1、1第四章第四章 三角函數、解三角形三角函數、解三角形第一節(jié)第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數任意角和弧度制及任意角的三角函數核心素養(yǎng)立意下的命題導向核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數學抽象、直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng)將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數學抽象、直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng)2結合方程結合方程、基本不等式基本不等式、二次函數的最值及弧度制的應用考查弧長公式二次函數的最值及弧度制的應用考查弧長公式、面積公式及最面積公式及最值問題，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng)值問題，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng)3將三角函數的定義將三角函數的定義、三角函數

2、符號的判斷綜合考查三角函數符號的判斷綜合考查，凸顯直觀想象凸顯直觀想象、數學運算的核心素數學運算的核心素養(yǎng)養(yǎng)理清主干知識理清主干知識1角的定義角的定義角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉旋轉到另一個位置所形成的到另一個位置所形成的圖形圖形2角的分類角的分類角的分類角的分類按旋轉方向按旋轉方向不同分類不同分類正角：按正角：按逆時針逆時針方向旋轉形成的角方向旋轉形成的角負角：按負角：按順時針順時針方向旋轉形成的角方向旋轉形成的角零角：射線沒有旋轉零角：射線沒有旋轉按終邊位置按終邊位置不同分類不同分類象限角：角的終邊在第幾象限，這象限角：角的終邊在

3、第幾象限，這個角就是第幾象限角個角就是第幾象限角軸線角：角的終邊落在坐標軸上軸線角：角的終邊落在坐標軸上3終邊相同的角終邊相同的角所有與角所有與角終邊相同的角終邊相同的角， 連同角連同角在內在內， 可構成一個集合可構成一個集合： s|k360， kz z或或|2k，kz z4弧度制弧度制定義定義把長度等于把長度等于半徑長半徑長的弧所對的圓心角叫做的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角，弧度記作弧度的角，弧度記作 rad角角的弧度數公式的弧度數公式|lr(弧長用弧長用 l 表示表示)角度與弧度的換算角度與弧度的換算1180rad；1 rad180弧長公式弧長公式弧長弧長 l|r扇形面積公式扇形面積公

4、式s12lr12|r25.任意角的三角函數任意角的三角函數三角函數三角函數正弦正弦余弦余弦正切正切2定義定義設設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 p(x，y)，那么，那么y叫做叫做的正弦，記的正弦，記作作 sin x叫做叫做的余弦的余弦，記記作作cos yx叫做叫做的正切，記的正切，記作作 tan 各象限各象限符號符號三三角角函函數數線線有向線段有向線段 mp 為正為正弦線弦線有向線有向線段段om為余弦為余弦線線有向線段有向線段 at 為正為正切線切線澄清盲點誤點澄清盲點誤點一、關鍵點練明一、關鍵點練明1(多選多選任意角的三角函數任意角的三角函數)下列說

5、法中正確的是下列說法中正確的是()a75是第四象限角是第四象限角b475是第二象限角是第二象限角c若若 sin 0，則，則是第一、二象限的角是第一、二象限的角d若若是第二象限的角，且是第二象限的角，且 p(x，y)是其終邊上一點，則是其終邊上一點，則 cos xx2y2解析：解析：選選 aba 選項，選項，90750，則角，則角的終邊落在第一、二象限及的終邊落在第一、二象限及 y 軸正半軸上，所以軸正半軸上，所以 c 錯誤錯誤d 選項，選項，cos xx2y2，所以，所以 d 錯誤故選錯誤故選 a、b.2(象限角象限角)已知已知是第二象限角，則是第二象限角，則 180是第是第_象限角象限角答案

6、：答案：一一3(弧長公式弧長公式)已知扇形的圓心角為已知扇形的圓心角為6，面積為，面積為3，則扇形的弧長等于，則扇形的弧長等于_答案：答案：34(三角函數的定義三角函數的定義)已知角已知角的終邊過點的終邊過點 p(1,2)，則，則 sin _.答案：答案：2 553二、易錯點練清二、易錯點練清1(易忽視扇形公式中的易忽視扇形公式中的是弧度制是弧度制)已知已知 60的圓心角所對的弧長為的圓心角所對的弧長為 2，則該弧所在圓的半，則該弧所在圓的半徑為徑為()a.130b.6c.160d3答案：答案：b2(忽視對參數的討論忽視對參數的討論)已知角已知角的終邊過點的終邊過點 p(8m,6m)(m0)，

