例如.3 函數的四種特性設函數的定義域為區間，函數的四種特性如下表所示.函數的四種特性表函數的特性定 義圖像特點奇偶性 設函數的定義域關于原點對稱，若對任意滿足則稱是上的偶函數；若對任意滿足則稱是上的奇函數，既不是奇函數也不是偶函數的函數，稱為非奇非偶函數偶函數的圖形關于軸對稱;奇函數的圖形關于原點對稱單調性 若對任意，當時，有,則稱函數是區間上的單調增加函數；當時，有,則稱函數是區間上的單調減少函數，單調增加函數

6、和單調減少函數統稱單調函數，若函數是區間上的單調函數，則稱區間為單調區間單調增加的函數的圖像表現為自左至右是單調上升的曲線; 單調減少的函數的圖像表現為自左至右是單調下降的曲線有界性 如果存在，使對于任意滿足則稱函數是有界的圖像在直線與之間周期性 如果存在常數，使對于任意，有則稱函數是周期函數，通常所說的周期函數的周期是指它的最小周期在每一個周期內的圖像是相同的4 基本初等函數六種基本初等函數見下表 六種基本初等函數表函數解析表達式常函數（為常數）冪函數（為常數）指數函數（,為常數）對數函數（,為常數）三角函數反三角函數arcarc,arc5. 反函數、復合函數和初等函數二、主要解題方法1求函

7、數定義域的方法例1 求以下函數的定義域:(1) =+ ，(2) =.小結 函數由解析式給出時，其定義域是使解析式子有意義的一切函數.為此求函數的定義域時應遵守以下原則：(I) 在式子中分母不能為零；(II)在偶次根式內非負；(III)在對數中真數大于零；(IV)反三角函數 ，要滿足；(V)兩函數和（差）的定義域，應是兩函數定義域的公共部分；(VI) 分段函數的定義域是各段定義域的并集.(VII)求復合函數的定義域時，一般是外層向里層逐步求.2將復合函數分解成基本初等函數或簡單函數的方法例2 將以下復合函數分解成基本初等函數或簡單函數 (1) ， （2） . 小結 （I）復合函數的復合過程是由里

8、到外，函數套函數而成的.分解復合函數，是采取由外到內層層分解的辦法.從而拆成若干基本初等函數或基本初等函數的四則運算.（II）基本初等函數經有限次四則運算所得到的函數稱為簡單函數.3 建立實際問題的函數模型的方法 例3 某工廠生產某產品年產量為若干臺，每臺售價為300元，當年產量超過600臺時，超過部分只能打8折出售，這樣可出售200臺，如果再多生產，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數模型. 例4 一下水道的截面是矩形加半圓形(如圖)，截面積為，是一常量。這常量取決于預定的排水量.設截面的周長為，底寬為，試建立與的函數模型. 小結 運用數學工具解決實際問題時，通常要先找出變量間的函數關

9、系，用數學式子表示出來，然后再進行分析和計算.建立函數模型的具體步驟可為 ：(1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示.(2) 根據所給條件，運用數學、物理、經濟及其他知識，確定等量關系.(3) 具體寫出解析式，并指明其定義域.三、學法建議1本章的重點是函數、復合函數、初等函數等概念以及定義域的求法.2本章所介紹的內容雖然絕大部分屬于基本概念，并且在中學已經學過，但它們是微積分學本身研究問題時的主要依據.因次，學習本章的內容應在原有的基礎上進行復習提高. 3從實際問題中建立函數模型是解決實際問題關鍵性的一步，也是比較困難的一步，因為要用到幾何學、物理學、經濟學等方面的知識與定律.

