1、第 3 講等比數列及其前 n 項和、知識梳理1等比數列的有關概念定義：1文字語言：一個數列從第 2 項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(非零)2符號語言：a1= q(n N*, q 為非零常數).an等比中項：如果 a, G , b 成等比數列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項.即 G2=2等比數列的有關公式(1) 通項公式：an= aqn 1nai, q= 1,(2) 前 n 項和公式： Sn= aj(1 qn) _ a1 anq豐1 - q - 1 q，爐.3.等比數列的性質已知數列an是等比數列，Sn是其前 n 項和.(m, n, p, q, r, k N*)(1)若 m

2、 + n = p + q= 2r，貝 U am -an= ap- aq= a2;數列 am, am+k, am+2k, am+3k,仍是等比數列；(3) 數列 Sm, S2m Sm, S3m S2m,仍是等比數列(此時an的公比 q 工一 1).常用結論1等比數列的單調性當 q 1, a1 0 或 Ovqv1, aK0 時，an是遞增數列；當 q 1, a1v0 或 Ovqv1, a10 時，an是遞減數列；當 q = 1 時，an是常數列.2等比數列與指數函數的關系當 q 工 1 時，an= qn,可以看成函數 y= cqx,是一個不為 0 的常數與指數函數的乘積，q因此數列an各項所對應的

3、點都在函數 y= cqx的圖象上.3.等比數列an的前 n 項和 Sn= A+ B Cn? A + B= 0,公比 q = C(A, B, C 均不為零)二、習題改編1.(必修5P53 練習 T3 改編)對任意等比數列an，下列說法一定正確的是()A. a1,a3, a9成等比數列B. a2, a3, a6成等比數列C. a2,a4, a8成等比數列D. a3, a6, a9成等比數列解析：選 D.設等比數列的公比為q,貝 U a3= aiq2, a6= aiq5, a9= aiq8, 滿足（aiq5）2=2 8aiq2aiq8,即 a6= a3a9.52.（必修 5P53 習題 T1 改編）

4、已知等比數列an的前 n 項和為 Sn,且 ai+ a3= 4, a2+ a45 =2，貝 q=_.答案：23.（必修 5P54A 組 T8 改編）在 9 與 243 中間插入兩個數，使它們同這兩個數成等比數列，則這兩個數為_.解析：設該數列的公比為 q,由題意知，243= 9Xq3，得 q3= 27，所以 q= 3.所以插入的兩個數分別為 9X3 = 27，27X3= 81.答案：27，81一、思考辨析判斷正誤（正確的打“V”，錯誤的打“X”）若一個數列從第 2 項起每一項與它的前一項的比都是常數，則這個數列是等比數列.（）（2）三個數 a，b，c 成等比數列的充要條件是 b2= ac.（）

5、滿足 an+1= qan（n N*，q 為常數）的數列an為等比數列.（）如果an為等比數列，bn= a2n-1+ a2n,則數列bn也是等比數列.()等比數列中不存在數值為0 的項.()答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V二、易錯糾偏常見誤區 運用等比數列的前 n 項和公式時，忽略 q = 1 的情況；(2) G1 2= ab”是a, G, b 成等比數列”的必要不充分條件；對等比數列項的符號不能作出正確判斷.1.已知在等比數列an中，a3= 7,前三項之和 S3= 21,則公比 q 的值是()1A . 1B.-1 1C. 1 或2D. 1 或 22a1q = 7,解析：選 C當

6、q= 1 時，an= 7, S3= 21,符合題意；當 q豐1 時，a1(1 q3)得=21,1 q1 1 q= 2綜上，q 的值是 1 或2 故選C.2._在等比數列an中，a3= 2, a7= 8，貝 U a5=_ .解析：因數列an為等比數列，則 a2= a3a7= 16,又 a30,所以 a5= 4.答案：43. 在等比數列an中，a2= 4, a10= 16,則 a2和 a10的等比中項為 _ .解析：設 a2與 a10的等比中項為 G ,因為 a2= 4, a10= 16,所以 G2= 4X16= 64,所以G=出.答案：拐等比數列的基本運算 （師生共研 ）（1）（ 一題多解）（2

