1、目錄第 1 講找規律 一 第 2 講找規律 二 第 3 講簡潔推理 第 4 講應用題 一 第 5 講算式謎 一 第 6 講算式謎 二 第 7 講最優化問題 第 8 講奇妙求和 一第 9 講變化規律 一第 10 講變化規律 二第 11 講 錯中求解第 12 講 簡潔列舉第 13 講 和倍問題第 14 講 植樹問題第 15 講 圖形問題第 16 講奇妙求和（二）第 17 講數圖形 一第 18 講數數圖形 二第 19 講應用題 二第 20 講速算與巧算一、學問要點學校四年級奧數暑期精品講義第 1 講找規律 一觀看是解決問題的依據；通過觀看，得以揭示出事物的進展和變化規律，在一般情形下，可以從以下幾個

2、方面來找規律：1. 依據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規律，推斷出所要填的數;2. 依據相隔的每兩個數的關系，找出規律，推斷出所要填的數;3. 要善于從整體上把握數據之間的聯系，從而很快找出規律;4. 數之間的聯系往可以從不同的角度來懂得，只要言之有理，所得出的規律都可以認為是正確的；二、精講精練【例題 1】先找出以下數排列的規律，并依據規律在括號里填上適當的數；1， 4， 7， 10， ，16， 19【思路導航】在這列數中，相鄰的兩個數的差都是3，即每一個數加上3 都等于后面的數；依據這一規律，括號里應填的數為：10+3=13 或 16-3=13；像上面依據肯定的次序排列的一串數叫做數列；練

3、習 1：先找出以下各列數的排列規律，然后在括號里填上適當的數； 12 ， 6， 10，14， ， 22，2623 ， 6， 9， 12， ，18， 21333 ，28，23， ，13， ， 3455 ，49，43， ，31， ， 19 53 ， 6， 12， ，48， ，19262 ， 6， 18， ，162，7128 ，64， 32， ，8， ， 2819 ，3，17，3， 15，3， ， ，11， 3.【例題 2】先找出以下數排列的規律， 然后在括號里填上適當的數； 1，2，4，7， ，16， 22【思路導航】在這列數中，前4 個數每相鄰的兩個數的差依次是1，2，3；由此可以推算7比括號里

4、的數少4，括號里應填： 7+4=11；體會證，所填的數是正確的；應填的數為： 7+4=11 或 16-5=11；練習 2：先找出以下數排列的規律，然后在括號里填上適當的數；110 ，11，13，16，20， ， 3121 ， 4， 9， 16，25， 33 ， 2， 5， 2，7，2， ， 49，64 ， ，11， 2453 ，44，36，29， ，18， ，11，9，8581 ，64，49，36， ，16， ，4，1，0628 ，1，26，1， 24，1， ， ，20， 1730 ，2，26，2， 22，2， ， ，14， 281 ， 6， 4， 8，7，10， ， ， 13，14【例題 3

5、】先找出規律，然后在括號里填上適當的數；23，4，20，6，17，8， ， ，11， 12【思路導航】在這列數中，第一個數減去3 的差是第三個數，其次個數加上2 的和是第四個數，第三個數減去3 的差是第五個數，第四個數加上2 的和是第六個數依此規律，8 后面的一個數為： 17-3=14，11 前面的數為： 8+2=10練習 3：先找出規律，然后在括號里填上適當的數；11 ， 6， 5， 10，9，14， 13， ，213 ，2，15，4， 17，6， ，33 ， 29，4，28， 6， 26，9，23， ， ， 18，14421 ，2，19，5， 17，8， ，532 ，20，29，18，26

6、， 16， ， ，20， 1262 ， 9， 6， 10，18， 11，54， ， ， 13，486 71 ， 5， 2， 8，4，11，8，14， ，8320 ，1，160，3，80， 9， 40，27， ， 【例題 4】在數列 1，1，2，3， 5， 8，13， ，34，55中，括號里應填什么數.【思路導航】經認真觀看、分析，不難發覺：從第三個數開頭，每一個數都等于它前面兩個數的和；依據這一規律，括號里應填的數為：8+13=21 或 34-13=21上面這個數列叫做斐波那切 意大利古代聞名數學家 數列，也叫做“兔子數列” ；練習 4：先找出規律，然后在括號里填上適當的數；12 ， 2， 4