10、但我們仍要注意這方面的訓練，以便逐步培養分析問題和解決問題的能力.第二章 極限與函數一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關系和性質3會用兩個重要極限公式求極限4掌握極限的四則運算法則5理解函數在一點連續的概念，知道間斷點的分類6了解初等函數的連續性及連續函數在閉區間上的性質（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7會用函數的連續性求極限（二）內容提要極限的定義(1) 函數極限、數列極限的描述性定義極限定義表類型描述性定義極限記號設函數在 為某個正實數)時有定義，如果當自變量的絕對值無限增大時，相應的函數值無限接近于某一個固定的

11、常數，則稱為（讀作“趨于無窮”）時函數的極限或設函數為某個實數)內有定義，如果當自變量無限增大時，相應的函數值無限接近于某一個固定的常數，則稱為（讀作“趨于正無窮”）時函數的極限或設函數(為某個實數)內有定義，如果當自變量無限增大且時，相應的函數值無限接近于某一個固定的常數，則稱為（讀作“趨于負無窮”）時函數的極限或設函數在點的去心鄰域內有定義，如果當自變量在內無限接近于時，相應的函數值無限接近于某一個固定的常數，則稱為當（讀作“趨近于”）時函數的極限或設函數在點的左半鄰域內有定義，如果當自變量在此半鄰域內從左側無限接近于時，相應的函數值無限接近于某個固定的常數，則稱為當趨近于時函數的左極限或

12、設函數的右半鄰域內有定義，如果當自變量在此半鄰域內從右側無限接近于時，相應的函數值無限接近于某個固定的常數，則稱為當趨近于時函數的右極限或數列的極限對于數列，若當自然數無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數,則稱為當趨于無窮時數列的極限，或稱數列收斂于或若數列的極限不存在，則稱數列發散不存在（2）單側極限與極限的關系定理的充分必要條件是的充分必要條件是（）極限存在準則單調有界數列極限的存在定理單調有界數列必有極限夾逼準則若當時，有，且，則2. 極限的四則運算法則設及都存在，則(1) ；(2) , (為任意常數);(3) 上述極限四則運算法則對自變量的其他變化過程下的極限同樣成立3 兩個重要極

13、限(1) 一般形式為（其中代表的任意函數）(2) 一般形式為 （其中代表的任意函數） 無窮小量與無窮大量（）無窮小量在自變量的某個變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮小例如,如果，則稱當時,是無窮小量注意 一般說來，無窮小表達的是變量的變化狀態，而不是變量的大小，一個變量無論多么小，都不能是無窮小量，數零是惟一可作為無窮小的常數（） 無窮大量在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大應該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號，表示“當時, 是無窮大量” （）無窮小量與無窮大量的關系在自變量的某個變

14、化過程中，無窮大量的倒數是無窮小量，非零無窮小量的倒數是無窮大量（）無窮小量的運算 有限個無窮小量的代數和是無窮小量 有限個無窮小量的乘積是無窮小量 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量 常數與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表設在自變量的變化過程中，均是無窮小量無窮小的比較定 義記 號（）（）（） 極限與無窮小量的關系定理的充分必要條件是，其中是當時的無窮小量（） 無窮小的替換定理設當時，存在，則5函數的連續性 函數在一點連續的概念函數在一點連續的兩個等價的定義：定義設函數在點的某個鄰域內有定義，若當自變量的增量趨于零時，對應的函數增

15、量也趨于零，即 ，則稱函數在點處連續，或稱是的一個連續點定義若，則稱函數在點處連續 左右連續的概念若，則稱函數在點處左連續；若，則稱函數在點處右連續 函數在一點連續的充分必要條件函數在點處連續的充分必要條件是在點處既左連續又右連續由此可知，函數在點處連續，必須同時滿足以下三個條件：函數在點的某鄰域內有定義，存在，這個極限等于函數值函數在區間上連續的概念在區間上每一點都連續的函數，稱為在該區間上的連續函數，或者說函數在該區間上連續，該區間也稱為函數的連續區間如果連續區間包括端點，那么函數在右端點連續是指左連續，在左端點連續是指右連續 間斷點若函數在點處不連續，則稱點為函數的間斷點 間斷點的分類設

