1、課時跟蹤檢測(四十九) 拋物線 一抓基礎，多練小題做到眼疾手快 1 在平面直角坐標系 xOy 中，若拋物線 y2= 2px(p 0)上橫坐標為 2 的點到焦點的距離 為 4,則該拋物線的準線方程為 _ . 解析：拋物線 y2= 2px(p0)的焦點坐標為P, 0 ,準線方程 x=-弓，由拋物線的定義 可知，2+ p= 4p= 4,.拋物線的準線方程為 x=- 2. 答案：x=- 2 2. _ (2018 揚州期末) )若拋物線 y2= 2px(p0)的焦點也是雙曲線 x2 y2= 8 的一個焦點， 貝 y p= _ . 解析：拋物線 y2= 2px 的焦點為 p, 0 ,雙曲線 x2 y2=

2、8 的右焦點為( (4,0),故 4, 即 p= 8. 答案：8 3. _ 已知 P 為拋物線 y2= 8x 上動點，定點 A(3,1), F 為該拋物線的焦點，貝V PF + PA的 最小值為 _ . 解析：易知點 A 在拋物線內部，拋物線的準線方程為 x= 2,過點 P 作準線的垂線， 垂足為 M，貝U PF + PA= PM + PA,當 A, P, M 三點共線時取得最小值，所以 PF + PA= 3 (2) = 5. 答案：5 4. (2018 前黃中學檢測) )已知拋物線 y2= 2px(p0)的準線經過點( (1,1)，則該拋物線焦 點坐標為 _ . 解析：由于拋物線 y2= 2

3、px(p0)的準線方程為 x = p,由題意得一 卜一 1, p= 2, 所以焦點坐標為(1, 0). 答案：( (1, 0) 5. 已知點P 在拋物線 y2= 4x 上，且點 P 到 y 軸的距離與其到焦點的距離之比為 *,則 點 P 到 x 軸的距離為 _ . 解析：設點 P 的坐標為( (Xp, yp),拋物線 y2= 4x 的準線方程為 x= 1，根據拋物線的 定義，點P到焦點的距離等于點 P到準線的距離，故 xP 1 解得 xP= 1，所以 yP = XP ( 1 ) 2 4,所以 |yp|= 2. 答案：2 6. (2019 連云港模擬) )設拋物線 y2= 2x 的焦點為 F，過

4、點 M(,3, 0)的直線與拋物線相 交于 A, B 兩點，與拋物線的準線相交于 C, BF = 2,則SBCF SA ACF 解析：拋物線方程為 y2= 2x,.焦點 F 的坐標為 2, o ,準線方 程為 x=- 1. 如圖，設 A(Xi,浙)，B(X2, y2) ),過 A, B 分別向拋物線的準線作垂 線，垂足分別為 E, N, 貝V BF = BN = x2+ 1= 2 ,. x2= 3, 2 2 2 2 把 X2= 2 代入拋物線 y= 2x，得 y2= 3, 直線 AB 過點 M(, 0)與 B?,-Q 則直線 AB 的方程為，3x + 3 3 y 3= 0，與拋物線方程聯立，解

5、得 召=2, 1 5 AE = 2 + 2= 5. 在 AEC 中，BN / AE, BC AC = 1 BC h BN 2 4 SA BCF 2 4 一 AE_ 5 一 5 SA ACF_ 1 5. 2 2AC h 答案： 4 5 保咼考，全練題型做到咼考達標 1. (2019 宿遷一模) )拋物線 x2= 4y 的焦點坐標為 解析： 拋物線 x2= 4y 的焦點在 y 軸上，開口向上，且 2p= 4, 號=1. 拋物線 x2= 4y 的焦點坐標為( (0,1). 答案：( (0,1) 2. 過拋物線 x2= 12y 的焦點 F 作直線垂直于 y 軸，交拋物線于 A, B 兩點，O 為拋 物

6、線的頂點，則 OAB 的面積是 _ . 解由題意 F (0, 3),將 y= 3 代入拋物線方程得 x= , 1 所以 AB = 12,所以 SAOAB = jx 12 X 3= 18. 答案：18 3. 已知過拋物線 y2= 2px(p 0)的焦點 F 且傾斜角為 60的直線 l 與拋物線在第一、四: V 象限分別交于 A, B 兩點，則 BF = _ . 解析：設 A(X1, y1), B(X2, y2), 由題意知 AB 所在的直線方程為 y= 3 x P , 答案：3 4. (2019 南通調研) )已知 F 是拋物線 C: y2= 12x 的焦點，M 是 C 上一點，FM 的延長 線

7、交 y 軸于點 N，若 M 是 FN 的中點，貝 U FN 的長度為 _. 3 解析：/ F(3,0),.由題意可得 M 的橫坐標為 2 3 9 FM =-+ 3= , FN = 2FM = 9. 2 2 答案：9 5已知拋物線 y2= 2x 的弦 AB 的中點的橫坐標為 2，則AB的最大值為 _ AB= 4 ,3,正三角形 OAB 的面積為 4 , 3X 6= 12 .3. o = 224 + X 寶3 - 2 X P6? 3- P 一 6 解析：設 A(xi, yi), B(x2, y2) ), AF + BF = xi + X2 + 1= 4,由圖可知 線AB 過焦點 F 時，AB 取得