7、， 6，10，16， ， 234 ，21，13，8，5， ，2， 30 ， 1， 3， 8，21， ，14443 ， 7， 15，31， 63， ，533 ，17，9，5， 3， 60 ， 1， 4， 15，56， 71 ， 3， 6， 8，16，18， ， ，76，78 80 ， 1， 2， 4，7，12，20， 【例題 5】下面每個括號里的兩個數都是按肯定的規律組合的，在里填上適當的數； 8 ，45 ，710 ， 2 ， 9【思路導航】經認真觀看、分析，不難發覺：每個括號里的兩個數相加的和都是12；依據這一規律，里所填的數應為：12-9=3練習 5：下面括號里的兩個數是按肯定的規律組合的，

8、在里填上適當的數；16 ，97 ，810 ， 5 ， 21 ，242 ，123 ，84 ， 318 ，1714 ，1010 ，1 ， 542 ，35 ，97 ，139 ， 52 ，35 ，77 ，1010 ， 664 ，6248 ，4629 ，2715 ， 7100 ， 5086 ， 4364 ，32 ， 2188 ，616 ，324 ，212 ， 一、學問要點第 2 講找規律 二對于較復雜的按規律填數的問題，我們可以從以下幾個方面來摸索：1. 對于幾列數組成的一組數變化規律的分析，需要我們敏捷地摸索， 沒有一成不變的方法，有時需要綜合運用其他學問，一種方法不行，就要準時調整思路，換一種方法再

9、分析;1319671696122. 對于那些分布在某些圖中的數，它們之間的變化規律往往與這些數在圖形中的特別位置有關，這是我們解這類題的突破口；3. 對于找到的規律，應當適合這組數中的全部數或這組算式中的 所 有 算式；二、精講精練【例題 1】依據右表中的排列規律，在空格里填上適當的數；【思路導航】經認真觀看、分析表格中的數可以發覺：13+6=19，7+9=16，即每一橫行中間 的數等于兩邊的兩個數的和；依此規律，空格中應填的數為：6+12=18；練習 1：找規律，在空格里填上適當的數；8157916741291228162031116244911473530【例題 2】依據前面圖形中的數之間

10、的關系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數.54126208830【思路導航】經認真觀看、分析可以發覺前面兩個圈中三個數之間有這樣的關系：5× 12÷10=6 4 × 20÷10=8依據這一規律，第三個圈中右下角應填的數為：8×30÷ 10=24.練 習 2：1、依據前面圖形中數之間的關系，想一想第三個圖形的空格里應填什么數；369（1）5101230311 97913 854443（2）（3）93612151248162、把 1 9 九個數字填入右邊表格中，使每行、每列、對角三個數字的和都5是15， 其中數字5 已填好，并且每個數字

11、只能用一次；【例題3】先運算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規律，并依據規律直接寫出后幾 題的 得 數 ； 12345679× 9=12345679× 18=12345679× 54=12345679× 81=【思路導航】題中每個算式的第一個因數都是12345679，它是好玩的“缺8 數 ”， 與 9 相乘，結果是由九個1 組成的九位數，即： 111111111；不難發覺，這組題得數的規律是：只要看 每道算式的其次個因數中包含幾個9，乘積中就包含幾個111111111；因 為 ： 12345679×9=111111111所以： 123456

12、79×18=12345679× 9× 2=22222222212345679×54=12345679× 9× 6=666666666 12345679×81=12345679× 9× 9=999999999.練習 3：找規律，寫得數；1 1+0 × 9=2+1×9=3+12×9=4+123× 9=9+12345678× 9=2 1×1=11× 11=111×111=111111111× 111111111=319+9

13、 ×9=118+98×9=1117+987×9=11116+9876× 9=111115+98765× 9=【例題 4】找規律運算； 1 81-18=8-1×9=7×9=632 7227=7-2 ×9=5× 9=45 3 63-36= - ×9=× 9=【思路導航】經認真觀看、分析可以發覺：一個兩位數與交換它的十位、個位數字位置后的兩位數相減，只要用十位與個位數字的差乘9，所得的積就是這兩個數的差；練 習 4：1. 利用規律運算； 153-35282-28392-29461-16595

14、-592. 找規律運算； 1 62+26=6+2×11=8×11=882 87+78=8+7×11=15× 11=1653 54+45= + ×11=× 11=【例題 5】運算 126 ×11 238×11【思路導航】 一個兩位數與11 相乘， 只要把這個兩位數的兩個數字的和插入這兩個數字中間，就是所求的積；1 26×11=22+66=2862 38×11=33+88=418留意：假如兩個數字的和滿十，要向前一位進一；練習5：運算下面各題；127 × 11232× 113 3