16、為的一個間斷點，如果當時，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點；否則，稱為的第二類間斷點對于第一類間斷點有以下兩種情形： 當與都存在，但不相等時，稱為的跳躍間斷點； 當存在，但極限不等于時，稱為的可去間斷點 初等函數的連續性定理基本初等函數在其定義域內是連續的一切初等函數在其定義區間內都是連續的 閉區間上連續函數的性質 最大值和最小值存在定理 閉區間上連續函數一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 設為閉區間上的連續函數，且異號，則至少存在一點，使得 介值定理 設是閉區間上連續函數，且，則對介于之間的任意一個數，則至少存在一點，使得二、主要解題方法1求函數極限方法(1) 利用極限存在的

17、充分必要條件求極限例1 求以下函數的極限：（1）， （2） 當為何值時，在的極限存在.解 (1),因為左極限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數在分段點處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限于是，有， ，為使存在，必須有=，因此 ，當=1 時， 存在且 =1小結 對于求含有絕對值的函數及分段函數分界點處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在 （3）利用極限運算法則求極限例2 求以下函數的極限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 解 (1) =(2) 當時，分子、分母極限均為零，呈現型，不能直接用商的極限法則，可先分解

18、因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則原式=(3) 當時，的極限均不存在，式呈現型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進行通分化簡，再用商的運算法則即原式=(4) 當時，分子分母均無極限，呈現形式需分子分母同時除以，將無窮大的約去，再用法則求原式=小結 （）應用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用（II）求函數極限時，經常出現 等情況，都不能直接運用極限運算法則，必須對原式進行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（）對于型，往往需要先通分，化簡，再求極限，（）對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求

19、極限，（）對分子、分母進行因式分解，再求極限，（）對于當時的型，可將分子分母同時除以分母的最高次冪，然后再求極限（3）利用無窮小的性質求極限例3 求以下函數的極限（1） ， （2）解（1） 因為 而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關系定理解決因為，所以當時，是無窮小量，因而它的倒數是無窮大量，即 （2）不能直接運用極限運算法則，因為當時分子，極限不存在，但是有界函數，即而 ，因此當時，為無窮小量.根據有界函數與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得.小結 利用無窮小與無窮大的關系，可求一類函數的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數極限）；利用有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數的極限（

20、有界量與無窮小之積的函數極限）（4）利用兩個重要極限求函數的極限例4 求以下函數的極限：（1） ， （2）解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（2）解一 原式=，解二 原式=小結 （）利用求極限時，函數的特點是型，滿足的形式，其中為同一變量；（）用求極限時，函數的特點型冪指函數，其形式為型,為無窮小量，而指數為無窮大，兩者恰好互為倒數；（）用兩個重要極限公式求極限時，往往用三角公式或代數公式進行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標準形式。(5) 利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有當 時,例5 求以下函數的極限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）=

21、 （） 小結 利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯如上題 , 即得一錯誤結果（6）利用函數的連續性求極限例6 求以下函數的極限 （1） ， （2）解 (1) 因為是初等函數，在處有定義，所以 ，(2) 函數看成由 復合而成，利用分子有理化，然后利用復合函數求極限的法則來運算 =小結 利用“函數連續的極限值即為函數值”可求連續函數的極限。在一定條件下復合函數的極限，極限符號與函數符號可交換次序2判斷函數連續性的方法 由于初等函數在它的定義區間內總是連續，所以函數的連續性討論多指分段函數在分段處的連續性 例 7

22、討論函數 ， 在點處的連續性 解 由于函數在分段點處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限因而有，而即，由函數在一點連續的充要條件知在處連續三、學法建議1本章的重點是極限的求法及函數在一點的連續的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣因此要掌握這部分知識，建議讀者自己去總結經驗體會，多做練習2本章概念較多，且互相聯系，例如：收斂，有界，單調有界；發散，無界，無窮大；極限，無窮小，連續等只有明確它們之間的聯系，才能對它們有深刻的理解，因此讀者要注意弄清它們之間的實質關系3要深刻理解在一點的連續概念，即極限值等于函數值才連續千萬不要求到極限存在就下連續的結論，特別注意判斷分段函數

