1、一、考點透視近年來，隨著高考形勢的不斷變化，對考生的創新意識和創新能力的要求逐漸提高，每年在高考試題中都相繼推出一些背景新穎、構思精巧、情境別致，具有相當深度和明確導向的創新題型，使高考數學題充滿活力和魅力，它要求考生“對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題，只要我們相信一個原那么：千變萬變，方法不變創新題只是對以前的問題稍加“化裝，以一個嶄新面目出現在我們面前，使我們乍看其脫俗超群，但只要我們努力揭開題目的“面紗，便可識別其“真面目，仍可用舊知新解二、考點例析創新方向一：定義

2、“新概念或“新運算型新信息題成為高考試題改革的一個新的亮點，通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新的模型等創設一種全新的問題情境，主要考查學生獨立提取信息、加工信息的能力，要求考生在閱讀理解的根底上，緊扣條件，抓住關鍵的信息，實現信息的轉化，到達靈活解題的目的例1 為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規那么參加相關數據組成傳輸信息設定原信息為，傳輸信息為，其中，運算規那么為：，例如原信息為111，那么傳輸信息為01111傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，那么以下接收信息一定有誤的是 a11010b01100c10111d00011分析：按題中新定義的

3、新運算法那么將給出數據信息進行轉化解：c選項原信息為011，那么，所以應該接收信息10110應選c評注：在給出新定義或新運算問題中要摒棄原有的運算法那么，以防止造成運算的紊亂面對這類問題只需按給定的法那么進行運算即可，此類問題雖然給出的條件信息比擬多，而其實質卻很簡單，只需用簡單的數學知識即可解決趁熱打鐵：北京設是整數集的一個非空子集，對于，如果且，那么是的一個“孤立元，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元的集合共有 個.解：符合題意的集合是：共6個.故應填6.創新方向二：類比型給出幾個在結構上類似的等式或不等式，通過應用其相似性把信息從一個對象轉移到另一個對象獲得對有關問題的結論

4、或在其性質上有相同或相似的一種推理形式，實現信息的轉化，到達求解的目的類比是創造性的“模仿，聯想是“由此及彼的思維跳躍，編制題目引導學生將所求的問題與熟知的信息相類比，進行多方位的聯想，將式子結構、運算法那么、解題方法，問題的結論等引申推廣或遷移，可由探索未知，由舊知探索新知，這既有利于培養同學們的創新思維，又有利于提高同學們舉一反三，觸類旁通的應變例2 先閱讀以下不等式的證法，再解決后面的問題：r，求證，證明：構造函數，.因為對一切r，恒有，所以,從而得，1假設r，請寫出上述結論的推廣式；2參考上述解法，對你推廣的結論加以證明分析：這是類比問題的推廣，所以只需依照條件中給出的結論的結構特征及

5、證明方法即可得到推廣結論及其證明1解：假設r，求證：；評注：對于某些不等式證明題，我們假設能根據其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數：，由，得，就可以使一些用一般方法處理較繁的問題，獲得簡捷、明快的證明構造法解題的最大特點是調整思維視角，在更廣闊的背景下考察問題中所涉及的代數、幾何元素及其相互關系所以應用構造法解題的關鍵有：(1)要有明確的方向，即為何構造；(2)要弄清條件的本質特點，以便進行邏輯組合趁熱打鐵：浙江設等差數列的前項和為，那么，成等差數列類比以上結論有：設等比數列的前項積為，那么， ， ，成等比數列解：對于等比數列，通過類比，有等比數列的前項積為，那么，成等

6、比數列應填創新方向三：高等數學與初等數學的銜接型將高等數學問題下放，用初等方法來解決高等與初等數學的銜接問題，這是近年高考中的一個特點例3 定義如下運算：其中n*現有個正數的數表排成行列如下：這里用表示位于第行第列的一個正數，n*，其中每橫行的數成等差數列，每豎列的數成等比數列，且各個等比數列的公比相同，假設，求的表達式用，表示；分析：此題數列中的每一項都有兩個下標，在中每橫行的數成等差數列，每豎列的數成等比數列，要明確這一信息與下標間的關系，并利用這一信息源得出的表達式解：1每一行的數成等差數列， ，成等差數列 ， ，又每一列的數成等比數列，故， ， ，且， ， 評注：“行列式相交匯的新背景