15、9× 11 446× 11592 × 11698 × 11一、學問要點第 3 講簡潔推理解答推理問題，要從很多條件中找出關鍵條件作為推理的突破口；推理要有條理地進行，要充分利用已經得出的結論，作為進一步推理的依據；二、精講精練【例題 1】一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4 袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量.【思路導航】依據“一包巧克力的重量=兩袋餅干的重量”與“4 袋牛肉干的重量 =一包巧克力的重量”可推出：兩袋餅干的重量=4 袋牛肉干的重量；因此，一袋餅干的重量=兩袋牛肉干的重量；練 習 1：1 一只菠蘿的重量等于4

16、根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量.23包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12 袋牛肉干的重量等于3 包巧克力的重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量.3 一只小豬的重量等于6 只雞的重量， 3 只雞的重量等于4 只鴨的重量；一只小豬的重量等于幾只鴨的重量.【例題 2】一頭象的重量等于4 頭牛的重量，一頭牛的重量等于3 匹小馬的重量，一匹小馬的重量等于3 頭小豬的重量；一頭象的重量等于幾頭小豬的重量.【思路導航】依據“一頭象的重量等于 4 頭牛的重量”與“一頭牛的重量等于 3 匹小馬的重量”可推出：“一頭象的重量等于 12 匹小馬的重量”，而“一匹

17、小馬的重量等于 3 頭小豬的重量”，因此，一頭象的重量等于 36 頭小豬的重量；練 習 2：(1) 一只西瓜的重量等于兩個菠蘿的重量，1 個菠蘿的重量等于4 個蘋果的重量， 1 個蘋果的重量等于兩個橘子的重量；1 只西瓜的重量等于幾個橘子的重量.(2) 一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9 天吃草的重量相等，也和6 只羊一天吃草的重量相等；已知一頭牛每天吃青草18 千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克.(3) 一只小豬的重量等于6 只雞的重量， 3 只雞的重量等于4 只鴨的重量，兩只鴨的重量等于 6 條魚的重量；問：兩只小豬的重量等于幾條魚的重量.【例題 3】依據下面兩個算式，求與各代表多少

18、. + + =18 + =10【思路導航】在第一個算式中，3 個相加的和是18，所以代表的數是： 18÷3=6，又由其次個算式可求出代表的數是：10-6=4.練 習 3：1 依據下面兩個算式，求與各代表多少.+=32- =202 依據下面兩個算式，求與各代表多少.+ + =15 + + + + =403 依據下面兩個算式，求與各代表多少.- =8 +=【例題 4】依據下面兩個算式，求與各代表多少.- =2+ + + + =56【思路導航】由第一個算式可知，比多2; 假如將其次個算式的都換成，那么5 個=56+2×2， =12，再由第一個算式可知，=12-2=10.練 習 4

19、：(1) 依據下面兩個算式求與各代表多少.- =8 + +=20(2) 依據下面兩個算式，求與各代表多少.+=78 +=72(3) 依據下面兩個算式，求與各代表多少.+- - =12 +- - =2（4）有 10 名同學參與學校四年級奧數競賽，已知這 10 名同學的平均分是72 分，前 6 名同學的平均分是73 分，后 6 名同學的平均分是70 分，那么第5 名和第 6 名兩個同學的平均分是多少分？【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的同學，在區運動會上他們分別獲得跳高、跳遠和壘球冠軍；已知：二小的是跳遠冠軍; 一小的不是壘球冠軍，甲不是跳高冠軍; 乙既不是二小的也不是跳高冠軍；問：

20、他們三個人分別是哪個學校的.獲得哪項冠軍 .【思路導航】由“二小的是跳遠冠軍”可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的 ; 由于“一小的不是壘球冠軍”，所以一小肯定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍 ; 由“甲不是跳遠冠軍” ，“乙既不是二小的也不是跳高冠軍”可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是跳遠冠軍，三小的乙是壘球冠軍；練 習 5：(1) 有三個女孩穿著嶄新的連衣裙去參與游園會；一個穿花的，一個穿白的，一個穿紅的；但不知哪一個姓王、哪一個姓李、哪一個姓劉；只知道姓劉的不喜愛穿紅的，姓王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子；你能猜出這三個女孩各姓什么嗎 .(2) 小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參與100 米競賽

