1、2016 年天津市高考數學試卷（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的1（5 分）已知集合 A=1，2，3，B=y|y=2x1，xA，則 AB=（）A1，3B1，2C2，3D1，2，32（5 分）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是 ，甲獲勝的概率是 ，則甲不輸的概率為（）ABCD3（5 分）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側（左）視圖為（）ABC      

2、0;      D4（5 分）已知雙曲線=1（a0，b0）的焦距為 2，且雙曲線的一條漸近線與直線 2x+y=0 垂直，則雙曲線的方程為（）Ay2=1Bx2=1C=1D=15（5 分）設 x0，yR，則“xy”是“x|y|”的 （）A充要條件B充分不必要條件1C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件6（5 分）已知 f（x）是定義在 R 上的偶函數，且在區間（，0）上單調遞增，若實數 a 滿足 f

3、（2|a1|）f（A（， ）C（ ， ），則 a 的取值范圍是（    ）B（， ）（ ，+）D（ ，+）7（5 分）已知ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點 D、E 分別是邊 AB、BC 的中點，連接 DE 并延長到點 F，使得 DE=2EF，則ABC的值為（    ）D8（5 分）已知函數 f

4、（x）=sin2+ sinx （0），xR，若 f（x）在區間（，2）內沒有零點，則  的取值范圍是（）A（0， C（0， B（0，  ，1）D（0，  ， 二、填空題本大題 6 小題，每題 5 分，共 30 分9（5 分）i 是虛數單位，復數 z 滿足（1+i）z=2，則 z的實部為10（5 分）已知函數 f（x）=（2x+1）ex，f（x）為&

5、#160;f（x）的導函數，則 f（0）的值為11（5 分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出 S 的值為（M12 5 分）已知圓 C 的圓心在 x 軸正半軸上，點 （0，）在圓 C 上，且圓心到直線 2xy=0 的距離為，則圓 C 的方程為13（5 分）如圖，AB 是圓的直徑，弦 CD 與 AB 相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段 

6、;CE 的長為214（5 分）已知函數 f（x）=（a0，且 a1）在 R 上單調遞減，且關于 x 的方程|f（x）|=2 恰有兩個不相等的實數解，則 a的取值范圍是三、解答題：本大題共 6 小題，80 分（B  Cb  c1513 分）在ABC 中，內角 A， 所對的邊分別為 a，已知 asin2B=（1）求 B；（2）已知 cosA= 

7、;，求 sinC 的值bsinA316（13 分）某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要 A，B，C 三種主要原料，生產 1 車皮甲種肥料和生產 1 車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如下表所示：肥料 原料甲乙A45B85C310現有 A 種原料 200 噸，B 種原料 360 噸，C 種原料 300 噸，在此基礎上生產甲、乙兩種肥料已知生產 1 車皮甲種肥料，產生的利潤為 

8、;2 萬元；生產 1 車皮乙種肥料，產生的利潤為 3 萬元、分別用 x，y 表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數（）用 x，y 列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；（）問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤417（13 分）如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，BAD=60°，G 為 BC 

9、;的中點（1）求證：FG平面 BED；（2）求證：平面 BED平面 AED；（3）求直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值（18 13 分）已知a 是等比數列，前 n 項和為 S（nN*），且nn（1）求a 的通項公式；nS  =  ， =636n（2）若對任意的 nN*，b 是 log a 和 log a 的等差中項，求數

10、列（1） bn2n2n+1的前 2n 項和519（14 分）設橢圓+=+  =1（a  ）的右焦點為 F，右頂點為 A，已知，其中 O 為原點，e 為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設過點 A 的直線 l 與橢圓交于 B（B 不在 x 軸上），垂直于 l 的直線與 l 交于點 M，與 y 軸交于點 H，

11、若 BFHF，且MOA=MAO，求直線 l 的斜率20（14 分）設函數 f（x）=x3axb，xR，其中 a，bR（1）求 f（x）的單調區間；（2）若 f（x）存在極值點 x ，且 f（x ）=f（x ），其中 x x ，求證：x +2x =0；0101010（3）設 a0，函數 g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區間1，1上的最大值不小于 62016 年天津市高考數

