1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1了解將軍飲馬及造橋選址兩個(gè)常見(jiàn)類(lèi)型2會(huì)解答將軍飲馬及造橋選址中的最短路徑問(wèn)題3能初步應(yīng)用將軍飲馬及造橋選址兩個(gè)常見(jiàn)類(lèi)型完成類(lèi)似題目教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題2解答最短路徑問(wèn)題課時(shí)安排2課時(shí)教案 A、B第1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容將軍飲馬教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課問(wèn)題 1 如下圖，牧馬人從 A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊 l 飲馬，然后到 B 地牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？1二、探究新知1將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)（ 1）把 A、B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)；（ 2）把河邊l 近似地看成一條直線（下圖），C

2、為直線 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么，上面的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在 l 的什么位置時(shí)，AC 與 CB 的和最小2嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（ 1）由這個(gè)問(wèn)題，我們可以聯(lián)想到下面的問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A，B 分別是直線l 異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l 上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn) B 的距離的和最短？利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以很容易地解決上面的問(wèn)題，即：連接AB，與直線 l相交于一點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求（ 2）現(xiàn)在要解決的問(wèn)題是： 點(diǎn) A，B 分別是直線 l 同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)， 如何在 l 上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離的和最短？（ 3）如何能把點(diǎn) B 移到 l 的另一側(cè)

3、 B處，同時(shí)對(duì)直線 l 上的任一點(diǎn) C，都保持 CB 與 CB的長(zhǎng)度相等，就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“上圖”的情況，從而使新問(wèn)題得到解決（ 4）你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到符合條件的點(diǎn)B嗎？學(xué)生獨(dú)立思考后，嘗試畫(huà)圖，完成問(wèn)題小組交流，師生共同補(bǔ)充得出：作出點(diǎn) B關(guān)于 l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)， 可以得到 CB CB（下右圖） 連接 AB，則 AB 與 l 的交點(diǎn)即為所求3證明“最短”師生共同分析，合作證明“ACBC”最短證明：如上右圖，在直線l 上的任一點(diǎn)C（與點(diǎn) C 不重合），連接AC，BC ，BC，2由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知：BC BC，BC BC AC BC AC BC AB，AC BC A

4、CBC在 ABC中， AB AC BC， AC BC AC BC即 AC BC 最短提問(wèn)：證明AC BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn) C 不重合），證明 AC BC AC BC？這里“ C”的作用是什么？學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)三、鞏固練習(xí)已知 P 是 ABC 的邊 BC 上的點(diǎn)，你能在 AB 、AC 上分別確定一點(diǎn)Q 和 R，使 PQR的周長(zhǎng)最短嗎？學(xué)生獨(dú)立完成，必要時(shí)教師點(diǎn)撥指導(dǎo)四、課堂小結(jié)總結(jié)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟第2課時(shí)教學(xué)內(nèi)容造橋選址教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課造橋選址問(wèn)題： 如下圖， A 和 B 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN 橋造在何處可使

5、從 A 到 B 的路徑 AMNB 最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）二、探究新知1將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題把河的兩岸看成兩條平行線a 和 b（下圖）， N 為直線 b 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN 垂直于直線 b，交直線 a 于點(diǎn) M，這樣，上面的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下面的問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)N 在直線3b 的什么位置時(shí)，AM MN NB 最小？2嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（ 1）由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM NB 最小時(shí)， AM MN NB 最小這樣，問(wèn)題就進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N 在直線 b 的什么位置時(shí)，AM NB 最小？（ 2）如下左圖，將AM 沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M 移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn) A 移動(dòng)到點(diǎn) A，則 AA MN ， AM NB ANNB這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn) N 在直線 b 的什么位置時(shí)， ANNB 最小？（ 3）如上右圖，在連接A， B 兩點(diǎn)的線中，線段AB 最短因此，線段AB 與直線b 的交點(diǎn) N 的位置即為所求3證明“最小”為了證明點(diǎn) N的位置即為所求，我們不妨在直線b上另外任意取一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn) N作NM a，垂足為 M，連接 AM ， AN， NB，證明 AM MN NB AM MN NB你能完成這個(gè)證明嗎？證明：如上右圖，在 ANB 中， ABAN BN， ANBN MN AM BN MN