23、在分段點的連續性第三章 導數與微分一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求1. 理解導數和微分的概念及其幾何意義，會用導數（變化率）描述一些簡單的實際問題.2.熟練掌握導數和微分的四則運算法則和基本初等函數的求導公式.3.熟練掌握復合函數、隱函數以及由參數方程所確定的函數的一階導數的求法.4.了解高階導數的概念，熟練掌握初等函數的二階導數的求法.5.了解可導、可微、連續之間的關系.重點 導數的概念及其幾何意義，計算導數的方法，初等函數的二階導數的求法.難點 求復合函數和隱函數的導數的方法.（二） 內容提要1.導數的概念導數設函數在點的某一鄰域內有定義，當自變量在點處有增量，仍在該鄰域內時，相

24、應地，函數有增量，若極限 存在，則稱在點處可導，并稱此極限值為在點處的導數，記為，也可記為，即 .若極限不存在，則稱在點處不可導.若固定，令，則當時，有，所以函數在點處的導數也可表示為 . 左導數與右導數 函數在點處的左導數 . 函數在點處的右導數.函數在點處可導的充分必要條件是在點處的左導數和右導數都存在且相等 導數的幾何意義曲線的切線在曲線上點的附近，再取一點，作割線，當點沿曲線移動而趨向于時，若割線的極限位置存在，則稱直線為曲線在點處的切線導數的幾何意義函數在點處的導數表示曲線在點處的切線斜率.關于導數的幾何意義的3點說明:曲線上點處的切線斜率是縱標變量對橫標變量的導數.這一點在考慮用參

25、數方程表示的曲線上某點的切線斜率時優為重要.如果函數在點處的導數為無窮(即,此時在處不可導),則曲線上點處的切線垂直于軸.函數在某點可導幾何上意味著函數曲線在該點處必存在不垂直于軸的切線.3.變化率函數的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時的極限，即導數.在科學技術中常常把導數稱為變化率(即因變量關于自變量的變化率就是因變量關于自變量的導數).變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化而變化的快慢程度. 4.可導與連續的關系若函數在點處可導，則在點處一定連續.但反過來不一定成立，即在點處連續的函數未必在點處可導.5. 高階導數二階導數函數的一階導數仍然是的函數，則將一階導數的導數稱為函數的

26、二階導數，記為或或，即= 或 =.階導數 階導數的導數稱為階導數（=3，4，,）分別記為, , ,，或, , ,，或, , , ，二階及二階以上的導數稱為高階導數.6 . 微分微分的定義如果函數在點處的改變量，可以表示成 ，其中是比高階的無窮小，則稱函數在點處可微，稱為的線性主部，又稱為函數在點處的微分，記為或，即.微分的計算，其中,為自變量.一階微分形式不變性對于函數,不論是自變量還是因變量,總有成立.7. 求導公式 微分公式表3.1給出了基本初等函數的求導公式及微分公式.表3.1求導與微分公式求導公式微分公式基本初等函數求導公式 基本初等函數微分公式 對求導公式作如下兩點說明:(1) 求導

27、公式表示函數對自變量的導數，即=,(2) 求導公式表示函數對函數的導數，即=.8. 求導法則 微分法則求導法則,微分法則見下表3.2復合函數求導法則參數方程求導法則隱函數求導法對數求導法表3.2 求導與微分法則表求導法則微分法則函數的四則運算求導法則函數的四則運算微分法則 復合函數求導法則設，則復合函數的導數為 復合函數微分法則設函數，,則函數的微分為，此式又稱為一階微分形式不變性參數方程確定的函數的導數若參數方程確定了是的函數，則 或 =反函數求導法則設的反函數為，則或 9. 微分近似公式（1）微分進行近似計算的理論依據對于函數,若在點處可導且導數，則當很小時，有函數的增量近似等于函數的微分

28、, 即有近似公式.(2) 微分進行近似計算的4個近似公式設函數在點處可導且導數，當很小時，有近似公式，即， 令，則， 特別地，當，很小時，有 . 二、主要解題方法1用導數的定義求函數導數的方法例1 求在處的導數.解 由導數的定義知.例2 求 ，的導數.解 當時， ， 當時，當時，所以 ，因此 ，于是 小結 求分段函數的導數時，除了在分界點處的導數用導數定義求之外，其余點則仍按初等函數的求導公式求得.2 用和、差、積、商及復合函數的求導法則求導的方法例3 設求.解 ，.例 4 設 求 .解 利用復合函數求導法求導，得.小結 若函數變形后能簡化求導運算，應先簡化后再求導，在求高階導數時更要注意這一