12、學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的1（5 分）已知集合 A=1，2，3，B=y|y=2x1，xA，則 AB=（）A1，3B1，2C2，3D1，2，3【考點】1E：交集及其運算【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5J：集合【分析】根據題意，將集合 B 用列舉法表示出來，可得 B=1，3，5，由交集的定義計算可得答案【解答】解：根據題意，集合 A=1，2，3，而 B=y|y=2x1，xA，則 B=1，3，5，則 AB=1，3，故

13、選：A【點評】本題考查集合的運算，注意集合 B 的表示方法2（5 分）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是 ，甲獲勝的概率是 ，則甲不輸的概率為（）ABCD【考點】CB：古典概型及其概率計算公式【專題】11：計算題；36：整體思想；4O：定義法；5I：概率與統計【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【解答】解：甲不輸與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件根據互斥事件的概率計算公式可知：甲不輸的概率 P= + = 故選：A7【點評】本題考查互斥事件與對立事件的概率公式，關鍵是判斷出事件的關系，然后選擇合適的概率

14、公式，屬于基礎題3（5 分）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側（左）視圖為（）ABCD【考點】L7：簡單空間圖形的三視圖【專題】31：數形結合；44：數形結合法；5Q：立體幾何【分析】根據主視圖和俯視圖作出幾何體的直觀圖，找出所切棱錐的位置，得出答案【解答】解：由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為 DAD C，1棱 CD 在左側面的投影為 BA ，118故選：B【點評】本題考查了棱錐，棱柱的結構特征，三視圖，考查空間想象能力，屬于基礎題4（5 分）已知雙曲

15、線=1（a0，b0）的焦距為 2，且雙曲線的一條漸近線與直線 2x+y=0 垂直，則雙曲線的方程為（）Ay2=1Bx2=1C=1D=1【考點】KC：雙曲線的性質【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法【分析】利用雙曲線=1（a0，b0）的焦距為 2，且雙曲線的一條漸近線與直線 2x+y=0 垂直，求出幾何量 a，b，c，即可求出雙曲線的方程【解答】解：雙曲線  =1（a0，b0）的焦距為 2  ，c=，雙曲線的一條漸近線與直線 2x+y=0 垂直

16、， = ，a=2b，c2=a2+b2，a=2，b=1，雙曲線的方程為=1故選：A【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，考查待定系數法的運用，確定雙曲線的幾何量是關鍵95（5 分）設 x0，yR，則“xy”是“x|y|”的 （）A充要條件C必要而不充分條件B充分不必要條件D既不充分也不必要條件【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件【專題】12：應用題；35：轉化思想；48：分析法；5L：簡易邏輯【分析】直接根據必要性和充分判斷即可【解答】解：設 x0，yR，當 x0，y=1 時，滿足 xy 但不

17、滿足 x|y|，故由 x0，yR，則“xy”推不出“x|y|”，而“x|y|”“xy”，故“xy”是“x|y|”的必要不充分條件，故選：C【點評】本題考查了不等式的性質、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題6（5 分）已知 f（x）是定義在 R 上的偶函數，且在區間（，0）上單調遞增，若實數 a 滿足 f（2|a1|）f（A（， ）C（ ， ），則 a 的取值范圍是（    ）B（， ）（&

18、#160;，+）D（ ，+）【考點】3E：函數單調性的性質與判斷【專題】33：函數思想；49：綜合法；51：函數的性質及應用【分析】根據函數的對稱性可知 f（x）在（0，+）遞減，故只需令 2|a1|即可【解答】解：f（x）是定義在 R 上的偶函數，且在區間（，0）上單調遞增，f（x）在（0，+）上單調遞減2|a1|0，f（10）=f（  ），2|a1|a1|解得=2，故選：C【點評】本題考查了函數的單調性，奇偶性的性質，屬于中檔題7（5 分）已知ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點

19、 D、E 分別是邊 AB、BC 的中點，連接 DE 并延長到點 F，使得 DE=2EF，則   的值為（    ）AB              CD【考點】9O：平面向量數量積的性質及其運算【專題】11：計算題；35：轉化思想；41：向量法；5A：平面向量及應用【分析】由題意畫出圖形，把答案【解答】解：如圖

20、，、  都用      表示，然后代入數量積公式得D、E 分別是邊 AB、BC 的中點，且 DE=2EF，   =11故選：C【點評】本題考查平面向量的數量積運算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題8（5 分）已知函數 f（x）=sin2+ sinx （0），xR，若 f（x）在區間（，2）內沒有零點，則  的取值范圍是（）A（0， B（0，  

