1、第七章 彈性力學平面問題的極坐標系解答在平面問題中，有些物體的截面幾何形狀（邊界）為圓形、扇形，對于這類形狀的物體采用極坐標 (r,q) 來解，因為此時邊界條件用極坐標易描述、簡便。本章將討論采用極坐標求解平面問題一些基本方程和解法以及算例。 第1節 平面極坐標下的基本公式 采用極坐標系則平面內任一點的物理量為r,q 函數。x yoPrq 體力：fr=Kr , fq=Kq 面力： 應力：sr, sq ,trq=tq r 應變：er, eq ,grq=gq r 位移：u r , uq 直角坐標與極坐標之間關系: x=rcosq, y=rsinq 1.1 平衡微分方程 1.2 幾何方程 ， ， 1

2、.3 變形協調方程 1.4 物理方程 平面應力問題： ， ， 平面應變問題將上式中，即得。1.5 邊界條件1. 位移邊界條件：， 在 su 上2. 力的邊界條件： 在 ss 上環向邊界 （r=r0）徑向邊界 （q=q0）1.6 按位移法求解 基本未知函數為位移u r , uq ，應變、應力均由位移導出。 平面應力問題時的應力由位移表示 上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。 , 力的邊界條件也同樣可以用位移表示。1. 7按應力法求解 在直角坐標系中按應力求解的基本方程為（平面應力問題） 其中 在極坐標按應力求解的基本方程為（平面應力問題） 其中 力的邊界條件如

3、前所列。1.8 應力函數解法 當體力為零 fr=fq=0時, 應力法基本方程中的應力分量可以轉為一個待求的未知函數 f( r, q) 表示,而應力函數 f( r, q) 所滿足方程為 Ñ 4f( r, q) =0 或 而極坐標系下的應力分量sr, sq,trq 由 f( r, q)的微分求得,即： ， ， 第2節 軸對稱問題 2.1 軸對稱問題的特點1. 截面的幾何形狀為圓環、圓盤。2. 受力和約束對稱于中心軸,因此，可知體積力分量 fq=0 ； 在邊界上 r=r0 ： , （沿環向的受力和約束為零） 。3. 導致物體應力、應變和位移分布也是軸對稱的：在V內 uq=0，grq=0，t

4、rq=0, ur=ur(r)，sr=sr(r), sq=sq (r), er=er (r), eq=eq (r). 各待求函數為r的函數（單變量的）。 2.2 軸對稱平面問題的基本公式1. 平面微分方程（僅一個）：2. 幾何方程（二個）： ， 3. 變形協調方程（一個）： 變形協調方程 由幾何方程： 或 4. 物理方程(兩個) 平面應力問題 ， 或 ， 平面應變問題時彈性系數替換。5. 按位移法求解 將 sr、sq 用ur 表示，并代入平衡微分方程， 對于平面應力問題 位移法的基本方程為： 相應邊界條件：軸對稱問題邊界r=r0（常數） 位移邊界條件： 在 su 上 力的邊界條件： 在 ss 上

5、 平面應力問題的力邊界條件用位移表示： 在 ss 上 當ur 由基本方程和相應邊界條件求出后，則相應應變、應力均可求出。6. 按應力法解 應力法基本方程 其中 邊界條件為力的邊界條件： 在 ss 上7. 按應力函數求解 當無體力時應力法基本方程為： 選取應力函數f = f (r)單變量的函數 應力分量與f (r)的關系： ， ， ， 自然滿足平衡微分方程，則應力函數f (r)應滿足的基本方程為相容方程，即 或 四階變系數的微分方程（尤拉方程） 而 則 逐次積分（四次）可將軸對稱問題的f (r)基本形式得到： f( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D 其中A、B、C、D為任意常數，D可去

6、掉。 將 f(r) 代入應力分量與應力函數的關系式，可得平面應力、平面應變問題應力表達式： 對于圓環或圓筒，力邊界條件僅兩個，不能確定三個系數。 但圓環或圓筒為復連域，除了力的邊界條件滿足外還要考慮位移單值條件。x y 下面將ur 表達式導出（平面應力問題為例）將物理方程代入幾何方程： 將應力分量表達代入幾何方程的第二式，得 （a）應力分量表達代入幾何方程的第一式并積分，得 (b)考慮位移單值性比較（a）和（b）式： 4Br-F=0 Þ B=F=0 軸對稱問題的應力和位移解為：， ， ， A、C 由兩個力的邊界條件確定。q對于無體力圓盤（或圓柱）的軸對稱問題，則根據圓盤（或圓柱）中心

7、應力和位移有限值,得 A=0圖示圓盤受力情況，得應力為 sr=sq=2C= -q 2.3 軸對稱問題舉例例題1 等厚圓盤在勻速 w 轉動中計算（按位移法解）x yawPrq 已知：等厚圓盤繞盤心勻速轉動（單位厚）角速度為 w（常數）、圓盤密度為 r， 圓盤勻速轉動時受體力（離心力）作用：fr=Kr=rw2r，fq=Kq=0在r = a邊界上（或）符合軸對稱問題（平面應力問題）。位移法的基本方程：積分兩次：確定C1和C2：當r =時，ur為有限值，須C2=0然后，利用r = a 時，得 ，代回位移表達式并求應力 ， 如果圓環勻速（w）轉動，則ur 表達公式中的C2¹0 ，x ybwra