7、則，則 sin _.解析：解析：由題意得由題意得 x8m，y6m，所以，所以 r10|m|.當當 m0 時，時，sin 6m10m35；當當 m0 時，時，sin 6m10m35.答案：答案：35或或353(忽視軸線角忽視軸線角)已知角已知角的終邊經過點的終邊經過點(3a9，a2)，且，且 cos 0，sin 0，則實數，則實數 a 的的取值范圍是取值范圍是_解析：解析：cos 0，sin 0，角角的終邊落在第二象限或的終邊落在第二象限或 y 軸的正半軸上軸的正半軸上3a90，a20，2a3.答案答案：(2,3考點一考點一象限角及終邊相同的角的表示象限角及終邊相同的角的表示典例典例(1)(20

8、20全國卷全國卷)若若為第四象限角，則為第四象限角，則()acos 20bcos 20csin 20dsin 20(2)與與2 020終邊相同的最小正角是終邊相同的最小正角是_解析解析(1)是第四象限角，是第四象限角，22k2k，kz z，4k24k，kz z.角角 2的終邊在第三、四象限或的終邊在第三、四象限或 y 軸非正半軸上，軸非正半軸上，sin 20，cos 2可正、可負、可為零可正、可負、可為零(2)因為因為2 020(6)360140，所以所以 140與與2 020終邊相同終邊相同，又終邊相同的兩個角又終邊相同的兩個角4相差相差 360的整數倍的整數倍，所以在所以在 0360中只有

9、中只有 140與與2 020終邊相同終邊相同，故與故與2 020終邊相終邊相同的最小正角是同的最小正角是 140.答案答案(1)d(2)140方法技巧方法技巧1利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數 k 賦值來求得所需賦值來求得所需的角的角2確定確定 k，k(kn n*)的終邊位置的方法的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角先用終邊相同角的形式表示出角的范圍，再寫出的范圍，再寫出 k或或k的范圍，然后根據的范圍，然后根據 k

10、 的可能取值討的可能取值討論確定論確定 k或或k的終邊所在位置的終邊所在位置針對訓練針對訓練1設集合設集合 mx|xk218045，kz z，nx|xk418045，kz z，那么，那么()amnbmncnmdmn 解析：解析：選選 b由于由于 mx|xk218045，kz z，45，45，135，225，nx|xk418045，kz z，45，0，45，90，135，180，225，顯然顯然有有mn.故選故選 b.2已知角已知角在第二象限，且在第二象限，且|sin2|sin2，則角，則角2在在()a第一象限或第三象限第一象限或第三象限b第二象限或第四象限第二象限或第四象限c第三象限第三象限d

11、第四象限第四象限解析：解析：選選 c角角是第二象限角，是第二象限角，2k2，2k，kz z，2k4，k2 ，kz z，角角2在第一或第三象限在第一或第三象限|sin2|sin2，sin20 且且 a1)的圖象過定點的圖象過定點 p，且角且角的終邊過點的終邊過點 p，則則 sincos 的值為的值為()a.75b.65c.55d.3 55(2)我國古代數學家僧一行應用我國古代數學家僧一行應用“九服晷九服晷(u)影算法影算法”在大衍歷中建立了晷影長在大衍歷中建立了晷影長 l 與太與太陽天頂距陽天頂距(080)的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表根據三角的對應數表，這是世界數學史上較早的

12、一張正切函數表根據三角學知識可知學知識可知， 晷影長度晷影長度 l 等于表高等于表高 h 與太陽天頂距與太陽天頂距正切值的乘積正切值的乘積， 即即 lhtan .已知天頂距已知天頂距1時，晷影長時，晷影長 l0.14.現測得午中晷影長度現測得午中晷影長度 l0.42，則天頂距，則天頂距為為()(參考數據：參考數據：tan 10.017 5，tan 20.034 9，tan 30.052 4，tan 22.80.420 4)a2b3c11d22.8解析解析(1)因為函數因為函數 yloga(x3)2 的圖象過定點的圖象過定點 p(4,2)，且角且角的終邊過點的終邊過點 p，所以所以 x4，y2，

13、r2 5，所以，所以 sin 55，cos 2 55，所以，所以 sin cos 552 553 55.(2)由題意，可得晷影長由題意，可得晷影長 lhtan ，且頂距，且頂距1時，晷影長時，晷影長 l0.14.7所以所以 h1tan 0.140.01758，當晷影長度當晷影長度 l0.42，則，則 tan lh0.42g0.0524，所以所以3.答案答案(1)d(2)b方法技巧方法技巧三角函數定義應用策略三角函數定義應用策略(1)已知角已知角終邊上一點終邊上一點 p 的坐標的坐標，則可先求出點則可先求出點 p 到原點的距離到原點的距離 r，然后用三角函數的定義然后用三角函數的定義求解求解(2

