1、 Department of MathematicsJinan Univ. 2012暨南大學數學系 高凌云二0一二年二月至二0一二年七月復變函數起源簡介n數學從產生、有發展到現在, 已成為分支眾多的學科了, 復變函數是其中一個非常重要的分支。以復數作為自變量的函數就叫做復變函數, 而與之相關的理論就是復變函數論。解析函數是復變函數中一類具有解析性質的函數, 復變函數論主要就研究復數域上的解析函數, 因此通常也稱復變函數論為解析函數論, 簡稱函數論。n我們知道, 在解實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)時,如果判別式b2- 4ac0)M0)的所有點的集合的所有點的集合 z| |z|M

2、且滿足且滿足zM 包括無窮遠點自身在內包括無窮遠點自身在內3、復球面與無窮大: 在點坐標是(x,y,u)的三維空間中，把 xOy面看作是 z 平面。考慮球面S： 取定球面上一點N(0,0,1)稱為球極。 我們可以建立一個復平面C到S-N之間的一個1-1對應（球極射影）：iyxzuyx , 12221uiyxiyxz球極射影: 我們稱上面的映射為球極射影：1|2zzzx1|2zzzy1|1|22zzuuxy) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0 ,(yxA) , , ( uyxA 1、(x,y,0), (x,y,u), (0,0,1)三點共線 2、x:y:-1=x:y:u-1;

3、無窮遠點: 對應于球極射影為N，我們引入一個新的非正常復數 稱為無窮遠點， 稱 為擴充復平面，記為 。CCuxy) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0 ,(yxA) , , ( uyxA 關于無窮遠點，我們規定其實部、虛部、輻角無意義，模等于：它和有限復數的基本運算為：|aa )0( aaa)(0 );0(0aaaa這些運算無意義：. 0/0 ,/,0 , Department of Mathematics1 1 初步概念初步概念2 2 區域與約當曲線區域與約當曲線第二節第二節 復平面上的拓撲復平面上的拓撲1 基本概念: a的r鄰域定義: 以a為圓心,r為半徑的圓盤U(a,r

4、)定義為：，設), 0(,rCa,| |Czrazz以a為圓心， r為半徑的閉圓盤定義為：,| |Czrazz).,(raU記為：ar極限點、內點、邊界點:中有無窮個點，則稱a為E的極限點；若設,CaCE,則稱a為E的內點；EraUr),(, 0EraUr),(0，若對存在中既有屬于E的點，又有不屬于E的點，則稱a為的E邊界點；集E的全部邊界點所組成的集合稱為E的邊界，記為EraUr),(,0.E閉包、孤立點、開集、閉集:稱為D 的閉包，記為若對存在一個r0，使得EE.E則稱a為的E孤立點（是邊界點但不是聚點）；開集：所有點為內點的集合；閉集：或者沒有聚點，或者所有聚點都屬于它； 1、任何集合

5、的閉包一定是閉集；2、如果存在r0 ，使得，),(aEraU則稱E是有界集，否則稱E是無界集；3、復平面上的有界閉集稱為緊集。), 0(rUE 例1、圓盤U(a,r)是有界開集；閉圓盤是有界閉集；例2、集合z|z-a|=r是以為a心，r為半徑的圓周，它是圓盤U(a,r)和閉圓盤的邊界。例3、復平面、實軸、虛軸是無界集，復平面是無界開集。例4、集合E=z|0|z-a|r是去掉圓心的圓盤。圓心a邊界點，它是E邊界的孤立點，是集合E的聚點。2 區域、曲線: 復平面C上的集合D，如果滿足： （1）D是開集； （2）D中任意兩點可以用有限條相銜接的線 段所構成的折線連起來，而使這條折 線上的所有點完全屬

6、于D。 則稱D是一個區域。 結合前面的定義，可以定義有有界區域、無界 區域。連通性:性質（2）我們稱為連通性，即區域是連通的 開集。區域D內及其邊界上全部點所組成的集稱為閉區域。 曲線:設已給如果Rez(t)和Imz(t)都是閉區間a,b上連續函數，則稱這些點組成集合為一條連續曲線。如果對上任意不同兩點t及s，但不同時是端點，我們有:)(),(btatzz即是一條除端點外不自交的連續曲線，那么上述集合稱為一條簡單連續曲線，或若爾當曲線。若還有z(a)=z(b)，則稱為一條簡單連續閉曲線，或若爾當閉曲線。)()(sztz約當（Jordan）定理:約當定理：任意一條約當閉曲線把整個復平面分成兩個沒

7、有公共點的區域：一個有界的稱為內區域，一個無界的稱為外區域。內區域光滑曲線:光滑曲線：如果Rez(t)和Imz(t)都在閉區間a,b上連續，且有連續的導函數，在a,b上，其導函數恒不為零，則稱此曲線為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。區域的連通性: 設D是一個區域，在復平面C上，如果D內 任何簡單閉曲線所圍成的內區域中每一點 都屬于D，則稱D是單連通區域; 否則稱D是多連通區域。例1:集合為半平面，它是一個單連通無界區域，其邊界為直線：0)1 ()1 ( |ziziz0)1 ()1 (zizi0 yx例2、集合 為一個垂直帶形，它是一個單連通無界區域，其邊界為兩條直線：3Re2|zz

8、2Rez3Rez例3、集合 為一角形，它是一個單連通無界區域，其邊界為半射線：3)arg(2|izz2)arg(iz3)arg(iz例4、集合: 為一個圓環，它是一個多連通有界區域其邊界為圓：3|2|izz2|iz3|iz例例5 5求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的點的軌跡的點的軌跡為為距離距離表示所有與點表示所有與點方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設設, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程22)2( ziz

9、.22距離相等的點的軌跡距離相等的點的軌跡和和表示所有與點表示所有與點 i. 22段的垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點連接點故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設設,22 yixiyix化簡后得化簡后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設設,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為例例2 2解解 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, 如果是區域如果是區域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實軸的直線是一條平行于實軸的直線, -3-2-1123

10、x123456y不是區域不是區域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域., 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圓盤的去心圓盤為半徑為半徑為圓心為圓心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點不包括端點的半射線的半射線斜率為斜率為為端點為端點以以不是區域不是區域.,4arg0)5( iziz , 時時當當iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx, 0)1( 22 yx因為因為 , 12, 01, 02 2222yxxyx