21、，1）              C（0， D（0， ， 【考點】52：函數零點的判定定理【專題】35：轉化思想；51：函數的性質及應用；57：三角函數的圖像與性質【分析】函數 f（x）=，由 f（x）=0，可得=0，解得 x= （，2），因此           ，即可得出&#

22、160;       【 解 答 】 解 ： 函 數=+ sinx=由 f（x）=0，可得f （ x ） =，=0，+    sinx 解得 x=（，2），               &#

23、160;=                 ，f（x）在區間（，2）內沒有零點，        故選：D【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12二、填空題本大題 6 小題，每題 5 分，共 30 分9（5 分）i 是

24、虛數單位，復數 z 滿足（1+i）z=2，則 z 的實部為1【考點】A1：虛數單位 i、復數【專題】11：計算題；35：轉化思想；4A：數學模型法；5N：數系的擴充和復數【分析】把已知等式變形，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案【解答】解：由（1+i）z=2，得，z 的實部為 1故答案為：1【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題10（5 分）已知函數 f（x）=（2x+1）ex，f（x）為 f（x）的導函數，則 f（0）的值為3【考點】63：導數的

25、運算【專題】11：計算題；33：函數思想；4O：定義法；52：導數的概念及應用【分析】先求導，再帶值計算【解答】解：f（x）=（2x+1）ex，f（x）=2ex+（2x+1）ex，f（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3故答案為：3【點評】本題考查了導數的運算法則，屬于基礎題（11 5 分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出 S 的值為413【考點】EF：程序框圖【專題】35：轉化思想；49：綜合法；5K：算法和程序框圖【分析】根據循環結構，結合循環的條件，求出最后輸出 S 的值【解答】解：第一次循環：S

26、=8，n=2；第二次循環：S=2，n=3；第三次循環：S=4，n=4，結束循環，輸出 S=4，故答案為：4【點評】本題主要考查程序框圖，循環結構，注意循環的條件，屬于基礎題12（5 分）已知圓 C 的圓心在 x 軸正半軸上，點 M（0，）在圓 C 上，且圓心到直線 2xy=0 的距離為，則圓 C 的方程為  （x2）2+y2=9  【考點】J1：圓的標準方程【專題】11：計算題；34：方程思想；4A：數學模型法；5B：直線與圓

27、14【分析】由題意設出圓的方程，把點 M 的坐標代入圓的方程，結合圓心到直線的距離列式求解【解答】解：由題意設圓的方程為（xa）2+y2=r2（a0），由點 M（0，）在圓上，且圓心到直線 2xy=0 的距離為，得，解得 a=2，r=3圓 C 的方程為：（x2）2+y2=9故答案為：（x2）2+y2=9【點評】本題考查圓的標準方程，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題13（5 分）如圖，AB 是圓的直徑，弦 CD 與 AB 相交于點 E，BE

28、=2AE=2，BD=ED，則線段 CE 的長為【考點】NC：與圓有關的比例線段【專題】11：計算題；35：轉化思想；44：數形結合法；5B：直線與圓【分析】由 BD=ED，可得BDE 為等腰三角形，過 D 作 DHAB 于 H，由相交弦定理求得 DH，在 RtDHE 中求出 DE，再由相交弦定理求得 CE【解答】解：如圖，過 D 作 DHAB 于 H，BE=2AE=2，BD=ED，BH=HE=1，則

29、0;AH=2，BH=1，DH2=AH BH=2，則 DH=，在 DHE 中，則由相交弦定理可得：CE DE=AE EB，15故答案為：【點評】本題考查與圓有關的比例線段，考查相交弦定理的應用，是中檔題14（5 分）已知函數 f（x）=（a0，且 a1）在 R 上單調遞減，且關于 x 的方程|f（x）|=2 恰有兩個不相等的實數解，則 a的取值范圍是 ， ）【考點】5B：分段函數的應用【專題】33：函數思想；44：數形結合法；5

30、1：函數的性質及應用【分析】由減函數可知 f（x）在兩段上均為減函數，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和 y=2 的圖象，根據交點個數判斷 3a 與 2 的大小關系，列出不等式組解出【解答】解：f（x）是 R 上的單調遞減函數，y=x2+（4a3）x+3a 在（，0）上單調遞減，y=log （x+1）+1 在（0，+a）上單調遞減，且 f（x）在（，0）上的最小值大于或等于 f（0），解得 a 作出

