1、C4-4 實對稱矩陣實對稱矩陣的對角化的對角化定理定理1 1對稱矩陣的特征值為實數(shù)對稱矩陣的特征值為實數(shù). .證明證明, 對對應應的的特特征征向向量量為為復復向向量量的的特特征征值值為為對對稱稱矩矩陣陣設設復復數(shù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復復數(shù)數(shù)xAxA 則則 . xxAx 一、對稱矩陣的性質(zhì)一、對稱矩陣的性質(zhì)闡明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說闡明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣明，均指實對稱矩陣, 的的表表示示xx共軛復向量共軛復向量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT , xxT xAxTT xxAT xxT .

2、xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因為但因為 , 0 , 即即.是實數(shù)是實數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , 以取實向量以取實向量從而對應的特征向量可從而對應的特征向量可系系知必有實的基礎解知必有實的基礎解由由是實系數(shù)方程組是實系數(shù)方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實數(shù)為實數(shù)的特征值的特征值由于對稱矩陣由于對稱矩陣 EAxEAAiii ., 221212121正正交交與與則則若若是是對對應應的的特特征征向向量量的的兩兩個個特特征征值值是是對對稱稱矩矩陣陣設設定定理理ppppA

3、證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對對稱稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT. , 41素素的的對對角角矩矩陣陣個個特特征征值值為為對對角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對對稱稱矩矩陣陣為為設設定定理理nAAPPPnA 證證明明,21s 它們的重數(shù)依次為它們的重數(shù)依次為srrr,21. ,)( , , 3個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量恰恰有有對對應應特特征征值值從從而而的的秩秩則則

4、矩矩陣陣重重根根的的特特征征方方程程的的是是階階對對稱稱矩矩陣陣為為設設定定理理rrnEAREArAnA ).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理1對稱矩陣的特征值為實數(shù)和定對稱矩陣的特征值為實數(shù)和定理理3( 如上如上)可得：可得：設設 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知對應于不同特征值的特征向量正交，知對應于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個個即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關的實特征向量關的實特征向量個線性無個線性無恰有恰有對應特征值對應特征值rrsiiii PPAPP1

5、1.,11個特征值個特征值的的是是恰恰個個個個的對角元素含的對角元素含其中對角矩陣其中對角矩陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個個.n故這故這 個單位特征向量兩兩正交個單位特征向量兩兩正交.n以它們?yōu)榱邢蛄繕嫵烧痪仃囈运鼈優(yōu)榱邢蛄繕嫵烧痪仃?，那么，那么P根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法法將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求

6、求出出由由AxEAi 1.;的的特特征征值值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣為對角陣. .APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得得由由對對, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系 .1221 得得由由對對, 0, 12 xEA 0202202323121x

7、xxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系.2122 得得由由對對, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故故它它們們必必兩兩兩兩正正交交的的特特征征向向量量個個不不同同特特征征值值的的是是屬屬于于由由于于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則 310130004)2(A 3

8、10130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得得基基礎礎解解系系由由對對, 02, 21 xEA 1101 得得基基礎礎解解系系由由對對, 04, 432 xEA .110,00132 ,32恰好正交恰好正交與與 .,321兩兩正交兩兩正交所以所以 得得令令單位化單位化再將再將3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交陣于是得正交陣 2102121021010,321 P.400040002 1 APP則則1.對稱矩陣的性質(zhì)：對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結三、小結 (1) (1)特征值為實數(shù)；特征值為實數(shù)； (2)(2)屬于

9、不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關的特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等；特征向量的個數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄繂挝换涣繂挝换?4)最后正交化最后正交化 .2det, 2的值的值試求行列式試求行列式的秩為的秩為且且滿足滿足階實對稱矩陣階實對稱矩陣設設AErAAAAn 思考題思考題思考題解答思考題解答使得使