1、2018-2019 學年北京市 101 中學高二（上）期末數學試卷一、選擇題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5 分）已知 z 軸上一點 N 到點 A（1，0，3）與點 B（1，1，2）的距離相等，則點N 的坐標為（）A（0，0， ）B（0，0， ）C（0，0， ）D（0，0， ）2（5 分）如圖是正方體的平面展開圖

2、，在這個正方體中，正確的命題是（）ABD 與 CF 成 60°角CAB 與 CD 成 60°角BBD 與 EF 成 60°角DAB 與 EF 成 60°角3（5 分）若橢圓+1（ab0）的焦距為 2，且其離心率為，則橢圓的方程為（）A+1B+1C+1D+14（5 分）5 名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（）A24 種B48&#

3、160;種C96 種D120 種5（5 分）某公司對下屬員工在蛇年春節期間收到的祝福短信數量進行了統計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖，如果該公司共有員工 200 人，則信息收到 125 條以上的大約有（）第1頁（共22頁）A6 人B7 人C8 人D9 人6（5 分）某中學從 4 名男生和 4 名女生中推薦 4 人參加社會公益活動，若選出的 4 人中既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A68&#

4、160;種B70 種C240 種D280 種7（5 分）在（x2 ）5 的展開式中，第 4 項的二項式系數為（）A10B10C5D58 （ 5 分 ） 某 人 拋 擲 一 枚 硬 幣 ， 出 現 正 反 的 概 率 都 是， 構 造 數 列 an&#

5、160;， 使 得，記 Sna1+a2+an（nN *）則 S42 的概率為（）ABCD9（5 分）已知事件“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 ，使APB 的最大邊是 AB”發生的概率為 ，則A的值為（   ）B               C &#

6、160;            D10（5 分）圖中有一個信號源和五個接收器接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（）第2頁（共22頁）135 分）設 P 是橢圓  +  1 上的一點，且&#

7、160;     0，則1F2 的面積為     ABCD二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分11（5 分）編號為 1，2，3，4，5 的五個人，分別坐在編號為 1，2，3，4，5 的座位上，則恰有兩個人的編號與其座位號分別相同的坐法種數為（用數字作答）12（5 分）若拋物線 y22px 的焦點與雙曲線y21 的右頂點重合

8、，則 p（14（5 分）正方體 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 ABD1B1 的大小是15（5 分）在一個紅綠燈路口，紅燈、黃燈和綠燈的時間分別為30 秒、5 秒和 40 秒當你到達路口時，不是紅燈的概率為R16 （ 5 分 ）若 （ 1  2x ） 2019  a0+a1x+a2x2+  +a2019x2019 （ x&

9、#160;）， 則+ +三、解答題共 4 小題，共 40 分解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程17（10 分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以 X 表示（）如果 X8，求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；（）如果 X9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y 的分布列和數學期望第3頁（共22頁）18（10 分）某地區對 12 歲兒童瞬時記憶能力進行調查，瞬時記憶能

10、力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力某班學生共有 40 人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調查結果例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為 3 人視覺聽覺視覺記憶能力偏低           中偏超等高常聽覺記憶能力偏低中等偏高超常01207 5 18 3 ba 0 12 1 1由于部分數據丟失，只知道從這 40 位學生中隨機抽取一個，視覺

11、記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為 （1）試確定 a，b 的值；（2）從 40 人中任意抽取 3 人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為 X，求隨機變量 X 的分布列（19 10 分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD 為平行四邊形，ABD90°，EB平面 ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC   ，且 M 是 BD 的中點

12、（1）求證：EM平面 ADF；（2）求二面角 DAFB 的余弦值；（3）在線段 ED 上是否存在一點 P，使得 BP平面 ADF？若存在，求出 EP 的長度；若不存在，請說明理由第4頁（共22頁）20（10 分）已知橢圓 W：+1（ab0），直線 l：yx+與 x 軸，y 軸的交點分別是橢圓 W 的焦點與頂點（1）求橢圓 W 的方程；（2）設直線 m：ykx（k0）與橢圓 W&

