1、第9模塊 第5節(jié)知能演練一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1aa2an1(a1)在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()a1 b1ac1aa2 d1aa2a3解析：當(dāng)n1時(shí)，左端1aa2.答案：c2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1<n(nn，n>1)時(shí)，由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()a2k1 b2k1c2k d2k1解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：c3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成()a假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，xkyk能被xy整除b假設(shè)當(dāng)n2k(kn*)時(shí)，xkyk能被xy整除c假設(shè)當(dāng)

2、n2k1(kn*)時(shí)，xkyk能被xy整除d假設(shè)當(dāng)n2k1(kn*)時(shí)，xnyn能被xy整除答案：dn有關(guān)，假設(shè)nk(kn*nkn()a當(dāng)nb當(dāng)nc當(dāng)nd當(dāng)nnk(knnknknk答案：c二、填空題5猜測(cè)11,14(12),149123，第n個(gè)式子為_答案：149(1)n1n2(1)n1(123n)6如下列圖，這是一個(gè)正六邊形的序列：那么第n個(gè)圖形的邊數(shù)為_解析：第(1)圖共6條邊，第(2)圖共11條邊，第(3)圖共16條邊，其邊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么第(n)圖的邊數(shù)為an6(n1)×55n1.答案：5n1三、解答題7在數(shù)列an中，a1a(a>1)，且an1(nn*)，求證：an

3、>1(nn)證明：當(dāng)n1時(shí)，a1a>1，不等式成立假設(shè)nk(k1)時(shí)，不等式成立，即ak>1，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak111.ak>1，>0.ak1>1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立綜合知，對(duì)一切nn*，都有an>1.8點(diǎn)pn(an，bn)滿足an1an·bn1，bn1(nn*)且點(diǎn)p1的坐標(biāo)為(1，1)(1)求過點(diǎn)p1，p2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于nn，點(diǎn)pn都在(1)中的直線l上解：(1)由p1的坐標(biāo)為(1，1)知a11，b11.b2.a2a1·b2.點(diǎn)p2的坐標(biāo)為(，)直線l的方程為2xy1.(2)當(dāng)n1時(shí)，2

4、a1b12×1(1)1成立假設(shè)nk(kn*，k1)時(shí)，2akbk1成立，那么2ak1bk12ak·bk1bk1(2ak1)1，當(dāng)nk由知，對(duì)nn，都有2anbn1，即點(diǎn)pn在直線l上高考·模擬·預(yù)測(cè)1(·山東高考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，對(duì)任意的nn*，點(diǎn)(n，sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且b1，b、r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nn*)證明：對(duì)任意的nn，不等式···>成立解：(1)因?yàn)閷?duì)任意的nn，點(diǎn)(n，sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且

5、b1，b，r均為常數(shù))，所以得snbnr，當(dāng)n1時(shí)，a1s1br，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以r1，公比為b，an(b1)bn1.(2)當(dāng)b2時(shí)，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，那么，所以·······.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·······>成立當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?gt;，所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即·&#

6、183;·····>成立那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊·········>·>所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由、可得不等式恒成立2(高考預(yù)測(cè)題)正項(xiàng)數(shù)列an中，對(duì)于一切的nn均有aanan1成立(1)證明：數(shù)列an中的任意一項(xiàng)都小于1；(2)探究an與的大小，并證明你的結(jié)論解：(1)由aanan1得an1ana.在數(shù)列an中，an>0，an1>0，ana>0，0<an<1，故數(shù)列an中的任何一項(xiàng)都小于1.(2)解法一：由(1)知0<an<1，那么a2a1a(a1)2<，由此猜測(cè)：an<.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2，nn時(shí)猜測(cè)正確當(dāng)n2時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn)時(shí)，有ak<成立那么ak1aka(ak)2<()2<，當(dāng)nk1時(shí)，猜測(cè)也正確綜上所述，對(duì)于一切nn*，都有an&l