1、哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 抽樣信號的傅立葉變換抽樣信號的傅立葉變換 抽樣定理抽樣定理3.4 周期信號和抽樣信號的周期信號和抽樣信號的傅立葉變換傅立葉變換 重要！重要！哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系一、周期信號的傅立葉變換一、周期信號的傅立葉變換1正弦、余弦信號的傅立葉變換正弦、余弦信號的傅立葉變換 1111111111111112( )12()12( )12()cos()()2sin() ()()2jtjtjtjtjtjteeeeteetjj FFFFFFFF周期信號周期信號傅里

2、葉級數傅里葉級數非周期信號非周期信號1T ？傅里葉變換傅里葉變換1T哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系110( )( )( )jF( )( )110( )F1costF1sintF哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系極限法極限法/21( )limSa()limSa()22kkk 11111111( )coslim( )coslim()21lim ()()2limSa()Sa()2222jtjtG ttG tteeGGFFF111cos()()t F110122()F哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系2.一般

3、周期信號的傅立葉變換一般周期信號的傅立葉變換ii) 周期信號頻譜離散（傅立葉變換和傅立葉級數）周期信號頻譜離散（傅立葉變換和傅立葉級數）周期信號周期信號i)11112121( ), ( )TjntjntTnnnf tF eFf t edtT111( )2()jntjntnnnnnnf tF eFeFn FFF11121121( )2(), ( )TjntTnnnf tFnFf t edtT F一些沖激函數（頻譜密度概念），位于諧頻處，強度為一些沖激函數（頻譜密度概念），位于諧頻處，強度為2nF哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系nF)(0F傅立葉級數系數傅立葉級數系

4、數 與單脈沖傅立葉變換與單脈沖傅立葉變換 關系關系1111111112201122200020111( )( )( )( )( )1( )|TTjntjntTTnTj tnnj tTFf t edtf t edtTTFf t edtf t eFdtFT12T0( )ftt0 12T1T12T)(tft0 12T1T 哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系11011( )2(), ( )|nnnnf tFnFFT F01110112( )() ()( ) ()nnf tF nnFnT F)(0F 與與 關系關系( )F01( )()nf tftnT)(0tf)(0F(

5、)F離散離散重復重復連續連續抽樣抽樣1系數系數哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系1( )()TnttnT例例1：求：求 傅立葉變換傅立葉變換1111111( )2()2()()( )jntTnnnnnntF eFnnnT FF101111( )|nnFFTT00( )( )( )1f ttF解：解：哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系)(tT為周期信號為周期信號1T1T0( )Tt(1) t( )F11111()0 ( )F為周期函數為周期函數哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系例例2：求：求 的傅立葉變換的

6、傅立葉變換nnTtEGtf)()(1解：解：00( )( )( )Sa()2f tEG tFE110111( )|Sa()2nnnEFFTT11111111( )2()2Sa() ()Sa() ()22jntnnnnnnf tF eFnnnEnEnT FF哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系1( )F1021()EE( )f tt0 哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系二、抽樣信號的傅立葉變換二、抽樣信號的傅立葉變換抽樣抽樣連續信號連續信號量化編碼量化編碼周期性抽樣脈沖序列周期性抽樣脈沖序列p(t)f(t)抽樣信號抽樣信號fs(t)數字信

7、號數字信號1.抽樣概念抽樣概念 抽樣過程抽樣過程:( )( )( )sf tf tp t哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系Sa( ) t與與 含義不同含義不同( )( ), ( )( ), ( )( ) ssf tFf tFp tP問題問題: 的形式的形式, 與與 的聯系？的聯系？ -抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換 保留保留 的全部信息的全部信息, 從從 無失真恢復無失真恢復 ？ -時域抽樣定理時域抽樣定理( )F( )sF( )sF( )sf t( )f t( )sf t( )f t哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系11(

8、 )( )( )( ) 2()22( )()()nsnsnnnnsnsnnFFPFpnpFnp Fn 221( )sssTjntTnspp t edtT2. 時域抽樣信號的傅里葉變換時域抽樣信號的傅里葉變換討論均勻抽樣情況，抽樣周期為討論均勻抽樣情況，抽樣周期為 ，抽樣頻率，抽樣頻率sT2 /ssT( )( )( )sf tf tp t結論結論1: 時域抽樣時域抽樣 頻域重復頻域重復(幅度被幅度被 加權加權, 形狀不變，形狀不變，重復間隔為重復間隔為 ， 取決于取決于 的形狀的形狀)npsnp( )p t其中其中哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系矩形脈沖矩形脈沖抽