7、019 高考全國卷I）記32qn)(其中 A 為常數)，貝 U a1= S1= A(1 q) = 1 ，S3= A(1 q4) = 3 ，由可得 A= ,解得 q= 2(舍去)或 q= 4.33 為等比數列an的前 n 項和.若 ai= 1, S3= 4,貝卩& =已知an是各項均為正數的等比數列，a1= 2, a3= 2a2+ 16則 an=【解析】（1）通解：設等比數列an的公比為 q,由 a1= 1 及 S3= 4 易知 1把 a=331=3，得 1 + q + q1 2= 4,解得 q =,所以 S4=a1(1 q4)1 q411X12=5 1=8.112優解一：設等比數列an

8、的公比為.,23q,因為 S3= a1+ a2+ a3= a1(1 + q + q2)=4, a1= 1,3所以 1 + q+ q2= 4，解得1q= 1,所以31131a4= a1q3 * 5= 2 = 8 所以S4= S3+ a4=4 + ?58.優解二：設等比數列an的公比為q,由題意易知 1.設數列an的前 n 項和3=A（1A. 32B. 31解決等比數列有關問題的常見數學思想(1)方程思想： 等比數列中有五個量a1, n, q, an, 3, 般可以知一求一，通過列方程(組)求關鍵量a1和 q，冋題可迎刃而解.分類討論思想： 因為等比數列的前 n 項和公式涉及對公比 q 的分類討論

9、，所以當某 參數為公比進行求和時，就要對參數是否為 1 進行分類討論.(3)整體思想：應用等比數列前 n 項和公式時，常把 qn或a1當成整體進行求解.1-q1.(一題多解)(2020 福州市質量檢測)等比數列an的各項均為正實數，其前n 項和為Si.若 a3= 4, a2a6= 64,貝 V S5=()C. 64D. 632aiq = 4, 解析：選 B通解：設首項為 ai,公比為 q,因為 an 0,所以 q 0，由條件得aiq aiq5= 64,ai= 1,解得所以 S5= 31,故選 B.q = 2,優解：設首項為 ai,公比為 q,因為 an 0,所以 q 0,由 a2a6= a4=

10、 64, a3= 4,得 q=2, ai= 1,所以 S5= 31,故選 B.2. (2019 高考全國卷 川)已知各項均為正數的等比數列 an的前 4 項和為 15,且 a5= 3a3+ 4a1，貝 y a3=()A.16B. 8C. 4D. 2解析：選 C設等比數列 an的公比為 q(q0),由 a5= 3a3+ 4a1,得 a1q4= 3a1q2+ 4a1,得 q4 3q2 4= 0,令 q2= t,則 t2 3t 4= 0,解得 t= 4 或 t= 1（舍去）,所以 q2= 4,即 qa1（1 q4）=2 或 q= 2（舍去）.又 S4= 15,1 q3.設等比數列an的前 n 項和為

11、 Sn,且滿足 a6= 8a3，則()A .數列an的公比為 2B.數列an的公比為 8所以 a1= 1,所以 a3= a1q2= 4.故選 C.q= 2,所以 S33 = 1 +q3= 9.1 q3C. 64D. 63S3 cC.S3=8D.豊=4S3解析：選 A.因為等比數列.a6o an的前 n 項和為 Sn,且滿足 a6= 8a3,所以 = q = 8,解得 a3等比數列的判定與證明(典例遷移)(1)已知數列 an 是等比數列， 則下列命 題不正確的是()A .數列|an|是等比數列B .數列anan+1是等比數列1C.數列是等比數列anD .數列lg afn是等比數列(2)已知數列a

12、n的前 n 項和為 Sn, ai= 1, Sn+1= 4an+ 2(n N*)，若 bn= an+1- 2an,求 證：bn是等比數列.等比數列的判定與證明(典例遷移)【解(1)選 D.因為數列an是等比數列，所以an+ 1= q.對于 A,an|an + 1I|an|an+ 1=|q|,an所以 bi= a2 2ai= 3.【遷移探究 1】(變問法)若本例(2)中的條件不變，試求an的通項公式.解：由(2)知bn= an + 1 2an= 3 2*-1,故|n是首項為 2，公差為 I 的等差數列.an133nV所以-=2+ (n 1) 4-=廠，所以 an= (3n 1) 2n2.【遷移探究