31、0;y=|f（x）|和 y=2 的函數草圖如圖所示：由圖象可知|f（x）|=2 在0，+）上有且只有一解，16|f（x）|=2 恰有兩個不相等的實數解，x2+（4a3）x+3a=2 在（，0）上只有 1 解，即 x2+（4a ）x+3a2=0 在（，0）上只有 1 解，或，解得 a=或 a ，又 a ，故答案為 ， ）【點評】本題考查了分段函數的單調性，函數零點的個數判斷，結合函數函數圖象判斷端點值的大小是

32、關鍵，屬于中檔題三、解答題：本大題共 6 小題，80 分（B  Cb  c1513 分）在ABC 中，內角 A， 所對的邊分別為 a，已知 asin2B=（1）求 B；（2）已知 cosA= ，求 sinC 的值【考點】HU：解三角形（【專題】38：對應思想；49：綜合法；58：解三角形【分析】 1）利用正弦定理將邊化角即可得出 cosB；bsinA17（2）求出 sinA，利用兩角和的

33、正弦函數公式計算【解答】解：（1）asin2B=bsinA，2sinAsinBcosB=cosB=，B=sinBsinA，（2）cosA= ，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=      【點評】本題考查了正弦定理解三角形，兩角和的正弦函數，屬于基礎題16（13 分）某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要 A，B，C 三種主要原料，生產 1 車皮甲種肥料和生產 1 車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如下表所示：肥料

34、60;原料甲乙A45B85C310現有 A 種原料 200 噸，B 種原料 360 噸，C 種原料 300 噸，在此基礎上生產甲、乙兩種肥料已知生產 1 車皮甲種肥料，產生的利潤為 2 萬元；生產 1 車皮乙種肥料，產生的利潤為 3 萬元、分別用 x，y 表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數（）用 x，y 列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；（）問分別生產甲、乙兩

35、種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤【考點】7C：簡單線性規劃【專題】33：函數思想；44：數形結合法；59：不等式的解法及應用【分析】（）設出變量，建立不等式關系，即可作出可行域（）設出目標函數，利用平移直線法進行求解即可【解答】解：（）由已知 x，y 滿足不等式，則不等式對應的平18面區域為，（）設年利潤為 z 萬元，則目標函數為 z=2x+3y，即 y= x+ ，平移直線 y= x+ ，由圖象得當直線經過點 M 時，直線的截距最大，此時

36、60;z 最大，由得，即 M（20，24），此時 z=40+72=112，即分別生產甲肥料 20 車皮，乙肥料 24 車皮，能夠產生最大的利潤，最大利潤為112 萬元【點評】本題主要考查線性規劃的應用，根據條件建立約束條件，作出可行域，利用平移法是解決本題的關鍵17（13 分）如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，BAD=60°，G 為 BC 的

37、中點（1）求證：FG平面 BED；（2）求證：平面 BED平面 AED；（3）求直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值19【考點】LS：直線與平面平行；LY：平面與平面垂直；MI：直線與平面所成的角（【專題】15：綜合題；35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離【分析】 1）利用中位線定理，和平行公理得到四邊形 OGEF 是平行四邊形，再根據線面平行的判定定理即可證明；（2）根據余弦定理求出 BD=，繼而得到 BDAD，再根據面面垂直的判定定理即可證明；（3

38、）先判斷出直線 EF 與平面 BED 所成的角即為直線 AB 與平面 BED 所形成的角，再根據余弦定理和解直角三角形即可求出答案【解答】證明：（1）BD 的中點為 O，連接 OE，在BCD 中，G 是 BC 的中點，OGDC，且 OG= DC=1，又EFAB，ABDC，EFOG，且 EF=OG，即四邊形 OGEF 是平行四邊形，FGOE，FG 平面 BED，OE平面 

39、;BED，FG平面 BED；（）證明：在ABD 中，AD=1，AB=2，BAD=60°，由余弦定理可得 BD=即 BDAD，20，僅而ADB=90°，又平面 AED平面 ABCD，BD 平面 ABCD，平面 AED平面 ABCD=AD，BD平面 AED，BD 平面 BED，平面 BED平面 AED（）EFAB，直線 EF 與平面 BED 所成的角即為直線 AB 與平面