21、，競賽終止后小猴說：“我比小貓跑得快；”小狗說：“小鹿在我前面沖過終點線； ”小兔說：“我們的名次排在小猴前面，小狗在后面；”請依據它們的回答排出名次；(3) 五個女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離相等的座位上，戌坐在她兩個姐姐之間；請問誰是戌的姐姐.（4）甲乙丙丁四人比身高，甲說： “我比丙高；”乙說：“我不是最高的，也不是最矮的，但比甲高；”你知道他們的身高次序嗎？請按從高到矮的次序寫出來；（5）小明參與學校四年級數學口算競賽，他做對了95 題，獲得第三名；小明很想知道第一名做對了多少題， 他明白到如下信息： 其次名和第三名平均每人做對了96 題，第一名和其次

22、名平均每人做對了98 題；依據以上信息，你能幫小明算出這次競賽第一名做對了多少題嗎？一、學問要點第 4 講應用題 一解答應用題時，必需認真審題，懂得題意，深化細致地分析題目中數量間的關系，通過對條件進行比較、轉化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問題得以順當解決；二、精講精練【例題 1】某玩具廠把 630 件玩具分別裝在5 個塑料箱和6 個紙箱里， 1 個塑料箱與3 個紙箱裝的玩具同樣多；每個塑料箱和紙箱各裝多少件玩具.【思路導航】假如玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個紙箱或一個塑料箱裝多少件；由于3 個紙箱與一個塑料箱裝的同樣多，所以6 個紙箱與2 個塑料箱裝的

23、同樣多；這樣， 5 個塑料箱裝的玩具件數和7 個塑料箱裝的就同樣多；由此，可求出一個塑料箱裝多少件；練 習 1：(1) 百貨商店運來300 雙球鞋分別裝在2 個木箱和6 個紙箱里；假如兩個紙箱同一個木箱裝的球鞋同樣多，每個木箱和每個紙箱各裝多少雙球鞋.(2) 新華學校買了兩張桌子和5 把椅子，共付款195 元；已知每張桌子的價錢是每把椅子的4 倍，每張桌子多少元.(3) 王叔叔買了3 千克荔枝和4 千克桂圓，共付款156 元；已知 5 千克荔枝的價錢等于2 千克桂圓的價錢；每千克荔枝和每千克桂圓各多少元.【例題 2】一桶油，連桶重180 千克，用去一半油后，連桶仍有100 千克；問：油和桶各重

24、多少千克 .【思路導航】原先油和桶共重 180 千克，用去一半油后，連桶仍有 100 千克，說明用去的一半油的重是 180-100=80 千克 ，一桶油的重量就是 80× 2=160 千克 ，油桶的重量就是180-160=20 千克 ；練 習 2：(1) 一筐梨，連筐重38 千克，吃去一半后，連筐仍有20 千克；問：梨和筐各重多少千克.(2) 一筐蘋果， 連筐共重 35 千克，先拿一半送給幼兒園小伴侶，再拿剩下的一半送給一年級小伴侶，余下的蘋果連筐重11 千克；這筐蘋果重多少千克.(3) 一只油桶里有一些油，假如把油加到原先的2 倍，油桶連油重38 千克; 假如把油加到原先的 4 倍

25、，這里油和桶共重46 千克；原先油桶里有油多少千克.【例題 3】有 5 盒茶葉，假如從每盒中取出200 克，那么5 盒剩下的茶葉正好和原先4 盒茶葉的重量相等；原先每盒茶葉有多少克.【思路導航】由條件“每盒取出200 克， 5 盒剩下的茶葉正好和原先4 盒茶葉重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000克 茶葉正好等于原先的5-4=1 盒 茶葉的重量；練 習 3：(1) 有 6 筐梨子，每筐梨子個數相等，假如從每筐中拿出40 個，6 筐梨子剩下的個數總和正好和原先兩筐的個數相等；原先每筐有多少個.(2) 在 5 個木箱中放著同樣多的橘子；假如從每個木箱中拿出60 個橘子，那么 5

26、個木箱中剩下的橘子的個數的總和等于原先兩個木箱里橘子個數的和；原先每個木箱中有多少個橘子.(3) 某食品店有5 箱餅干，假如從每個箱子里取出20 千克，那么 5 個箱子里剩下的餅干正好等于原先3 箱餅干的重量；原先每個箱子里裝多少千克餅干.【例題 4】一個木器廠要生產一批課桌；原方案每天生產60 張，實際每天比原方案多生產4 張，結果提前一天完成任務；原方案要生產多少張課桌.【思路導航】這道題的關鍵是要求出工作時間；由于實際比原方案提前1 天完成任務，這就相當于把原方案最終1 天的任務平均分到前面的幾天去做，正好分完；實際比原方案每天多 生產 4 張，所以實際生產的天數是60÷4=1