29、點.另外，還要注意應用四則運算法則的前提條件是：函數在點可導，否則法則失效.如在點，用四則運算法則求導，不存在，但由例1知 在的導數為0.對于復合函數，要根據復合結構，逐層求導，直到最內層求完，對例4中括號層次分析清楚，對掌握復合函數的求導是有幫助的.3對數求導方法例 5 已知 = ，求.解 兩邊取對數，得：，兩邊對同一自變量求導，得，.小結 對數求導法適合兩類函數的求導：（1）冪指函數，（2）函數是由幾個初等函數經過乘、除、乘方、開方構成的.4隱含數的求導法例 6 已知 求.解 兩端對求導，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對求導，得=，將 代入上式，得.小結 在對隱函數求二階導數時，要將的表

30、達式代入中，注意，在的最后表達式中，切不能出現.5由參數方程所確定的函數的求導法例7 設 求 .解 ，.小結 求由參數方程所確定的函數的導數時，不必死記公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二階導數時，應按復合函數求導法則進行，必須分清是對哪個變量求導.6求函數微分的方法例8 求函數的微分.解一 用微分的定義求微分， 有. 解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得 .小結 求函數微分可利用微分的定義，微分的運算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變量之間是怎樣的復合關系，有時求微分更方便.7利用微分求近似值例9 求的近似值.解 設 ，由近似公式，得 ，

31、取 ，則有 .例10 有一批半徑為的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為，估計每只球需要用銅多少克？（銅的密度為）解 所鍍銅的體積為球半徑從增加時，球體的增量.故由知，所鍍銅的體積為 ，質量為 .小結 利用公式計算函數近似值時，關鍵是選取函數的形式及正確選取.一般要求 便于計算，越小，計算出函數的近似值與精確值越接近.另外，在計算三角函數的近似值時，必須換成弧度.8求曲線的切線方程例11 求曲線的切線，使該切線平行于直線. 解 方程 兩端對求導，得 ， ， ，由于該切線平行于直線 所以有 ， ， ，.因為切線必在曲線上，所以，將代入曲線方程得 ，解之 ，此時 ，切點的坐標為,，切線的斜率

32、分別為 ，因此得切線的方程分別為 ， 即 ， ， 即 .9求函數的變化率例 12 落在平靜水面上的石頭，產生同心圓形波紋，若最外一圈半徑的增大率總是，問2末受到擾動的水面面積的增大率為多少？解 設最外圈波紋半徑為，擾動水面面積為，則 兩邊同時對 求導，得 從而 ， 又 為常數，故 （類似于勻速直線運動路程與速度、時間的關系），因此 ，故有 .因此，2末受到擾動的水面面積的增大率為.小結 對于求變化率的模型，要先根據幾何關系及物理知識建立變量之間的函數關系式.若是相關變化率模型，求變化率時要根據復合函數的鏈式求導法，弄清是對哪個變量的導數.三、學法建議 1本章重點為導數的概念及其幾何意義，計算導

33、數的方法，初等函數的二階導數的求法，其難點是求復合函數和隱函數的導數方法.2 要正確理解導數與微分的概念，弄清各概念之間的區別與聯系.比如，可導必連續，反之，不一定成立.可導與可微是等價的.這里等價的含義是：函數在某點可導必定得出在該點可微，反之，函數在某點可微，必能推出在該點可導.但并不意味著可導與可微是同一概念.導數是函數改變量與自變量改變量之比的極限，微分是函數增量的線性主部，在概念上兩者有著本質的區別.3 復合函數求導法既是重點，又是難點，不易掌握，怎樣才能達到事半功倍的效果呢？首先，必須熟記基本的求導公式，其次，對求導公式必須弄清每一項為哪一項對哪個變量求導，如 , 因為 理解公式還