7、題型，由于新型的定義式的出現，導致該題型又多了幾分神秘的色彩，為我們接受新型問題開闊了眼界趁熱打鐵：四川設是平面上所有向量的集合，對于映射，記的象為。假設映射滿足：對所有及任意實數都有，那么稱為平面設是平面上的線性變換，那么對設，那么是平面上的線性變換；假設是平面上的向量，對設，那么是平面上的線性變換；設是平面上的線性變換，假設共線，那么也共線。 創新方向四：信息遷移型信息遷移題是指以考生已有的知識為根底，在此根底上設置一個新的數學情境，或把已有的知識進一步引申，設置一個簡單而又熟悉的物理情境或生活情境或定義新的數學內容，要求考生讀懂題目，并根據題目引入的新內容解題例4如圖是集合中的點在平面上

8、運動時留下的陰影，中間形如“水滴局部的平面面積為 a. b. c. d. 分析：圓的半徑為，圓心在半圓上，“水滴共由圖中的三局部組成，其中，的面積都為半徑為、圓心角為的扇形面積減去一個直角三角形的面積，為半徑為的半圓的面積解：圖中的“水滴面積共由三局部組成，即，其中，而，所以“水滴局部的平面面積為應選c評注：此題問題背景比擬新穎、別致，問題設計耐人尋味，但用的知識卻很傳統，所以只要細心剖析題意，用所學知識便不難使問題獲解趁熱打鐵：規定密碼把英文的明文真實文按分母分解，其中英文的個字母不管大小寫依次對應這個正整數，見表格：1234567891011121314151617181920212223

9、242526并給你一個變換公式：將明文轉換成密文，假設，那么變為；，那么變成，按上述規定，假設將某明文譯成的密文是，你能否得出原來的明文？解：字母在密碼表中對應的數字是，或，那么，但原明文中只對應個整數，從而，所以，因此的明文是同理可求，因此的明文是創新方向五：探索探究型例5歌德巴赫goldbachc德16901764曾研究過“所有形如，為正整數的分數之和問題為了便于表述，引入記號： 寫出你對此問題的研究結論： 用數學符號表示分析：可以分解成無數個無窮遞縮等比數列組成，所以只需利用無窮遞縮等比數列求和公式求解，然后利用裂項相消法便可得出相關結論解：所以評注：此題給出背景看似深奧，其實只需透過外

10、表看其本質，便可將“不可能的問題轉化為非常熟悉的問題進行求解趁熱打鐵：定理：“假設為常數，滿足，那么函數的圖像關于點中心對稱設函數，定義域為a試證明的圖像關于點成中心對稱；當時，求證：；對于給定的，設計構造過程：,，如果，構造過程將繼續下去；如果，構造過程將停止假設對任意，構造過程可以無限進行下去，求的值解：， ，由定理得，的圖像關于點成中心對稱；首先證明在上是增函數，為此只要證明在上是增函數設，那么，在上是增函數再由在上是增函數得，當時，即；構造過程可以無限進行下去，對任意恒成立，方程無解，即方程無解或有唯一解，或，由此得到創新方向六：知識遷移型例6廣東根據空氣質量指數api為整數的不同，可

11、將空氣質量分級如下表：對某城市一年365天的空氣質量進行監測，獲得的api數據按照區間，進行分組，得到頻率分布直方圖如圖. 求直方圖中的值； 計算一年中空氣質量分別為良和輕微污染的天數；求該城市某一周至少有2天的空氣質量為良或輕微污染的概率.結果用分數表示， ，分析：此題的實質是統計與概率問題，要能準確從頻率分布直方圖提取有效信息點，歸結為熟知的問題解決。解：由圖可知，解得；該城市一年中每天空氣質量為良或輕微污染的概率為，那么空氣質量不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質量為良或輕微污染的概率為.評注:此題以世界上最關注的空氣質量的衡量標準“空氣質量指數為背景設計的一個統計與概率問