27、5 天，原方案生產的天數是15+1=16天；所以原方案要生產 60×16=960張；練 習 4：(1) 電視機廠接到一批生產任務，方案每天生產90 臺，可以按期完成；實際每天多生產5臺，結果提前1 天完成任務；這批電視機共有多少臺.(2) 小明看一本故事書，方案每天看12 頁，實際每天多看8 頁，結果提前 2 天看完；這本故事書有多少頁 .(3) 修一條大路，方案每天修60 米，實際每天比方案多修15 米，結果提前4 天修完；一共修了多少米 .【例題 5】有兩盒圖釘，甲盒有72 只，乙盒有48 只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使兩盒中的圖釘相等.【思路導航】由條件可知，甲盒比乙盒多

28、72-48=24 只；要盒兩盒中的圖釘相等，只要把甲盒比乙盒多的24 只圖釘平均分成2 份，取其中的1 份放入乙盒就行了；所以應拿出24÷2=12只；練 習 5：(1) 有兩袋面粉，第一袋面粉有24 千克，其次袋面粉有18 千克；從第一袋中取出幾千克放入其次袋，才能使兩袋中的面粉重量相等.(2) 有兩盒圖釘，甲盒有72 只，乙盒有48 只；每次從甲盒中拿4 只放到乙盒，拿幾次才能使兩盒相等 .(3) 有兩袋糖， 一袋是 68 粒，另一袋是 20 粒；每次從多的一袋中拿出6 粒放到少的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多.（4）一列車隊共有25 輛汽車，每輛車長4 米，前后兩輛車相距5 米

29、，這列車隊有多長？假如車隊每分鐘行駛100 米，要通過長580 米的大路，需要多少時間？一、學問要點第 5 講算式謎 一“算式謎”一般是指那些含有未知數字或缺少運算符號的算式；解決這類問題，可以依據已學過的學問，運用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數字和運用符號；由于這類題目的解答過程類似全平常進行的猜謎語嬉戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎題”；解答算式謎問題時，要先認真審題，分析數據之間的關系，找到突破口，逐步試驗，分析求解，通常要運用倒推法、湊整法、估值法等；二、精講精練【例題 1】在下面算式的括號里填上合適的數；765 47 21 【思路導航】依據題目特點，先看個位：7+5=12

30、，在和的個位 中填 2，并向十位進一 ; 再看十位， +4+1的和個位是1，因此，第一個加數的 中只能填6，并向百位進 1; 最終來看百位、千位，6+ +1 的和的個位是2，其次個加數的 中只能填5， 并向千位進1; 因此，和的千位 中應填 8；練習 1：1 在括號里填上合適的數；2在括號里填上合適的數；6 2 15091031728563 下面的豎式里， 有 4 個數字被遮住了，（ 4）把 06 這七個數字分別填入下式括號中，使豎式求豎式中被蓋住的4 個數字的和；成立； 1690. 0. +0. 0. 0【例題2】下面各式中“巨” 、“龍”、“騰”、“飛”分別代表不同的數字，相同的漢字代表相

31、同的數字；當它們各代表什么數字時，以下的算式成立；騰飛龍騰飛巨龍騰飛2 0 0 1【思路導航】先看個位， 3 個“飛”相加的和的個位數字是 1，可推知“飛”代表 7; 再看十位， 3 個“騰”相加，再加上個位進來的 2，所得的和的個位是 0，可推知“騰”代表 6; 再看百位，兩個“龍”相加，加上十位進上來的 2，所得和的個位是 0，“龍”可能是 4 或 9，考慮到千位上的“巨”不行能為 0，所以“龍”只能代表 4，“巨”只能代表 1；練 習 2：c d a c da b c d1 9 8 9字謎填字謎 巧填字謎1 9 9 5澳門澳門歸 慶澳門歸1 9 9 9【例題 3】下面各式中的“兵” 、“

32、炮”、“馬”、“卒”各代表0 9 這十個數字中的某一個，相同的漢字代表相同的數字；這些漢字各代表哪些數字.兵炮馬卒兵炮車卒車卒馬兵卒【思路導航】 這道題應以 “卒”入手來分析；“卒”和“卒”相加和的個位數字仍舊是“卒”，這個數字只能是0；確定“卒”是0 后，全部是“卒”的地方，都是0；留意到百位上是“兵”+“兵” =“卒”，簡潔知道“兵”是5，“車”是1; 再由十位上的情形可推知“馬”是4，進而推得“炮”是2；練 習 3：ba ab abcaaabccdc abcd炮兵兵炮兵馬兵馬兵馬【例題4】將 0、1、2、3、4、5、6 這七個數字填在圓圈和方格內，每個數字恰好顯現一次，組成一個整數算式；