34、要和微商結合起來，右邊的微分約分之后必須等于左邊的微商.另外，要想達到求導既迅速又準確，必須多做題.但要牢記，導數是函數改變量之比的極限，不能因為有了基本初等函數的求導公式及求導法則后，就認為求導僅是利用這些公式與法則的某種運算而忘記了導數的本質. 4利用導數解決實際問題，本章主要有三類題型.一類幾何應用，用來求切線、法線方程.其關鍵是求出切線的斜率及切點的坐標；另一類是變化率模型，求變化率時，一定要弄清是對哪個變量的變化率，如速度再有一類是用微分近似計算求某個量的改變量，解決這類問題的關鍵是選擇合適的函數關系，正確選取及，切莫用中學數學方法求問題的準確值，否則是不符合題意的.第四章 微分學的

35、應用一、本章學習要求與內容提要（一）學習要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.會用洛必達法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導數判斷函數的單調性的方法.4.理解函數的極值概念，掌握利用導數求函數的極值的方法，會解簡單一元函數的最大值與最小值的應用題.5.會用二階導數判斷函數圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數的圖形.重點 用洛必達法則求未定式的極限，利用導數判斷函數的單調性與圖形凹性及拐點，利用導數求函數的極值的方法以及求簡單一元函數的最大值與最小值的應用題.（二）內容提要1. 三個微分中值定理 羅爾（Rolle）定理如果函數滿足以下三個條件：在閉區間上連續;在開區間內可導

36、;,則至少存在一點使. 拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數滿足以下兩個條件：在閉區間上連續；在開區間內可導,則至少存在一點，使得或. 柯西（Cauchy）中值定理如果函數與滿足以下兩個條件：在閉區間上連續；在開區間內可導，且,則在內至少存在一點，使得 .2.洛必達法則如果;函數與在某個鄰域內（點可除外）可導，且；,則 .注意 上述定理對于時的型未定式同樣適用,對于或時的型未定式也有相應的法則.3. 函數的單調性定理設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則有若在內，則函數在上單調增加；若在內，則函數在上單調減少.4 . 函數的極值、極值點與駐點 極值的定義 設函數在點的某鄰域內有定義，

37、如果對于該鄰域內任一點，都有，則稱是函數的極大值；如果對于該鄰域內任一點，都有，則稱是函數的極小值.函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為函數的極值點. 駐點 使的點稱為函數的駐點. 極值的必要條件 設函數在處可導，且在點處取得極值，那么. 極值第一充分條件設函數在點連續，在點的某一去心鄰域內的任一點處可導,當在該鄰域內由小增大經過時，如果由正變負，那么是的極大值點，是的極大值；由負變正，那么是的極小值點，是的極小值；不改變符號，那么不是的極值點. 極值的第二充分條件設函數在點處有二階導數，且，則是函數的極值點，為函數的極值，且有如果，則在點處取得極大值；如果，則在點處取

38、得極小值.5.函數的最大值與最小值在閉區間上連續函數一定存在著最大值和最小值.連續函數在閉區間上的最大值和最小值只可能在區間內的駐點、不可導點或閉區間的端點處取得.6. 函數圖形的凹、凸與拐點曲線凹向定義 若在區間內曲線各點的切線都位于該曲線的下方，則稱此曲線在內是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在內是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.曲線凹向判定定理 設函數在區間內具有二階導數， 如果在區間內，則曲線在內是上凹的. 如果在區間內，則曲線在內是下凹的.拐點若連續曲線上的點是曲線凹、凸部分的分界點，則稱點是曲線的拐點.7. 曲線的漸近線水平漸近線若當(或

39、或)時，有（為常數），則稱曲線有水平漸近線.垂直漸近線若當(或或)（為常數）時，有，則稱曲線有垂直漸近線.斜漸近線若函數滿足， (其中自變量的變化過程可同時換成或)，則稱曲線有斜漸近線.二 、主要解題方法1 . 用洛必達法則求未定式的極限的方法例1 求以下極限（1） （2） （3）（4） （5） 解 （1）由于時，故原極限為型，用洛必達法則 所以 （分母等價無窮小代換）.（2） 此極限為，可直接應用洛必達法則 所以 = .（3） 所求極限為型 ，不能直接用洛必達法則，通分后可變成或型. .（4）所求極限為型，得 （型） =（5）此極限為 型，用洛必達法則，得不存在，但 .小結 使用洛必達法則時