13、#160;交于 P，Q 兩點，過點 P（x0，y0）作 PC軸，垂足為點 C，直線 QC 交橢圓 w 于另一點 R求PCQ 面積的最大值；求出QPR 的大小第5頁（共22頁）2018-2019 學年北京市 101 中學高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5 分）已知&#

14、160;z 軸上一點 N 到點 A（1，0，3）與點 B（1，1，2）的距離相等，則點N 的坐標為（）A（0，0， ）B（0，0， ）C（0，0， ）D（0，0， ）【分析】根據點 N 在 z 軸上，設出點 N 的坐標，再根據 N 到 A 與到 B 的距離相等，由空間中兩點間的距離公式求得 AN，BN，解方程即可求得 N 的坐標【解答】解：設

15、60;N（0，0，z）由點 N 到點 A（1，0，3）與點 B（1，1，2）的距離相等，得：12+02+（z3）2（10）2+（10）2+（2z）2解得 z ，故 N（0，0， ）故選：D【點評】考查空間兩點間的距離公式，空間兩點的距離公式和平面中的兩點距離公式相比較記憶，利于知識的系統化，屬基礎題2（5 分）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，正確的命題是（）ABD 與 CF 成 60°角CAB 與 CD 成 

16、;60°角BBD 與 EF 成 60°角DAB 與 EF 成 60°角【分析】由正方體的平面展開圖，還原成正方體，利用正方體的結構特征，得到 BD 與CF 成 0°角，BD 與 EF 成 90°角，AB 與 CD 成 60°角，AB 與 EF 成 90°角【解答】解：由正方體的平面展開圖，

17、還原成如圖所示的正方體，第6頁（共22頁）BDCF，BD 與 CF 成 0°角，故 A 錯誤；BD平面 A1EDF，EF 平面 A1EDF，BD 與 EF 成 90°角，故 B 錯誤；AECD，BAE 是 AB 與 CD 所成角，ABE 是等邊三角形，BAE60°，AB 與 CD 成 60°角，故 

18、C 正確；ABA1D，又 A1DEF，AB 與 EF 成 90°角，故 D 錯誤故選：C【點評】本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力，解題時要注意向量法的合理運用3（5 分）若橢圓+   1（ab0）的焦距為 2，且其離心率為  ，則橢圓的方程為（）A+1B+1C+1D+1【分析】利用已知條件求出 c，通過離心率求解 a，得到 b，即可得到橢圓方程【解答】解：橢圓+1（a

19、b0）的焦距為 2，可得 c1，且其離心率為，所以，可得 a，則 b1，第7頁（共22頁）橢圓的方程為：+   1故選：A【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，橢圓方程的求法，考查計算能力，是基礎題4（5 分）5 名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（）A24 種B48 種C96 種D120 種【分析】根據題意，分 2 步進行分析：，將甲乙看成一個整體，考慮2 人之間的順序，將這個整體與其他三人全排列，由分步計數原理計

20、算可得答案【解答】解：根據題意，分 2 步進行分析：，將甲乙看成一個整體，有 A222 種情況，將這個整體與其他三人全排列，有 A4424 種情況，則甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有 2×2448 種；故選：B【點評】本題主要考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題5（5 分）某公司對下屬員工在蛇年春節期間收到的祝福短信數量進行了統計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖，如果該公司共有員工 200 人，則信息收到 125 條以上的大約有（）A6

21、 人B7 人C8 人D9 人【分析】設 125 條以上的頻率為 x，根據所求頻率和為 1 建立等式，求出 x，最后根據頻數樣本容量×頻率求出所求【解答】解：設 125 條以上的頻率為 x，根據所求頻率和為 1 可知 20×（0.003+0.006+0.0075+0.009+0.0105+0.012）+x1，解得 x0.04第8頁（共22頁）該公司共有員工 200 人，則收到 1