40、 BED 所形成的角，過點 A 作 AHDE 于點 H，連接 BH，又平面 BED平面 AED=ED，由（2）知 AH平面 BED，直線 AB 與平面 BED 所成的角為ABH，在ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得 cosADE= ，sinADE=，AH=AD，在 AHB 中，sinABH=  ，直線 EF 與平面 BED 

41、所成角的正弦值【點評】本題考查了直線與平面的平行和垂直，平面與平面的垂直，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬于中檔題（18 13 分）已知a 是等比數列，前 n 項和為 S（nN*），且nn（1）求a 的通項公式；nS  =  ， =63621n（2）若對任意的 nN*，b 是 log a 和 log a 的等差中項，求數列（1） bn2n2n+1的前&#

42、160;2n 項和【考點】8M：等差數列與等比數列的綜合【專題】35：轉化思想；49：綜合法；54：等差數列與等比數列（【分析】 1）根據等比數列的通項公式列方程解出公比 q，利用求和公式解出 a ，1得出通項公式；（2）利用對數的運算性質求出 b ，使用分項求和法和平方差公式計算n【解答】解：（1）設a 的公比為 q，則n    =     ，即 1 =  ，解得 

43、q=2 或 q=1若 q=1，則 S =0，與 S =63 矛盾，不符合題意q=2，66S =6=63，a =11a =2n1n（2）b 是 log a 和 log a 的等差中項，n2n2n+1b = （log a +log a ）= （log 2n1+log 2n）=n n2n2n+122b b 

44、;=1n+1nb 是以 為首項，以 1 為公差的等差數列n設（1）nb 2的前 2n 項和為 T ，則nnT =（b 2+b 2）+（b 2+b 2）+（bn12342n12+b 2）2n=b +b +b +b +b12342n1+b2n=2n2【點評】本題考查了等差數列，等比數列的性質，分項求和的應用，屬于中檔題19（14 分）設橢圓22+  =1（a  

45、）的右焦點為 F，右頂點為 A，已知+=，其中 O 為原點，e 為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設過點 A 的直線 l 與橢圓交于 B（B 不在 x 軸上），垂直于 l 的直線與 l 交于點 M，與 y 軸交于點 H，若 BFHF，且MOA=MAO，求直線 l 的斜率【考點】K4：橢圓的性質【專題】15：綜合題；35：轉化思想；49：綜合法；5D：圓

46、錐曲線的定義、性質與方程（【分析】 1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+    =    ，轉化為關于 a 的方程，解方程求得 a 值，則橢圓方程可求；（2）由已知設直線 l 的方程為 y=k（x2）， k0），聯立直線方程和橢圓方程，化為關于 x 的一元二次方程，利用根與系數的關系求得 B 的坐標，再寫出 MH所 在 直 線&

47、#160;方 程 ， 求 出H的 坐 標 ， 由BF  HF ， 得，整理得到 M 的坐標與 k 的關系，由MOA=MAO，得到 x =1，轉化為關于 k 的等式求得 k 的值0【解答】解：（1）由+=，得+ =，即=，aa2（a23）=3a（a23），解得 a=2橢圓方程為；（2）由已知設直線 l 的方程為 y=k（x2），（

48、k0），設 B（x ，y ），M（x ，k（x 2），1100MOA=MAO，x =1，023再設 H（0，y ），H聯立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根與系數的關系得，MH 所在直線方程為 yk（x 2）= （xx ），00令 x=0，得 y =（k+ ）x 2k，H0BFHF，即 1x +y y 

49、=111H整理得：，（k+ ）x 2k=0，0=1，即 8k2=3k=或 k=【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，體現了“整體運算”思想方法和“設而不求”的解題思想方法，考查運算能力，是難題20（14 分）設函數 f（x）=x3axb，xR，其中 a，bR（1）求 f（x）的單調區間；（2）若 f（x）存在極值點 x ，且 f（x ）=f（x ），其中 x x ，求證：x +2x 

50、=0；0101010（3）設 a0，函數 g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區間1，1上的最大值不小于 【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6D：利用導數研究函數的極值24（【專題】16：壓軸題；35：轉化思想；4C：分類法；53：導數的綜合應用【分析】 1）求出 f（x）的導數，討論 a0 時 f（x）0，f（x）在 R 上遞增；當 a0 時，由導數大于 0，可得增區間；導數小于 0，可得減區間；（2）由條件判斷出 a0，且 x 0，由 f（x ）=0 求出 x ，分別代入解析式化000簡 f（x