14、)已知角已知角的終邊所在的直線方程的終邊所在的直線方程， 則可先設出終邊上一點的坐標則可先設出終邊上一點的坐標， 求出此點到原點的距離求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義求解然后用三角函數的定義求解(3)已知角已知角的某三角函數值，可求角的某三角函數值，可求角終邊上一點終邊上一點 p 的坐標中的參數值，可根據定義中的兩的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值個量列方程求參數值(4)已知角已知角的終邊所在的直線方程或角的終邊所在的直線方程或角的大小的大小， 根據三角函數的定義可求角根據三角函數的定義可求角終邊上某特定終邊上某特定點的坐標點的坐標考法考法(二二)三角函數值符號的判

15、斷三角函數值符號的判斷例例 2(1)若若 sin tan 0，且，且cos tan 0，則角，則角是是()a第一象限角第一象限角b第二象限角第二象限角c第三象限角第三象限角d第四象限角第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4 的值的值()a小于小于 0b大于大于 0c等于等于 0d不存在不存在解析解析(1)由由 sin tan 0 可可知知 sin ， tan 異號異號， 則則為第二象限角或第三象限角為第二象限角或第三象限角 由由cos tan 0可知可知 cos ，tan 異號，則異號，則為第三象限角或第四象限角綜上可知，為第三象限角或第四象限角綜上可知，為第三象限角為第三象限角(2)

16、1 弧度約等于弧度約等于 57，220，3 弧度大于弧度大于2，小于，小于在第二象限，在第二象限，cos 30，sin 2cos 3tan 40.8答案答案(1)c(2)a方法技巧方法技巧1三角函數值符號及角的位置判斷三角函數值符號及角的位置判斷已知一角的三角函數值已知一角的三角函數值(sin ，cos ，tan )中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標軸上的特殊情況的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標軸上的特殊情況2三角函數值的符號規(guī)律三角函數值的符號規(guī)律三角函數值在各象限的

17、符號規(guī)律概括為：一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正，二正弦，三正切，四余弦針對訓練針對訓練1已知點已知點 p(tan ，cos )在第三象限，則角在第三象限，則角的終邊在的終邊在()a第一象限第一象限b第二象限第二象限c第三象限第三象限d第四象限第四象限解析：解析：選選 b由題意知由題意知 tan 0，cos 0，所以，所以 x45，p45，35 .由三角函數的定義可得：由三角函數的定義可得：sin 35.(2)由由 sin 35，是銳角，可得是銳角，可得 cos 45，因為銳角因為銳角的終邊與單位圓相交于的終邊與單位圓相交于 q 點，且縱坐標為點，且縱坐

18、標為45，將，將 y45代入代入 x2y21，因為因為是銳角，是銳角，x0，可得，可得 x35，q35，45 ，所以所以 sin 45，cos 35，所以所以 cos()cos cos sin sin 453535450.因為因為 02，02，所以，所以 0，所以所以2.創(chuàng)新考查方式創(chuàng)新考查方式領悟高考新動向領悟高考新動向1 九章算術九章算術是我國古代數學成就的杰出代表作是我國古代數學成就的杰出代表作，其中其中方田方田章給出章給出計算弧田面積所用的經驗公式為計算弧田面積所用的經驗公式為： 弧田面積弧田面積12(弦弦矢矢矢矢2)， 弧田弧田(如圖如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中由圓弧和其所對

19、弦所圍成，公式中“弦弦”指圓弧所對弦長，指圓弧所對弦長，“矢矢”等于半徑長與圓心到弦等于半徑長與圓心到弦的距離之差現有圓心角為的距離之差現有圓心角為23，半徑等于半徑等于 4 m 的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是積約是()a6 m2b9 m2c12 m2d15 m2解析解析： 選選 b如圖如圖， 由題意可得由題意可得aob23， |oa|4， 在在 rtaod 中中，可得可得aod3，dao6，|od|12|ao|1242，于是矢，于是矢422.由由|ad|ao|sin34322 3，可得弦長可得弦長|ab|2|ad|22 34 3.10所以弧

20、田面積所以弧田面積12(弦弦矢矢矢矢2)12(4 3222)4 329(m2)故選故選 b.2中國折疊扇有著深厚的文化底蘊如圖，在半圓中國折疊扇有著深厚的文化底蘊如圖，在半圓 o 中作出兩個扇中作出兩個扇形形oab 和和 ocd，用扇環(huán)形，用扇環(huán)形 abdc(圖中陰影部分圖中陰影部分)制作折疊扇的扇面記扇制作折疊扇的扇面記扇環(huán)環(huán)形形abdc的面積的面積為為s1， 扇扇形形oab的面積的面積為為s2， 當當s1與與s2的比值為的比值為512時，扇面的形狀較為美觀，則此時扇形時，扇面的形狀較為美觀，則此時扇形 ocd 的半徑與半圓的半徑與半圓 o 的半徑之比為的半徑之比為()a.514b.512c