22、25 條以上的大約有 200×0.0048故選：C【點評】本題主要考查了用樣本的頻率分布估計總體分布，以及頻率分布直方圖，同時考查了頻數樣本容量×頻率等知識，屬于基礎題6（5 分）某中學從 4 名男生和 4 名女生中推薦 4 人參加社會公益活動，若選出的 4 人中既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A68 種B70 種C240 種D280 種【分析】先求出所有的選擇 4 人的種數，再排除全是男生和全是女生

23、的種數，即可求出【解答】解：選出的 4 人中既有男生又有女生，則有 C842C4470268，故選：A【點評】本題考查了簡單的排列組合問題，屬于基礎題7（5 分）在（x2 ）5 的展開式中，第 4 項的二項式系數為（）A10B10C5D5【分析】直接根據二項式系數的定義求解即可【解答】解：在（x2 ）5 的展開式中；第 4 項的二項式系數為10；故選：A【點評】本題考查了二項展開式的二項式系數應用問題，是基礎題在做題過程中需要區分二次項系數與系數的區別，避免出錯8 

24、（ 5 分 ） 某 人 拋 擲 一 枚 硬 幣 ， 出 現 正 反 的 概 率 都 是， 構 造 數 列 an ， 使 得，記 Sna1+a2+an（nN *）則 S42 的概率為（）ABCD【分析】S42 說明仍 4 次硬幣，出現了

25、60;3 次正面和一次反面，共有而所有的情況共有 2416 種，由此求得S42 的概率第9頁（共22頁）4 種情況，【解答】解：由 S42 可得，仍 4 次硬幣，出現了 3 次正面和一次反面，共有種情況，而所有的情況共有 2416 種，4故 S42 的概率為 ，故選：C【點評】本題主要考查 n 次獨立重復實驗中恰好發生 k 次的概率，等可能事件的概率，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題9（5&#

26、160;分）已知事件“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 ，使APB 的最大邊是 AB”發生的概率為 ，則A的值為（   ）B               C              D【分

27、析】根據概率，確定構成事件 M 的長度為線段 CD 的 ，根據對稱性，當 PDCD時，ABPB，利用勾股定理，即可得出結論【解答】解：記“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 P，使APB 的最大邊是 AB”為事件 M，試驗的全部結果構成的長度即為線段 CD，構成事件 M 的長度為線段 CD 的 ，設 AB3x，ADy，則根據對稱性，當 PD CD 時

28、，ABPB，由勾股定理可得（3x）2y2+（2x）2，   故選：B【點評】本題主要考查幾何概型，基本方法是：分別求得構成事件 A 的區域長度和試驗的全部結果所構成的區域長度，兩者求比值，即為概率10（5 分）圖中有一個信號源和五個接收器接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（）第10頁（共22頁）五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個

29、串聯線路中，  C41C21C118 種結果，ABCD【分析】首選將六個接線點隨機地平均分成三組可能出現的所有結果找出來，再根據五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯線路中，求出此種情況可能出現的結果，再運用概率公式即可得出所求事件概率【解答】解：將六個接線點隨機地平均分成三組，共有種結果，有這五個接收器能同時接收到信號的概率是，故選：D【點評】本題主要考查平均分組問題及概率問題概率問題的難點在于分析某事件所有可能出現的結果及其表示方法，而運用概率部分的性質、公式求某事件概率則只是解決問題的工具二、填空題共 6 小題，每小題 

30、5 分，共 30 分11（5 分）編號為 1，2，3，4，5 的五個人，分別坐在編號為 1，2，3，4，5 的座位上，則恰有兩個人的編號與其座位號分別相同的坐法種數為 20（用數字作答）【分析】根據題意，分 2 步進行分析：，從 5 個號碼中，選出兩個號碼，令其編號與其座位號相同，分析其余的三個座位與人的編號不同的情況，由分步計數原理計算可得答案【解答】解：根據題意，分 2 步進行分析：，從 5 個號碼中，選出兩個號碼，令其編

