1、百度文庫§2. 2向量的分解與向量的坐標運算2. 2. 1 平面向量基本定理【課時目標】1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之間的夾角與垂直.知識梳理1 .平面向量基本定理（1）定理：如果 ei, %是同一平面內的兩個 的向量，那么對于這一平面內的 向量a,存在唯一的一對實數 ai, a2,使a =.（2）基底：把不共線的向量 ei, %叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.2 .直線的向量參數方程已知A, B是直線l上任意兩點，。是l外一點，則對直線l上任一點P,存在實數t, 使OP關于基底OA, OB的分解式為.上式叫做直線I的向量參數方程式， i, 一 一 .， 一其中

2、實數t叫做參變數，簡稱參數.令 t=，點M是AB的中點，則OM =.作業設計一、選擇題1.若ei, e2是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（）1A . e1一出, %e1B. 2& + 研+？©2C. 2e2386e1 4%D . e+e2, e1 一2.下面三種說法中，正確的是 （）一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；一個平面內有無數多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量.A. B.C.D.3,已知向量 er e2不共線，且（3x 4y）eI + 3% = 6e1+（2x3y）e2,則 j的值是（

3、）A. 3B. - 3C. 0D. 24.若Op1=a, Op2=b, %=如2（斤1）,則 OP等于（）A. a+ 犯B. a+（1汕C冶+bD. 7.a + TT；bI十人 I十人5 .如果8、e2是平面a內兩個不共線的向量，那么在下列各命題中不正確的有（）？e1+國2（太 衣R）可以表示平面 a內的所有向量；對于平面a中的任一向量a,使a=屆+隱的實數入、科有無數多對；若向量 e+因©2與 灰e1 +梭62共線，則有且只有一個實數使4a +因62= X4e1 +*；若實數入、使居+層=0,則壯尸0.A.B.C.D.AF 16 .如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，F是AD

4、上的一點，且FD = -,連結CF 并延長交AB于E,則落等于（）二、填空題7 .設向量 m=2a3b,n= 4a 2b,p= 3a+2b,試用m,n 表示p,貝Up=.8 .設e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量： e1與e1+e2; ®e1 2e2與e2 -2 e1；ei2e2與4僉一2e1.其中能作為平面內所有向量的一組基底的序號是 .（寫 出所有滿足條件的序號）9 .在 ABC 中，AB = c, AC=b.若點 D 滿足BD=2dC,則AD =. . . . . . . . 一10 .在平行四邊形 ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC= E+ gF

5、, 其中入衣R,則計尸.三、解答題11 .已知 ABC中，D為BC的中點，E, F為BC的三等分點，若AB=a, AC=b,用 a, b 表小 AD , AE? AF.B E D F C12 .如圖所示，已知 AOB中，點C是以A為中點的點B的對稱點，OD = 2DB, DC 和OA交于點E,設OA = a, OB=b.用a和b表示向量OC、DC； （2）若o!=肥）A,求實數入的值.【能力提升】13 .如圖所示，OM / AB,點P在由射線 OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區 域內(不含邊界)運動，且OP = xOA+yOB,則x的取值范圍是 ;當x= 2時，y的 取值范圍是.14 .

6、如圖所示，在 ABC中，點 M是BC的中點，點 N在邊 AC上，且AN = 2NC, AM 與BN相交于點 P,求證：AP：PM=4：1.15 對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的.平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條件.(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.16 準確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理體現了轉化與化歸的數學思想，用向量解決幾何問題時，我們可 以選擇適當的

7、基底，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.百度文庫衛.2向量的分解與向量的坐標運算2. 2. 1平面向量基本定理 答案知識梳理1. (1)不平行任一a101 + a2 改1> 12. OP = (1 -t)OA+tOB (OA+OB)作業設計1. D 2, B3. D (3x-4y 6)e1+(32x+3y)e2=0, .e1與e2不共線3x- 4y-6=0,解得2x- 3y-3=0x= 6y= 3x=2.選 D. y/曰 2x+ 4y =3- 3x- 2y=2_13、V= 8f ±±4. D / P1P= FP2, 1 OP-OP1= XOP2-OP).(

8、1+ NO P=O P1+ Q P21+”一i+子+1+尸5. B 由平面向量基本定理可知，是正確的.對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的.對于，當兩向量的系數均為零，即 %= 4=用=成=。時，這樣的 入有無數個，故選 B.6. D 設AB=a, AC = b, 77=入EBAF- =Cf = Ca+AfFD 51 1 -= CA+ 6AD = (AB + AC) AC1 一 11 -111=12AB12AC= 12a 12bCE= CA +AE= CA+= bab -1+入 Cf / Ce,入.1+ L 1,1 1 =111212

9、8.解析對于 4e2 2e1 = 2e + 4e2= 2(e1 一 2%), ©1 2e2與4e22 e1共線，不能作為基底.9 . |b+ 1c 33解析 AD = AB+BD = AB+|bC 3= Ab+|(aC-AB)3= 1Ab+|/aC=| b+1 c.3333410 .-3解析設AB=a, AD = b,人 11則AE=2a+ b, AF = a+b,4- 3尸又 AC= a+ b, .2> 2, ；-> I-2 AC= W(AE + AF),即入=, 33,7 r± _j-±11.解 AD =AB + BD 77L1 f= AB+BC

10、111= a+r( b-a )=2 a+Qb；AE =->>->AB+ BE=AB+ 1BC = a + 1( b- a)33= 2a + ； b; 33AF = AB+ BF = AB + |bC = a + |( b- a)333a+ 3b1212.解 （1）由題意，A是BC的中點，且（5D=foB, 3由平行四邊形法則， OB+ OC = 2（OA.OC=2OA-OB=2 a-b,dC=OC OD = (2a b)-|b=2 a-|b.33(2)eC/DC.又. eC=OC-Oe= (2ab)后=(2 Na b, DC = 2a b,3. 2一己 1. ,4一 2 一|

11、 一 仁 531 313 .(一巴 0)。2)解析由題意得：OP=a (OM + b OB(a, b R+ , 0<b<1)=a 岫+b <DB =a XOB OA) + b OB=-a 入OA + (a 計 b) OB(Q0).由 一 a K0,得 x C ( 00 , 0).又由 OP=xOA+yOB,則有 0<x+ y<1,當 x=一 2時，有 0<一 + y<1,解得 ye 3 ,14 .證明 設AB=b, AC=c,則AM = 1b+1c, AN=2AC = 2c, 2233 一. 2BN= BA+AN=-c- b. 3 . ap/i Am, Bp / BN, 存在N 代R,使得AP=扁,BP=際,一 -L->又 AP+PB = AB,心M -(jBN=