13、 2】(變條件)在本例中，若 Cn= 冷，證明：數列Cn為等比數列.3n 1證明：由遷移探究 1知，an= (3n 1) 2n2，所以 Cn= 2n-2.n 12_ 口a11V所以數列Cn是首項為 2，公比為 2 的等比數列.所以數列|an|是等比數列，A 正確；對于an+1an+ 2B ,= q2,所以數列anan+1是等比數列，an+1an1B正確；對于 c, 丁=q，所以數列丄an + 1q丄anlg an+12lg an + 1是等比數列，C 正確；對于 D，蟄=-27lg an + 1lg an，不定是常數，所以 D 錯誤.(2)證明:bn+ 1因為 an + 2= S+ 2 Sn

14、+ 1= 4an+ 1+ 2 4an 2 = 4an+ 1 4an,所以 bnan+2 2an+1an+ 1 2an4an +1 4an 2an +12an +1 4an=2.an+ 1 2anan+1 2an因為 S2= ai+ a2= 4ai+ 2,所以 a2= 5.所以數列bn是首項為 3,公比為 2 的等比數列.所以an + 12“ +1an3戶=4，Cn+ 1所以 -Cn=2，又c1=2n23X112等比數列的判定方法an+1an（1）定義法：若= q（q 為非零常數）或 =q（q 為非零常數且 n 2）,則 an是等比數anan-1列.（2）中項公式法： 若數列 an中 an0 且

15、 an+1= anan+ 2（n N*）,則數列an是等比數列.通項公式法：若數列的通項公式可寫成 an= cqn-1（c, q 均為不為 0 的常數，n N*）,則an是等比數列.前 n 項和公式法：若數列an的前 n 項和 3= k qn-k（k 為常數且 0, q 丸，1）,則an是等比數列.提醒（1）前兩種方法是判定等比數列的常用方法 ，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比數列即可._11.（一題多解）已知等比數列an的前 n 項和為 S = a2n VI+ -，則 a 的值為（1B.3C.解析：選 A.法一：

16、當 n 2 時，an= Sn_ Sn_ 1= a 2n_1_ a 2n_2= a 2n_2,當 n= 1 時，a1=S1= a+1,所以 a+1=a,所以 a=_ ;.6623111法二：因為等比數列的前 n 項和 S = kxqn_ k,則;, a=_ -.2632.(2019 高考全國卷n節選)已知數列an和bn滿足 a1= 1,b1= 0, 4an+1= 3an_ bn+ 4,4bn+1= 3bn_ an_ 4.證明：an+ bn是等比數列， an bn是等差數列.、 、 1 證明：由題設得4(an + 1+ bn+ 1)= 2(an+ bn),即 an + 1+ bn+ 1= ?(an

17、+ bn).VI又因為 a1+ b1= 1,所以an+ bn是首項為 1,公比為？的等比數列.由題設得 4(an+1 bn+1) = 4(an bn) + 8,即 an+1 bn+ 1= an bn+ 2.又因為 a1_ b1= 1,所以an_ bn是首項為 1,公差為 2 的等差數列.D.等比數列的性質及應用（多維探究）角度一等比數列項的性質的應用（1）（2020 洛陽市第一次聯考）在等比數B.2D.2 或 一 2等比數列an的各項均為正數， 且 aia5= 4,則 log2ai+ log2a2+ log2a3+ log2a4+ log2a5列an中,a3,ai5是方程 x2+ 6x+ 2

18、= 0 的兩根，則a2ai6盂的值為（C. 2等比數列的性質及應用（多維探究）【解析】（1）設等比數列an的公比為 q,因為 a3, ai5是方程 x2+ 6x+ 2 = 0 的兩根，所以a3ai5= a2= 2, a3+ai5= 6,所以a3V0,ai5v0,貝 U a9= 叩 2,所以 =二=a9=Ta9a92.(2)由題意知 aia5= a2 *= 4,因為數列an的各項均為正數，所以 a3= 2.所以 aia2a3a4a5=(aia5)(a2a4)a3= (a3)2a3= a3= 25.所以 log2ai+ log2a2+ log2a3+ log2a4+ log2a5= Iog2(aia2a3a4a5)=log225=5.【答案】(1)B(2)5角度二等比數列前 n 項