31、號與其座位號相同，有 C5210 種結果，其余的三個座位與人的編號不同，則第一個人有兩種選擇，另外兩個人的位置確定，共有 2 種結果，則恰有兩個人的編號與其座位號分別相同的坐法種數為 10×210 種；第11頁（共22頁）故答案為：20【點評】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題12（5 分）若拋物線 y22px 的焦點與雙曲線y21 的右頂點重合，則 p 4 【分析】確定雙曲線y21 的右頂點坐標，從而可得拋物線

32、0;y22px 的焦點坐標，由此可得結論【解答】解：雙曲線y21 的右頂點坐標為（2，0），拋物線 y22px 的焦點與雙曲線y21 的右頂點重合，13 5 分）設 P 是橢圓  +  1 上的一點，且      0，則1F2 的面積為92，p4故答案為：4【點評】本題考查雙曲線、拋物線的幾何性質，確定雙曲線的右焦點坐標是關鍵（【分析】根據橢圓的方程求得 c，得到|F1F2|，

33、設出|PF1|t1，|PF2|t2，利用勾股定理以及橢圓的定義，可求得 t1t2 的值，則三角形面積可求【解答】解：由橢圓+   1 得 a5，b3，c4，設|PF1|t1，|PF2|t2，則根據橢圓的定義得 t1+t210，F1PF290°，由勾股定理得 t12+t2264，即（t1+t2）22t1t264，1002t1t264，解得 t1t218，則1F2 的面積為： t1t29故答案為：9【點評】本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質解答的關鍵是通過勾股

34、定理解三角形，考查計算能力、數形結合思想，是中檔題14（5 分）正方體 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 ABD1B1 的大小是600第12頁（共22頁）【分析】建立空間直角坐標系，為面 ABD1 的一個法向量， 為面 BD1B1 的一個法向量，用向量法求二面角即可；【解答】解：以 AB，AD，AA1 為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為 1，則為面 ABD1 的一個法向量；  

35、60;       為面 BD1B1 的一個法向量；所以二面角 ABD1B1 的大小是：600故答案為：600【點評】本題考查求二面角的大小，求二面角的大小可以用定義法作出二面角的平面角，再解三角形，常用向量法解決，屬于基礎題15（5 分）在一個紅綠燈路口，紅燈、黃燈和綠燈的時間分別為30 秒、5 秒和 40 秒當你到達路口時，不是紅燈的概率為【分析】利用對立事件概率計算公式求解【解答】解：一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30 

36、秒，黃燈的時間為 5 秒，綠燈的時間為 40 秒，當你到達路口時，看到的不是紅燈的概率是：p1 16 5 分）若（12x）2019a0+a1x+a2x2+a2019x2019（xR ），則故答案為： 【點評】本題考查了概率的公式，屬于基礎題（第13頁（共22頁）+   +       1【分析】在所給的等式中，令 x0，可得 a01；再 x ，轉化求解即可R【解答】解

37、：因為（12x）2019a0+a1x+a2x2+a2019x2019（x ），所以令 x0，可得a01再令 x ，可得 01+，+1，故答案為：1【點評】本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的 x 賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于基礎題三、解答題共 4 小題，共 40 分解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程17（10 分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以

38、60;X 表示（）如果 X8，求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；（）如果 X9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y 的分布列和數學期望（【分析】 I）當 X8 時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，由此能求出乙組同學植樹棵樹的平均數和方差（）當 X9 時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求得對應的概率由此能求出這兩名同學的植樹總棵樹 Y 的分

39、布列和數學期望【解答】解：（I）當 X8 時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，所以平均數為；第14頁（共22頁）方差為（）當 X9 時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有 4×416 種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數 Y 的可能取值為 17，18，19，20，21，事件“Y17”等價于“甲組選出的同學植樹 9 棵，乙組選出的同學植樹 8