33、× =÷【思路導航】要求用七個數字組成五個數，這五個數有三個是一位數，有兩個是兩位數；明顯，方格中的數和被除數是兩位數，其他是一位數；0 和 1 不能填入乘法算式，也不能做除數；由于 2×6=122 將顯現兩次 ，2× 5=10經試驗不合題意 ，2×4=87 個數字中沒有 8 ，2×3=66 不能成為商 ；因此， 0、1、2 只能用來組成兩位數；經試驗可得： 3×4=12=6=÷5.練習 4：1 將 0、1、3、5、6、8、9 這七個數字填在圓圈和方筐里，每個數字恰好顯現一次組成一個整數算式；× = =&

34、#247;2 填入 1、2、3、4、7、9，使等式成立；÷ =÷3 用 1、2、3、7、8 這五個數字可以列成一個算式：1+3 ×7=28；請你用 0、1、2、3、 4、6 這六個數字列成一個算式；【例題5】把“ +、- 、×、÷”分別放在適當的圓圈中 運算符號只能用一次 ，并在方框中填上適當的數，使下面的兩個等式成立；36 0 15=15 2135=【思路導航】先從第一個等式入手，等式右邊是15，與等式左邊最終一個數15 相同，由于 0+15=15，所以，只要使36 與 0 的運算結果為0 就行；明顯， 36× 0+15=15由于第

35、一個等式已填“×” 、“ +”，在其次個等式中只有“- ”、“÷”可以填，題目要求在方框中填整數，已知3 不能被 5 整除，所以“÷”只能填在21 與 3 之間，而3 與 5 之間填“ - ”；練習 5：1 把“ +、- 、×、÷”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當的整數，使下面每組的兩個等式成立； 9 13 7=10014 2 5=17 6 2=100 514 7=(2) 將 19 這九個數字填入中 每個數字只能用一次 ，組成三個等式； + =- =× =一、學問要點第 6 講算式謎 二解決算式謎題，關鍵是找準突破口，推理時應

36、留意以下幾點：1. 認真分析算式中所包含的數量關系，找出隱藏條件，挑選有特點的部分作出局部判定;2. 利用列舉和挑選相結合的方法，逐步排除不合理的數字;3. 試驗時，應借助估值的方法，以縮小所求數字的取值范疇，達到快速而精確的目的;4. 算式謎解出后，要驗算一遍；二、精講精練【例題 1】在下面的括號中填上合適的數字；76 18 31 0【思路導航】由積的末尾是0，可推出其次個因數的個位是5; 由其次個因數的個位是5，并結合第一個因數與5 相乘的積的情形考慮， 可推出第一人個因數的百位是3; 由第一個因數為 376 與積為 31 0，可推出其次個因數的十數上是8；題中別的數字就簡潔填了；練習 1

37、：在括號里填上適當的數；635331 82 6 04 70285 1 29【例題 2】在下面括號中填上適合的數字； 121 2 0【思路導航】由商的十位是1，以及 1 與除數的乘積的最高位是1 可推知除數的十位是1；由第一次除后余下的數是1，可推知被除數的十位只可能是7、8、9；假如是 7，除數的個位是 0，那么最終必有余數; 假如被除數是8，除數的個位就是1，也不能除盡 ; 只有當被除數的十位 是 9 時，除數的個位是2 時，商的個位為6，正好除盡；完整的豎式是： 1 6 1 2 1 9 21 2 7 2 7 2 0練習 2：在括號內填入適當的數字，使以下除法豎式成立； 6 1 7 6108

38、 0 0【例題 3】下面算式中的a、b、c、d 這四個字母各代表什么數字.a b c d×9d c b a【思路導航】 由于四位數abcd 乘 9 的積是四位數， 可知 a 是 1;d 和 9 相乘的積的個位是1， 可知 d 只能是 9; 由于其次個因數9 與第一個因數百位上的數b 相乘的積不能進位， 所以 b 只能是 01 已經用過 ; 再由 b=0，可推知 c=8；練習 3：求以下各題中每個漢字所代表的數字；花 紅柳綠1×9柳綠花紅花紅柳綠1 華羅 庚金杯2×3華羅 庚金杯 1華羅庚金杯希望祖國早日 統一盼望祖國(3) ×一盼盼盼盼盼盼盼盼盼早日統一