8、 C1和C2由力的邊界條件定：(sr）r=a=0, (sr）r=b=0 例題圓環（或圓筒）受內外壓力作用。abqaqb已知：體力fr=fq=0（或K r=Kq=0），力的邊界條件：在r = a邊界（內徑）： sr= -qa，trq=0 在r = b 邊界（外徑）： sr= -qb，trq=0 本問題仍為軸對稱問題，且體力為零， 可采用前述的應力函數求解方程，也可按位移法求解。按應力函數法求解 按應力函數求解前面已導出應力分量和位移表達式：，平面應力問題的位移： ，利用力的邊界條件： 及，得 ， 按位移法求解：由基本方程得代入應力與位移之間關系式，對于平面應力問題，有同樣利用力的邊界條件導出同樣

9、結果。討論：(1）當 qa ¹ 0，qb = 0僅受內壓，以及qb = 0、b® ¥ 時； yxbca(2) 當qa = 0，qb ¹ 0 僅受外壓；(3) 組合圓筒。 內筒：內徑a，外徑b，彈性系數E、n，外筒：內徑b，外徑c，彈性系數E、n。內筒應力和位移：， 平面應變問題， 外筒應力和位移： ， ， ，組合圓筒應力和位移表達式中共有四個待定系數A、C、A、C，利用四個條件定。 如果內筒受內壓 qa 外筒外徑無面力，則確定系數的四個條件為： (sr)r=a= -qa , (sr)r=c=0 , (sr)r=b= (sr)r=b ，(ur)r=b= (

10、ur）r=b 又如：內筒無內壓qa = 0，外筒無外壓qc = 0，但內筒外徑大一點，內筒外徑為b+D ，外筒內徑仍為b，過盈配合問題， 邊界條件如何寫： (sr）r=a= 0 , (sr）r=c=0 , (sr）r=b= (sr）r=b ， (ur）r=b= (ur）r=b +D （或ô(ur）r=bô+ô (ur）r=b ô=D）第3節 軸對稱應力問題曲梁的純彎曲MMabqr yx 曲梁為單連域，當無體力作用，且受純彎曲作用時，從受力分析知曲梁 q =c的截面上內力為M，各截面上的應力分布也相同與 q 無關的，因此屬于軸對稱應力問題。但位移不是軸對稱

11、的，即uq ¹ 0 ，所以不能按軸對稱問題的位移法求解，但可按軸對稱應力（應力函數）解法求應力并由應力導出位移。 按軸對稱應力函數解：應力函數f = f( r) f( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 (已導出) a £ r £ b, 0 £ q £ b, 利用力的邊界條件確定 A、B、C： 在主要邊界上 r = a： (sr）r=a= 0，(trq）r=a= 0 , （1） r = b： (sr）r=b= 0，(trq）r=b= 0 ， （2） 在次要邊界上不清楚垂直邊界的面力具體分布，利用圣維南原理： 在 q = 0: 由于主要邊界滿

12、足，則此式自然滿足；在 q = 0: Þ (3) 主要邊界滿足時，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，應力求出后，依次可求出應變和位移表達式，詳細推導在徐芝綸（上冊）P.91-92。 在徐芝綸(4-13)中I、K、H為剛體位移，I = u0、K = v0, H = w。 可利用約束確定，如令 r0 =(a+b)/2 ，q = 0 處 得 H=K =0, 第4節 圓孔的孔邊應力集中問題q2q1q1q2x yq=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2=+圖（a）圖（c）圖（b）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 從本節和后面兩節討論一些工程中經常用到的

13、一些解，仍采用應力函數解法。本節討論一個無體力的矩形薄板，薄板內有一個小圓孔（圓孔半徑a很小），薄板兩個對邊分別受均勻拉力q1和q2作用，由于板內有微小圓孔，孔邊應力將遠大于距孔稍遠處的應力稱應力集中問題。 圖( a )受力情況，依照線彈性力學疊加原理： 圖( a )的解圖( b )的解圖( c )的解。 , , 下面分別討論圖( b )和圖( c )的解： 圖( b )情況,遠離孔的位置應力為 ， 其中 q=(q1+q2)/2，圖( b )解相當圓環內徑無內壓qa= 0,外徑受外壓qb = q作用情況,已有解， 只須將a/b ® 0 代入,得 圖( c )情況，遠離孔的位置應力為

14、sx= - sy =q , txy= 0 , 其中 q=(q1 -q2)/2，通過應力轉換式可得 sr =qcos2q , sq = -qcos2q , trq = -qsin2q 。可見, 圖( c )的應力不是軸對稱的（結構為軸對稱）， 關鍵是要設應力函數 f( r, q)， 采用半逆解法： （1）根據應力函數與應力分量的關系式判斷f( r, q)應有cos2q 項（因子）。 在較遠處 ® qcos2q 在較遠處 ® - qcos2q 在較遠處 ® - qsin2q （2）假設應力函數 f( r, q) 可以分離變量, 設為 f( r, q )=f(r)g(q