40、0;棵”，所以該事件有 2 種可能的結果，因此 P（Y17）事件“Y18”等價于“甲組選出的同學植樹 9 棵，乙組選出的同學植樹 9 棵”，所以該事件有 4 種可能的結果，因此 P（Y18） 事件“Y19”等價于“甲組選出的同學植樹 9 棵，乙組選出的同學植樹 10 棵；或甲組選出的同學植樹 11 棵，乙組選出的同學植樹 8 棵”，所以該事件有 2+24 種可能的結果，因此 P

41、（Y19） 事件“Y20”等價于“甲組選出的同學植樹11 棵，乙組選出的同學植樹 9 棵”，所以該事件有 4 種可能的結果，因此 P（Y20） 事件“Y21”等價于“甲組選出的同學植樹 11 棵，乙組選出的同學植樹 10 棵”，所以該事件有 2 種可能的結果，因此 P（Y21）所以隨機變量 Y 的分布列為：Y17         18&#

42、160;        19         20         21PEY17×P（Y17）+18×P（Y18）+19×P（Y19）+20×P（Y20）+21×P（Y21）第15頁（共22頁）17× +18× +19× +20

43、× +21× 19【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的應用，解題時要認真審題，注意莖葉圖的性質和應用18（10 分）某地區對 12 歲兒童瞬時記憶能力進行調查，瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力某班學生共有 40 人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調查結果例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為 3 人視覺聽覺視覺記憶能力偏低          

44、0;中偏超等高常聽覺記憶能力偏低中等偏高超常01207 5 18 3 ba 0 12 1 1由于部分數據丟失，只知道從這 40 位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為 （1）試確定 a，b 的值；（2）從 40 人中任意抽取 3 人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為 X，求隨機變量 X 的分布列（【分析】 1）視覺記憶能力

45、恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的人數為 8+3+b，結合總人數為 40 即可得到 b，從而得到 a 的值；（2）依題意，隨機變量 X 服從超幾何分布，其中由（1）知，40 人中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為 24 人，即可得到所求【解答】解：（1）依題意，聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為 ，解得b5，所以 a40（7+5+1+1+8+3+5+2+1+2+1+1）3；（ 2 ）由（ 1 ）知具

46、有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為2+3+2+5+1+3+5+1+1+124 人，根據題意，隨機變量 X 服從超幾何分布，X 的可能取值為 0，1，2，3，第16頁（共22頁）PPP（X0），（X1），（X2），P（X3）X 的概率分布列為：X0              1         

47、     2              3P【點評】本題考查了概率統計表的識別和應用，考查了超幾何分布，離散型隨機變量的概率分布列，考查數據處理能力和計算能力，屬于中檔題（19 10 分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD 為平行四邊形，ABD90°，EB平面 ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC   ，且 

48、;M 是 BD 的中點（1）求證：EM平面 ADF；（2）求二面角 DAFB 的余弦值；（3）在線段 ED 上是否存在一點 P，使得 BP平面 ADF？若存在，求出 EP 的長度；若不存在，請說明理由（【分析】 1）取 AD 的中點 N，連結 MN、NF，推導出四邊形 MNFE 是平行四邊形，從而 EMFN，由此能證明 EM平面 ADF（2）設 AB、AF&

49、#160;的中點分別為 P，Q，則 FPEB，AP1，AF，ABF 是正三角形，由 BDAB，BDEB，得 BD平面 ABF，從而BQD 是二面角 DAFB 的平面角，由此能求出二面角 DAFB 的大小；（3）以 B 為原點，BD，BA，BE 分別為 x，y，z 軸建立空間平面直角坐標系，利用空間向量的坐標運算解決【解答】證明：（1）取 AD 的中點 N，連結 MN、NF，第17頁（共22頁）在DAB 中，M 是 BD 的中點，N 是 AD 的中點，MNAB，MN AB，又EFAB，EF AB，MNEF 且 MNEF，四邊形 MNFE 是平行四邊形，EMFN，FN平面 ADF，EM平面 ADF，EM平面 ADF（2）設 AF 的中點分別為 Q；第18頁（共22頁）則 FPEBAP1，AF，ABF