40、，應注意以下幾點：（1）洛必達法則可以連續使用，但每次使用法則前，必須檢驗是否屬于或未定型，若不是未定型，就不能使用法則；（2）如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；（3）當不存在時，并不能斷定也不存在，此時應使用其他方法求極限.2 . 單調性的判別與極限的求法例2 試證當時，.證 令，易見在內連續，且.當時，可知為上的嚴格單調減少函數，即當時，可知為上的嚴格單調增加函數，即.故對任意 有即 .例 3 求函數的單調性與極值.解 函數的定義域為. ，令 駐點 列表 -0-0+極小由上表知，單調減區間為，單調增區間為，極小值 求函數的極值也可以用二階導數來判別，

41、此例中 不能確定處是否取極值，得是極小值.小結 用單調性來證明不等式，其方法是將不等式兩邊的解析式移到不等式的一邊，再令此不等式的左邊為函數；利用導數判定的單調性；最后利用已知條件與單調性，得到不等式。由例3知，用二階導數討論函數在某點的極值不需列表也很方便，但它的使用范圍有限，對、及同時不存在的點不能使用.3. 求函數的凹向及拐點的方法例4 求函數的凹向及拐點.解 函數的定義域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐點拐點 由此可知，上凹區間,下凹區間，曲線的拐點是.小結 求函數的凹向與拐點只需用拐點的定義及凹向的判別定理即可，注意拐點也可在使不存在的點取得.4. 求函數的最大值與最

42、小值的方法例5 求函數 在區間上的最大值與最小值 . 解 函數在上連續， 由于，令 ， 則 ，在處不存在. 故.小結 函數的最大（小）值是整個區間上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步驟為（1）求出在內的所有駐點及不可導點；（2）求出函數在駐點、不可導點、區間端點處的函數值；（3）比較這些值的大小，其中最大者即為函數的最大值，最小者即為函數的最小值.5 . 求曲線漸近線的的方法.例6 求以下曲線的漸近線（1） （2） .解 （1）所給函數的定義域為.由于 ，可知 為 所給曲線的水平漸近線.由于 ，可知 為曲線的鉛直漸近線.（2） 所給函數的定義域,.由于 ， ，可知 為所給曲線的鉛直漸近線（

43、在的兩側的趨向不同）.又 ，所以 是曲線的一條斜漸近線.6 . 函數圖形的描繪例 7 作出函數 的圖形.解 函數的定義域， ， ，令 ， 解得 .列表-10+0+0 極小拐點 由上表可知： 極小值， 拐點 .（3）漸近線-1 xyO，所以 是水平漸近線，所以 是鉛直漸近線. （4）作圖如下圖.7 . 求實際問題的最大值，最小值的方法 例 8 一條邊長為的正方形薄片，從四角各截去一個小方塊，然后折成一個無蓋的方盒子，問截取的小方塊的邊長等于多少時，方盒子的容量最大？解 設截取的小方塊的邊長為 ，則方盒子的容積為 令 ， 得駐點 （不合題意，舍去）由于在內只有一個駐點，由實際意義可知，無蓋方盒子的

44、容積一定有最大值.因此， 當時 取得最大值.故當正方形薄片四角各截去一個邊長是的小方塊后，折成一個無蓋方盒子的容積最大 .小結 求最優化問題，關鍵是在某個范圍內建立目標函數，若根據實際問題本身可以斷定可導函數一定存在最大值或最小值，而在所討論的區間內部有惟一的極值點，則該極值點一定是最值點.三 、學法建議1.本章重點是用洛必達法則求未定式的極限，利用導數判定函數的單調性與凹向及拐點，利用導數求函數的極限的方法以及求簡單函數的最大值與最小值問題.2.中值定理是導數應用的理論基礎，一定要弄清楚它們的條件與結論.盡管定理中并沒有指明的確切位置，但它們在利用導數解決實際問題與研究函數的性態方面所起的作