21、3 5d. 52解析解析：選選 b設設aob，半圓的半徑為半圓的半徑為 r，扇形扇形 ocd 的半徑為的半徑為 r1，依題意依題意，有有12r212r2112r2512，即，即r2r21r2512，所以，所以r21r23 5262 545122，從而得，從而得r1r512.3.如圖如圖，在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xoy 中中，一單位圓的圓心的初始位置在一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點此時圓上一點 p 的位置在的位置在(0,0)，圓在圓在 x 軸上沿正向滾動軸上沿正向滾動當圓滾動到圓當圓滾動到圓心位于心位于(2,1)時，時， op的坐標為的坐標為_解析解析：如圖所示如圖

22、所示，設滾動后的圓的圓心為設滾動后的圓的圓心為 c，過點過點 c 作作 x 軸的垂線軸的垂線，垂垂足為足為 a，過點，過點 p 作作 x 軸的垂線與過點軸的垂線與過點 c 所作所作 y 軸的垂線交于點軸的垂線交于點 b.因為圓心移動的距離為因為圓心移動的距離為 2，所以劣弧所以劣弧pa2，即圓心角即圓心角pca2，則則pcb22，所以所以|pb|sin22 cos 2，|cb|cos22 sin 2，所以所以 xp2|cb|2sin 2，yp1|pb|1cos 2，所以所以 op(2sin 2,1cos 2)答案：答案：(2sin 2,1cos 2)4.如圖所示，在平面直角坐標系如圖所示，在平

23、面直角坐標系 xoy 中，動點中，動點 p，q 從點從點 a(1,0)出發(fā)在出發(fā)在單位圓上運動單位圓上運動，點點 p 按逆時針方向每秒鐘轉按逆時針方向每秒鐘轉6弧度弧度，點點 q 按順時針方向按順時針方向每秒鐘轉每秒鐘轉116弧度，則弧度，則 p，q 兩點在第兩點在第 2 019 次相遇時，點次相遇時，點 p 的坐標為的坐標為11_解析：解析：因為點因為點 p 按逆時針方向每秒鐘轉按逆時針方向每秒鐘轉6弧度，點弧度，點 q 按順時針方向每秒鐘轉按順時針方向每秒鐘轉116弧度，所以弧度，所以兩點相遇兩點相遇 1 次的路程是單位圓的周長，即次的路程是單位圓的周長，即 2，所以兩點相遇一次用了，所以

24、兩點相遇一次用了 1 秒，因此當兩點相秒，因此當兩點相遇遇 2 019 次時，共用了次時，共用了 2 019 秒，所以此時點秒，所以此時點 p 所轉過的弧度為所轉過的弧度為2 019667322336.由由終邊相同的角的概念可知，終邊相同的角的概念可知，2 0196與與2的終邊相同，所以此時點的終邊相同，所以此時點 p 位于位于 y 軸正半軸上，故軸正半軸上，故點點p 的坐標為的坐標為(0,1)答案：答案：(0,1)課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測1將表的分針撥快將表的分針撥快 10 分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是()a.3b.6c3d6解析解析：選選

25、 c將表的分針撥快應按順時針方向旋轉將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角為負角故故 a、b 不正確不正確，又因為撥又因為撥快快10 分鐘，故應轉過的角為圓周的分鐘，故應轉過的角為圓周的16，即為，即為1623.2已知點已知點 p(sin(30)，cos(30)在角在角的終邊上的終邊上，且且2，0)，則角則角的大小為的大小為()a3b.23c23d43解析解析：選選 d因為因為 p(sin(30)，cos(30)，所以所以 p12，32 ，所以所以是第二象限角是第二象限角，又又2，0)，所以，所以43.3已知角已知角的終邊經過點的終邊經過點(3，4)，則，則 sin 1cos ()a15b.