39、【例題 4】在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數字中間加上“+、- ”兩種運算符號，使其結果等于100 數字的次序不能轉變 ； 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100【思路導航】先湊出與100 比較接近的數，再依據需要把相鄰的幾個數組成一個數；比如： 123 與 100 比較接近，所以把前三個數字組成123，后面的數字湊出23 就行；由于 45 與 67 相差 22， 8 與 9 相差 1，所以得到一種解法：123+45-67+8-9=100再比 如 ： 89與100比較 接近 ， 78與67正好 相 差11 ， 所 此可 得 另 一種 解法 ：123+45-67+8-9=10

40、0.練習 4： 1 在下面等號左邊的數字之間添上一些加號，使其結果等于99 數字的次序不能轉變 ；8 7 6 5 4 3 2 1 = 99(2) 一個乘號和七個加號添在下面的算式中合適的地方，使其結果等于100 數字的次序不能轉變 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100(3) 添上適當的運算符號和括號，使以下等式成立；1 2 3 4 5 = 100【例題 5】在下面的式子里添上括號，使等式成立；7 ×9+12÷3-2 = 23【思路導航】采納逆推法，從最終一步運算開頭考慮；假如最終一步是用前面運算的結果減 2，那么前面式子的運算結果應等25，又由于 25

41、5;3=75，而前面 7×9+12 又正好等于75，所 以，應給前面兩步運算加括號；7 × 9+12÷3-2 = 23練 習 5：1. 在下面的式子里添上括號，使等式成立；17 × 9+12÷ 3-2 = 7527× 9+12÷ 3-2 = 47388+33-11÷11×2 = 52. 在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數字中間加上“+、- ”兩種運算符號，使其結果等于 100 數字的次序不能轉變 ；一、學問要點第 7 講最優化問題在日常生活和生產中，我們常常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎

42、樣合理支配才能做到用的時間最少， 成效正確； 這類問題在數學中稱為統籌問題； 我們仍會遇到 “費用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情形去探討它的最大 小 值，這類問題在數學中稱為極值問題；以上的問題實際上都是“最優化問題” ；二、精講精練【例題1】用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個，剪一個餅需要2 分鐘 規定正反面各需要 1 分鐘 ；問煎 3 個餅至少需要多少分鐘.【思路導航】先將兩個餅同時放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個餅都熟了一面，這時可將一個取出，另一個翻過去，再放入第三個；又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個取出，把第三個翻過去，再將第一個放入煎，再煎一分鐘就會全

43、部煎好；所以，煎 3 個餅至少需要 3 分鐘；練 習 1：1. 烤面包時，第一面需要2 分鐘，其次面只要烤1 分鐘，即烤一片面包需要3 分鐘；小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3 片面包，至少要烤多少分鐘.2. 用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時放兩個；烙熟大餅的一面需要3 分鐘，現在要烙3個大餅，最少要用幾分鐘.3. 小華用平底鍋烙餅， 這只鍋同時能放4 個大餅， 烙一個要用4 分鐘 每面各需要2 分鐘 ；可小華烙6 個大餅只用了6 分鐘，他是怎樣烙的.【例題 2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶；洗水壺需要1 分鐘，燒開水需要15 分鐘，洗茶壺需要 1 分鐘，洗茶杯需要1 分鐘；

44、要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘.【思路導航】體會說明，能同時做的事，盡量同時做，這樣可以節約時間；水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時進行；而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時進行；依據以上的分析， 可以這樣支配： 先洗水壺用1 分鐘，接著燒開水用15 分鐘，同時洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16 分鐘；練 習 2：1. 小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10 分鐘，把開水灌進熱水瓶需要2 分鐘，取奶需要5 分鐘，整理書包需要4 分鐘；他完成這幾件事最少需要多少分鐘.2. 小強給客人沏茶，燒開水需要12 分鐘，洗茶杯要2 分鐘，買茶葉要8 分鐘，放茶葉泡

45、茶要 1 分鐘；為了讓客人早點喝上茶，你認為最合理的支配，多少分鐘就可以了.3. 在早晨起床后的1 小時內，小欣要完成以下事情：疊被3 分鐘，洗臉刷牙8 分鐘，讀外語 30 分鐘，吃早餐10 分鐘，收碗擦桌5 分鐘，收聽廣播30 分鐘；最少需要多少分鐘.【例題 3】五1 班趙明、孫勇、李佳三位同學同時到達學校衛生室，等候校醫治病；趙明打針需要5 分鐘，孫勇包紗布需要3 分鐘，李佳點眼藥水需要1 分鐘；衛生室只有一位校醫，校醫如何支配三位同學的治病次序，才能使三位同學留在衛生室的時間總和最短.【思路導航】校醫應當給治療時間最短的先治病，治療時間長的最終治療，才能使三位同學在衛生室的時間總和最短；