12、題，該題的背景新穎，以熱門的焦點問題為載體考查了統計與概率此題的背景都為學生所熟悉，所以解決該題只需將問題歸結為統計與概率問題，便不難使問題獲解此題啟示我們，除了掌握好書本知識之外，還要增加自己的閱歷，特別對社會的焦點問題要特別關注，并能將社會經濟問題、政治問題和其他學科的相關問題遷移為熟知的數學知識進行解決趁熱打鐵：安徽某地有a、b、c、d四人先后感染了甲型h1n1流感，其中只有a到過疫區.b肯定是受a感染的.對于c，因為難以斷定他是受a還是受b感染的，于是假定他受a和受b感染的概率都是.同樣也假定d受a、b和c感染的概率都是.在這種假定之下，b、c、d中直接受a感染的人數的分布列(不要求寫

13、出計算過程),并求的均值即數學期望.解：隨機變量的分布列是123的均值為附：的分布列的一種求法共有如下6種不同的可能情形，每種情形發生的概率都是：abcdabcdabcdabdcacdb在情形和之下，a直接感染了一個人；在情形、之下，a直接感染了兩個人；在情形之下，a直接感染了三個人。三、跟蹤訓練1設是至少含有兩個元素的集合，在上定義了一個二元運算“*即對任意的，對于有序元素對，在中有唯一確定的元素與之對應假設對任意的，有，那么對任意的，以下等式中不恒成立的是 abcd2設，定義一種向量積，點在的圖象上運動， 點在的圖象上運動，且滿足 (其中為坐標原點)，那么的最大值及最小正周期分別為 ( )

14、a b c d3廣東廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，假設其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，那么不同的選派方案共有 a. 36種 b. 12種 c. 18種 d. 48種4(山東)設，滿足約束條件，假設目標函數的值是最大值為，那么的最小值為 ( )a b c d 45北京點在直線上，假設存在過的直線交拋物線于兩點，且，那么稱點為“點，那么以下結論中正確的選項是 a直線上的所有點都是“點 b直線上僅有有限個點是“點c直線上的所有點都不是“點 d直線上有無窮多個點點不是所有的點是“點6直線與圓

15、有公共點，且公共點的橫、縱坐標均為整數，那么這樣的直線有 a60條 b66條 c72條 d78條7安徽給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為如下圖，點在以為圓心的圓弧上變動假設其中,那么的最大值是_8將全體正整數排成一個三角形數陣：1 第1行2 3 第2行4 5 6 第3行7 8 9 10 第4行1112131415 第5行按照以上排列的規律，從左向右記第行的第個數為，我們稱為三角數，現將所有的三角數按從小到大的順序排成一三角數列，那么滿足等式的是三角數列中的第 個9方程的個根組成一個首項為的等比數列，那么 10假設函數在處滿足關系在處連續在處的導數不存在，就稱是函數的一個“折點以下關于“

16、折點是的折點；是的折點；是的折點；是的折點其中 11江西某公司擬資助三位大學生自主創業，現聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創業方案進行評審假設評審結果為“支持或“不支持的概率都是.假設某人獲得兩個“支持，那么給予10萬元的創業資助；假設只獲得一個“支持，那么給予5萬元的資助；假設未獲得“支持，那么不予資助，令表示該公司的資助總額 () 寫出的分布列； () 求數學期望 12上海函數的反函數定義：假設對給定的實數，函數與互為反函數，那么稱滿足“和性質；假設函數與互為反函數，那么稱滿足“積性質判斷函數是否滿足“1和性質，并說明理由； 求所有滿足“2和性質的一次函數；設函數對任何，滿足“積性質求的表達式2c；由題意知：，所以有，令，那么，所以那么的最大值及最小正周期分別為3a；分兩類：假設小張或小趙入選，那么有選法；假設小張、小趙都入選，那么有選法，共有選法36種. 6c；當，時，圓上橫