9、樣抽樣Sa(), ( )Sa() ()22nssnssnssnnEEpFFnTT 哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系11, ( )()nnssnsspFFnTT沖激抽樣沖激抽樣(理想抽樣理想抽樣)哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系時域抽樣定理（頻帶受限信號）時域抽樣定理（頻帶受限信號）頻譜不混迭頻譜不混迭:頻譜混迭頻譜混迭:2sm2smsm哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系b) 幾個名詞：幾個名詞：msmmsmsfTff21 :);2(22 : ;2 :奈奎斯特間隔奈奎斯特頻率奈奎斯特角頻率物理解釋物理解

10、釋: 頻帶受限信號的最高變化速度頻帶受限信號的最高變化速度受最高頻率分量的限制受最高頻率分量的限制, 其波形不可能在其波形不可能在很短的時間內產生獨立的、實質的變化很短的時間內產生獨立的、實質的變化a) 定理內容：定理內容： 頻帶受限頻帶受限 ，等間隔抽樣，等間隔抽樣(抽樣周期為抽樣周期為 )，若，若滿足滿足 ，可保證，可保證 頻譜不混頻譜不混迭，即信號迭，即信號 可用等間隔的抽樣值可用等間隔的抽樣值 唯一地表示唯一地表示( ) ()mmf tsT2sm( )sF( ) f t( )sf t哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系c)從從 恢復恢復 的方法：滿足的方法：

11、滿足 ， 施加于施加于理想低通濾波器，輸出頻譜為理想低通濾波器，輸出頻譜為 的連續信號的連續信號2sm( )F( ) f t( )sf t( )sf t( ) f t結論結論2：滿足時域抽樣定理，：滿足時域抽樣定理， 保留保留 的全部信息，的全部信息，可無失真恢復可無失真恢復( )sf t( )f t( )f t )0 smmT H( )()()(H FFs頻域表示頻域表示:其中其中- 理想低通濾波器傳輸函數理想低通濾波器傳輸函數哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系條件：滿足條件：滿足時域抽樣定理時域抽樣定理抽樣抽樣窗函數窗函數重復重復( )sF濾波濾波( )sf

12、t( ) f t( )F哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系200( )Sa() Sa()2( )2222Sa()( )Sa(100 )( )2200 100, 2200mmtG tGtGtG 例例3 ：求：求Sa(100t)，Sa(100t)cos(1000t)的奈斯特角頻率的奈斯特角頻率解：解： 哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系2002001Sa(100 ) cos(1000 )(1000)(1000)2 1001001100, 22200 mmttGGF解：解： 哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系

13、例例4：求：求 的奈奎斯特角頻率的奈奎斯特角頻率. 2Sa (100 ) t22002001Sa (100 )( )( )2100100tGG F200m2400m，則奈奎斯特角頻率為，則奈奎斯特角頻率為解：解：哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系3.頻域抽樣及頻域抽樣定理頻域抽樣及頻域抽樣定理( )單脈沖單脈沖 重復重復? 1( )f t1( )F( )f t( )F離散離散抽樣抽樣連續連續周期性脈沖周期性脈沖 11( )( )( )( )()nFFn 其中111-1-1111()()1()( )()nnnntnTnntnT FFF1111111( )( )()(

14、)nnf tf ttnTf tnT頻域抽樣頻域抽樣哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系( )110(1)111( )f tmtmt1T1Tt0( )F0(0)F1( )F0(0)F11()1T1Tt01( )/Tt)(tfmtmtt01哈爾濱工業大學自動化測試與控制系哈爾濱工業大學自動化測試與控制系頻域抽樣定理（時間受限信號）頻域抽樣定理（時間受限信號） i)111212,22mmmTtftt)(F011mtmt1T1( )f tt0111( )F0)(tfmtmtt01信號信號f(t)是受限信號，集中在是受限信號，集中在-tm+tm時間范圍內，若在頻域中以不大于時間范圍內，若在頻域中以不大于1/2tm的頻率間隔對頻譜的頻率間隔對頻譜F(w)抽樣，則抽樣后的頻譜可唯一地表示原信號抽樣，則抽樣后的頻譜可唯一