8、最大值 則 xi + X2 = 3，由拋物線的定義可知， AF + BF AB, ABW 4,當且僅當直 4. 答案：4 6. 個頂點在原點，另外兩點在拋物線 解析：如圖，根據拋物線的對稱性得/ 直線 OA 的方程 ypx, 代入 y2= 2x，得 x2 6x= 0, 解得 x = 0 或 x= 6. 即得 A 的坐標為(6,2 3). y2= 2x 上的正三角形的面積為 _ AOx = 30 答案：12 3 7. (2018 無錫調研) )過點 P( 2,0)的直線與拋物線 C: y2= 4x 相交于 A, B 兩點，且 PA 1 =QAB，則點 A 到拋物線 C 的焦點的距離為 _ . 解

9、析：設 A(Xi, yi), B(X2, y2) ),分別過點 A, B 作直線 x=- 2 的垂線，垂足分別為 D , 3( (xi + 2 尸 x2+ 2, 又 y 3yi = y2, |y2 線 C 的焦點的距離為 1 + 2= 5. 3 3 答案:5 8. _ 拋物線 y2= 2px(p 0)的焦點為 F ,0 為坐標原點，M 為拋物線上一點， 且 MF = 4OF , MFO 的面積為 4 寸 3,則拋物線的方程為 . 解析：設 M(x, y),因為 OF = p, MF = 40F，所以 MF = 2p,由拋物線定義知 x + p = 2p,所以 x= Qp,所以 y= 3p.又厶

10、 MFO 的面積為 4 巧， 所以” 3p= 4 玄解得 p = 4(p=- 4 舍去) )所以拋物線的方程為 y2= 8x. 答案：y2= 8x 9. 已知拋物線 y2 = 2x 的焦點為 F，點 P 是拋物線上的動點，點 A(3,2)，求 PA+ PF 的 最小值，并求取最小值時點 P 的坐標. 解：將 x= 3 代入拋物線方程 y2= 2x,得 y= . 6. 因為,62，所以 A 在拋物線內部. 設拋物線上的點 P 到準線 I: x =-Q 的距離為 d, 由定義知 PA+ PF = PA+ d. 當 PA 丄 I 時，PA+ d 最小，最小值為 7,即 PA+ PF 的最小值為 7,

11、此時 P 點縱坐標為 2, 代入/= 2x，得 x= 2，所以點 P 的坐標為( (2,2). 10. (2018 揚州中學檢測) )在平面直角坐標系 xOy 中， 直線 I 與拋物線 y2= 4x 相交于 A, B 兩點. (1)如果直線 I 過拋物線的焦點，求 )A -OB的值； 如果6A -OB =- 4，證明直線 I 必過一定點，并求出該定點. 解：( (1)由題意：拋物線焦點為(1,0), 設 I： x = ty+ 1,代入拋物線 y2= 4x, 消去 x，得 y2-4ty-4 = 0, E(圖略) )，因為 PA= QAB,所以 設 A(X1, y1), B(X2, y2),貝y

12、y1 + y2= 4t, y1y2=- 4, 所以OX = X1X2+ y1y2= (W1+ 1)(ty2 +1) + yy 2 2 2 =t yiy2+ t(yi + y2) )+ 1 + yiy2= 4t + 4t + 1 4 = 3. 證明：設 I: x = ty+ b,代入拋物線 y2= 4x，消去 x,得 y2 4ty 4b= 0,設 A(xi, yi), B(x2, y2) ), 貝V yi + y2= 4t, yiy2= 4b, 所以 OA OB = X1X2+ yiy2= (tyi+ b)(ty2 + b) + yiy2 =t2yiy2 + bt(yi + y2) )+ b2

13、+ yiy2= 4bW+ 4b2 + b2 4b= b2 4b. 令 b2 4b= 4,得 b2 4b+ 4 = 0,解得 b= 2. 所以直線 I 過定點( (2,0). 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1. (20i8 連云港二模)從拋物線 x2= 4y 上一點 P 引拋物線準線的垂線，垂足為 M，且 PM = 5，設拋物線的焦點為 F，則 MPF 的面積 S= _ . 解析：設 P(xo, yo),依題意可知拋物線的準線方程為 y= i, yo= 5 i = 4,. |Xo|hj4X 4= 4, i i - MPF 的面積 S= QPM |x0| = 2X 5X 4 = i0. 答案：1

14、0 2. _ 過拋物線 x2= 4y 的焦點 F 作直線 AB, CD與拋物線交于 A, B, C, D 四點，且 AB 丄 CD ,U FX 五 B + -RC FlcT的最大值等于 . 解析：依題意可得，FA FEB = (|FA | |). - B - B 又因為 |FA|= yA + 1, |FB |= yB+ 1, 所以 FA - FB = (yAyB +A+B+ 1). 設直線 AB 的方程為 y= kx+ 1(k豐豐0), 聯立 x2= 4y,可得 x2 4kx 4= 0, 所以 XA+ XB= 4k, XAXB= 4. 所以 yAyB= 1 , yA+ yB= 4k + 2. 所以At B = (4k2 + 4). 同理？ ) =表 + 4 . 當且僅當 k= 1 時等號成立. 答案：16 - B 所以 FA - B - B - B FB + FC -FD = 4k2+ 令 + 8 0). 因為點 P(1,2)在拋物線上， 所以 22= 2px 1, 解得 p= 2. 故所求拋物線的方程是 y2= 4x，準線方程是 x=- 1. (2)設直線 PA 的斜率為 kPA，直線 PB 的斜率為 kpB. y1 2 y2 2 則 kpA