45、用仍十分重要.建議在學習過程中借助幾何圖形，知道幾個中值定理的幾何解釋.3.洛必達法則求極限時，建議參照本章例1 中的幾點注意，并且和教科書第二章求極限的方法結合起來使用.4. 函數的圖形是函數的性態的幾何直觀表示，它有助于我們對函數性態的了解，準確做出函數圖形的前提是正確討論函數的單調性，極值，凹向與拐點以及漸近線等，這就要求讀者按教材中指出的步驟完成.第五章 不定積分一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求1了解原函數、不定積分的概念及其性質2掌握不定積分的基本公式3掌握不定積分的換元法和分部積分法重點 原函數、不定積分的概念，不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法難點 不定積

46、分的換元法和分部積分法（二）內容提要1原函數與不定積分（1）原函數設函數在某區間上有定義，若存在函數，使得在該區間任一點處，均有,則稱為在該區間上的一個原函數關于原函數的問題，還要說明兩點:原函數的存在問題：如果在某區間上連續，那么它的原函數一定存在（將在下章加以說明）原函數的一般表達式：若是的一個原函數，則是的全部原函數，其中為任意常數(2)不定積分若是在某區間上的一個原函數，則的全體原函數（為任意常數）稱為在該區間上的不定積分，記為，即 積分運算與微分運算之間有如下的互逆關系：,此式說明，先求積分再求導數（或求微分），兩種運算的作用相互抵消此式說明，先求導數（或求微分）再求積分，兩種運算的

47、作用相互抵消后還留有積分常數對于這兩個式子，要記準，要熟練運用2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式如下： 3不定積分的性質（1）積分對于函數的可加性，即,可推廣到有限個函數代數和的情況，即 (2)積分對于函數的齊次性，即 4分部積分公式 二、主要解題方法1直接積分法例1 計算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加項減項變換 ，即 =（2）不能直接用公式，用二項和公式展開再利用三角變換 得原式=+=小結 計算簡單的不定積分，有時只需按不定積分的性質和基本公式進行計算；有時需要先利用代數運算或三角恒等變形將被積函數進行整理然后分項計算2換元積分法（1）第一換元積分法(湊微分法）

48、 = .例2 計算 （1） ， （2）解 （1） 選擇換元函數使所給積分化為基本積分形式，再求出結果 為此，令 ，則 ，于是 =為簡便起見，令 這一過程可以不寫出來，解題過程寫成下面形式即可,= （ 稱為湊微分）（2）=小結 湊微分法一般不明顯換新變量，而是隱換，像上面所做，這樣省掉了回代過程，更簡便（2）第二換元積分法= （其中 是單調可微函數） 例3 計算 （1） ， （2）解（1） 令, 則 , ,于是原式=.（2） 設 , , 于是1原式= = = = 小結 第二換元法常用于消去根號，但有時也用于某些多項式 ，像 也可用函數的三角代換求出結果通常 當被積分函數含有根式 時，可令 ,當被

49、積分函數含有根式 時，可令 , 當被積分函數含有根式 時，可令 .3. 分部積分法 分部積分的公式為 =.應用此公式應注意:（1） 要用湊微分容易求出,（2） 比容易求.例4 計算 （1） ， （2） 解 （1） 選 ， ， , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法,選， , 則 ，,從而 =原式=（）,為了簡便起見，所設 , 等過程不必寫出來，其解題步驟如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出現了“循環”，即再出現了移至左端，整理得=+小結 此積分一般用于被積函數為不同類型的函數乘積式,但也用于某些函數，如對數函數、反三角函數等，對于被積函數是指數函數與三角函數乘積，還有以及上面所講的等，需多次使用分部積分公式，在積分中出現原來的被積分函數再移項，合并解方程，方可得出結果，而且要記住，移項之后，右端補加積分常數三、學法建議1本章的重