26、3715c.3720d.1315解析解析：選選 d角角的終邊經過點的終邊經過點(3，4)，sin 45，cos 35，sin 1cos 45531315.故選故選 d.4已知角已知角的始邊與的始邊與 x 軸的正半軸重合軸的正半軸重合，頂點在坐標原點頂點在坐標原點，角角終邊上的一點終邊上的一點 p 到原點的距到原點的距12離為離為 2，若，若4，則點，則點 p 的坐標為的坐標為()a(1， 2)b( 2，1)c( 2， 2)d(1,1)解析：解析：選選 d設設 p(x，y)，則，則 sin y2sin4，y1.又又 cos x2cos4，x1，p(1,1)5已知角已知角2k5(kz z)，若角，

27、若角與角與角的終邊相同，則的終邊相同，則 ysin |sin |cos |cos |tan |tan |的值為的值為()a1b1c3d3解析：解析：選選 b由由2k5(kz z)及終邊相同的角的概念知，角及終邊相同的角的概念知，角的終邊在第四象限，又角的終邊在第四象限，又角與角與角的終邊相同的終邊相同，所以角所以角是第四象限角是第四象限角，所以所以 sin 0，cos 0，tan 0.所以所以 y1111.6(多選多選)下列結論中正確的是下列結論中正確的是()a若角若角的終邊過點的終邊過點 p(3k,4k)(k0)，則，則 sin 45b若若是第一象限角，則是第一象限角，則2為第一或第三象限角

28、為第一或第三象限角c若扇形的周長為若扇形的周長為 6，半徑為，半徑為 2，則其中心角的大小為，則其中心角的大小為 1 弧度弧度d若若 02，則，則 sin tan 解析解析：選選 bcd當當 k1 時時，p(3，4)，則則 sin 45，故故 a 錯誤錯誤；2k2k2，kz z，k2k4，kz z，2為第一或第三象限角，故為第一或第三象限角，故 b 正確；正確；|lr6421，故故c 正確；正確；02，sin tan sin sin cos cos sin ，則，則()13abcos dtan tan 解析解析： 選選d因為因為， 是第一象限角是第一象限角， 所所以以sin 0， sin 0，

29、 又又sin sin ， 所所以以sin2sin20，所以所以 1cos21cos2， 所以所以 cos21cos20， 所以所以 tan2tan2，因為因為 tan0，tan 0，所以，所以 tan tan .故選故選 d.9若若1 560，角，角與與終邊相同，且終邊相同，且360360，則，則_.解析：解析：因為因為1 5604360120，所以與所以與終邊相同的角為終邊相同的角為 360k120，kz z，令令 k1 或或 k0 可得可得240或或120.答案：答案：120或或24010 若角若角的終邊與直線的終邊與直線 y3x 重合重合， 且且 sin 0， 又又 p(m， n)是角是

30、角終邊上一點終邊上一點， 且且|op| 10，則則 mn_.解析：解析：由已知由已知 tan 3，n3m，又，又 m2n210，m21，又，又 sin 0，m1，n3.mn2.答案：答案：211 已知扇形的周長為已知扇形的周長為 4， 當它的半徑為當它的半徑為_和圓心角為和圓心角為_弧度時弧度時， 扇形面積最大扇形面積最大，這個最大面積是這個最大面積是_解析：解析：設扇形圓心角為設扇形圓心角為，半徑為，半徑為 r，則，則2r|r4，|4r2.s扇形扇形12|r22rr2(r1)21，當當 r1 時，時，(s扇形扇形)max1，此時，此時|2.答案：答案：12112.已知圓已知圓 o 與直線與直

31、線 l 相切于點相切于點 a，點點 p，q 同時從同時從 a 點出發(fā)點出發(fā)，p 沿著直線沿著直線 l向右，向右，q 沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當 q 運動到點運動到點 a 時，點時，點 p也停止運動，連接也停止運動，連接 oq，op(如圖如圖)，則陰影部分面積，則陰影部分面積 s1，s2的大小關系是的大小關系是_解析：解析：設運動速度為設運動速度為 m，運動時間為，運動時間為 t，圓，圓 o 的半徑為的半徑為 r，則則aqaptm，根據切線的性質知，根據切線的性質知 oaap，s1s扇形扇形aoqs扇形扇形aob12tmrs扇形扇形aob，14s2s

32、aops扇形扇形aob12tmrs扇形扇形aob，s1s2恒成立恒成立答案：答案：s1s213已知角已知角的終邊過點的終邊過點 p(4a,3a)(a0)(1)求求 sin cos 的值；的值；(2)試判斷試判斷 cos(sin )sin(cos )的符號的符號解：解：(1)因為角因為角的終邊過點的終邊過點 p(4a,3a)(a0)，所以所以 x4a，y3a，r5|a|，當當 a0 時，時，r5a，sin cos 354515.當當 a0 時，時，r5a，sin cos 354515.(2)當當 a0 時，時，sin 350，2 ，cos 452，0，則則 cos(sin )sin(cos )cos35sin45 0；當當 a0 時，時，sin 3