15、)=f(r)cos2q 將所設 f( r, q) 的形式, 代入 Ñ 4 f = 0 ，得 解出 ， 代回應力函數 f( r, q),得 可求得應力分量表達式為 應力分量中的四個系數由四個力邊界條件確定，即 (sr）r=a= 0 , (trq）r=a= 0 , (sr）r=b= qcos2q , (trq）r=b= -qsin2q ； 由此四各方程解得 ， ， 其中 當 a/b ® 0（無限大板中有小孔）代入上述各系數表達式，得 N=1, A=0, B= -q/2, C=qa2 , D= -qa4/2 再代入上面圖( c )應力表達式，可得應力最后表達式： 最后圖( a )

16、應力由圖(b )應力解和圖( c )應力解相加而得。 當q1 = q，q2 = 0代入上式，可得齊爾西解，徐芝綸（上冊）：P.101(4-17)式。qqxy3q-qqx yqx y3qq-qq = 0oqqq = 90o第5節 曲梁的一般彎曲 曲梁無體力作用，曲梁頂部受集中力P作用。 Pabqr yx 仍采用半逆解法： 考慮曲梁截面上內力表達式，推出應力函數的函數變化。在 q 截面內力： Þ Þ 根據應力函數與應力分量的關系式判斷 f( r, q)應有sinq 項（因子）。 假設應力函數 f( r, q) 可以分離變量, 設為 f( r, q )=f(r)g(q)=f(r)

17、sinq 代入 Ñ 4 f = 0, 得 解得 f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r 則 f( r, q )=（Ar3 + Br +Crlnr + D/r）sinq 其中 Brsinq =By 可略去。 將 f( r, q ) 代入應力分量表達式 A、C、D由力的邊界條件來定。 力的邊界條件：在主要邊界上， 在r = a： sr = 0 , trq = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0 在r = b: sr = 0 , trq = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0 在次要邊界上， 在 q =0 ，環向方向的面力為零， 滿足。 徑向方向的面力的分布未給出，但

18、給出的合力 利用圣維南原理 或 由上述方程解出 ， , 其中 代回應力分量表達式 注意：這個應力解在曲梁兩端是不能用的。應變和位移可由物理和幾何方程導出。第6節 楔形體在楔頂或楔面受力 本節討論楔形體分別受三種不同荷載作用時，其應力解答如何，并將其中某些解答推廣到半無限體情況。 楔形體分別受三種不同荷載作用時，應力函數 f( r, q)的選取考慮：（） 采用分離變量法 f( r, q)=g(r)f(q) ；（） 考慮應力函數在楔形體邊界上的變化規律，將f( r, q)中的g( r)的形式假設出來，然后利用Ñ 4 f = 0 求f( q)的形式；ox yPba/2a/2A（3）利用邊界

19、條件確定f( q)的表達式的待定系數。 情況1 楔形體不考慮體力，楔形體頂部受集中力P作用。 已知：頂角為 a 的楔形體受集中力P作用， P的作用方向與楔形體頂角平分線（x軸）夾角為b， 設應力函數 f( r, q)=g(r)f(q)且利用無體力時，應力函數 f( r, q) 在邊界上的值及偏微分與邊界上面力的關系式來確定 g(r) 的形式。 首先可設邊界上始點A的fA = 0, 則邊界上在OA段任意點B的 f 值為 fB = 0， 任意點經過O點,在OB段的 f值為f=Prsin(b+a/2)；f與r一次式有關。可設 f( r, q ) = g(r)f(q) = r f(q ) f( r,

20、q )的假設也可以由 f( r, q )與應力分量的關系及應力分量與集中力P 之間量綱關系來設。 由 f( r, q ) = r f(q ) 代入Ñ 4 f = 0 ， 得： 要求 解得 f(q) = Acosq+Bsinq +q (Ccosq+Dsinq) 而應力函數 f( r, q)= A r cosq + B r sinq + q r (Ccosq+Dsinq) 由 f( r, q)可得應力分量表達式 ， 系數C、D的確定： 首先應考慮邊界條件來定，即 q = ± a /2 時，sq= 0 , trq= 0 , 自然滿足。可見僅靠力的邊界條件不能確定所有待定系數，這是由于本問題的載荷是作用于一點的集中力，在頂點有奇點，待定系數需靠部分楔形體的平衡而確定，即ox yPba/2a/2A SFy = 0: Þ SFx = 0: Þ 代回應力分量表達式 ， 討論：1. 當 b = 0 ， ； 當 b = p /2， ； 2當 a = p 時楔形體變為半無限體，受集中力作用：ox ybPab ， 當 b = p/2， ox yPab 利用應力轉換公式，可得到直角坐標中的應力分量： ， ， 將上式代入物理方程和幾何方程并積分求得位移：ox yPsrhM