46、這樣，三位同學留在衛生室的時間分別是：李佳 1 分鐘，趙 1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘；時間總和是1+4+9=14分鐘； 練 習 3：1. 甲、乙、丙三人分別拿著2 個、3 個、1 個熱水瓶同時到達開水供應點打熱水；熱水龍頭只有一個，怎樣支配他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時間最少.2. 甲、乙、丙三人到商場批發部洽談業務，甲、乙、丙三人需要的時間分別是10 分鐘、16分鐘和 8 分鐘；怎樣支配，使3 人所花的時間最少.最少時間是多少 .3. 甲、乙、丙、丁四人同時到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3 分鐘，乙洗抹布需要2 分鐘，丙洗衣服需要10 分鐘，丁用桶注水需要1 分鐘；怎

47、樣支配四人用水的次序，使他們所花的 總時間最少 .最少時間是多少 .【例題 4】用 18 厘米長的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數；圍成的長方形的面積最大是多少.【思路導航】依據題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是18÷2=9 厘米；明顯，當長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大；又已知長和寬的長度都是整厘米數，因此，當長是 5 厘米，寬是4 厘米時，圍成的長方形的面積最大：5×4=20 平方厘米；練 習 4：1. 用長 26 厘米的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數，圍成的長方形的面積最大是多少 .2. 一個長方形的周長是20 分米，它的

48、面積最大是多少.3. 一個長方形的面積是36 平方厘米， 并且長和寬的長度都是整厘米數；這個長方形的周長最長是多少厘米 .【例題 5】用 36 這四個數字分別組成兩個兩位數，使這兩個兩位數的乘積最大；【思路導航】 解決這個問題應考慮兩點：1 盡可能把大數放在高位;2盡可能使兩個數的差最小；所以應把6 和 5 這兩個數字放在十位，4 和 3 放在個位；依據“兩個因數的差越小，積越大”的規律，3 應放在 6 的后面， 4 應放在 5 的后面； 63×54=3402.練 習 5：1. 用 1 4 這四個數字分別組成兩個兩位數，使這兩個兩位數的乘積最大；2. 用 5 8 這四個數字分別組成兩

49、個兩位數，使這兩個兩位數的乘積最大；3. 用 3 8 這六個數字分別組成兩個三位數，使這兩個三位數的乘積最大；第 8 講奇妙求和 一一、學問要點如干個數排成一列稱為數列；數列中的每一個數稱為一項；其中第一項稱為首項，最終一項稱為末項，數列中項的個數稱為項數；從其次項開頭，后項與其相鄰的前項之差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項的差稱為公差；在這一章要用到兩個特別重要的公式：“通項公式”和“項數公式” ；通項公式：第n 項=首項+ 項數-1 ×公差項數公式：項數 = 末項- 首項 ÷公差 +1二、精講精練【例題 1】有一個數列： 4，10，16， 22.， 52. 這個數列

50、共有多少項.【思路導航】簡潔看出這是一個等差數列，公差為6，首項是 4，末項是 52. 要求項數，可直接帶入項數公式進行運算；項數=52-4 ÷6+1=9，即這個數列共有9 項；練 習 1：1. 等差數列中，首項 =1. 末項=39，公差 =2. 這個等差數列共有多少項.2. 有一個等差數列： 2.5 ， 8， 11.， 101. 這個等差數列共有多少項.3. 已知等差數列11.16 ， 21.26 ， 1001. 這個等差數列共有多少項.【例題 2】有一等差數列： 3.7 ，11.15 ，這個等差數列的第100 項是多少 .【思路導航】這個等差數列的首項是3. 公差是 4，項數是 100；要求第 100 項，可依據“末項=首項+公差× 項數-1 ”進行運算；第 100 項=3+4×100-1=399.練 習 2：1. 一等差數列，首項 =3. 公差=2. 項數=10，它的末項是多少 .2. 求 1.4 ，7，10這個等差數列的第30 項；3. 求等差數列2.6 ，10， 14的第 100 項；【例題 3】有這樣一個數列：1.2.3.4， 99，