1、    借助直觀經歷過程發展思維    謝東伊摘 要：作為小學數學“綜合與實踐”的內容，如何在課堂教學中做到“綜合運用”與“實踐探究”并重，且能高效地達成兩個方面的教學目標一直都是筆者關注的核心問題。本文基于對探索圖形的教材研讀及后續課堂教學實踐，主要從“借助直觀教具開展活動，使學生經歷整個探究過程，逐步抽象得出規律，最終用于解決問題”等環節進行“反饋式”思考。為實現上述兩個方面目標指向的學生數學活動能力和思維能力的提升與發展提出一定的見解。關鍵詞：直觀；過程；發展思維在整個小學階段的數學中，使用教具、學具帶來的直觀體驗，始終是學生學習“圖形與幾何”知識

2、的最佳手段。即使到了高年級，當空間想象受阻或學習較為抽象的知識時，提供操作材料動手實驗，依然是最為有效的教學策略。毫無疑問，對于探索圖形內容的教學，首先要實現的就是有效的實踐操作，使學生在具體的活動中，動手、動口、動腦，多種感官協調參與，在獨立思考與小組合作中多角度地感悟該教學內容蘊含的數學思想，豐富自己的思維活動經驗。一、借助“真”直觀，真實達成高效在“綜合與實踐”活動的課堂教學中，一直存在著這樣一種現象：因為教具、學具準備的難度較大，使得教學設計的思路受限于課堂實施的可行性。在此種情況下，教師通常會退而求其次，用課件演示的方式加以替代。然而，從學生認知特點來分析，這樣的方式僅僅能夠達成視覺

3、上的直觀，而缺少了其余各方面的體驗。以本課教學為例，圖1是兩種方式下課堂呈現的立方體效果對比圖。用課件的方式似乎更為標準，并可以在演示涂色效果的基礎上，通過顏色的對比、動畫等手段把各種不同涂色情況“直觀”地呈現在屏幕上。相比之下，立方體包裝盒搭建的大立方體并沒有進行涂色的具體操作，但在學生親手搭建的過程中，對于各種涂色小立方體所處位置的理解卻更為直觀和真切。在操作過程的組織上，結合所教班級的實際情況，以四人小組的形式，利用同桌合作拼成棱長為2的立方體，兩個小組合作搭建棱長為3的立方體，利用四個小組的立方體組成棱長為4的立方體，最后全班學生的小立方體拼成棱長為5的立方體。這樣的設計和實施，充分調

4、動了學生參與活動的熱情，并在潛移默化之中感受到合作學習的重要性。借助于真實的直觀，還能極大地提升課堂教學的實效性，這也使得通過本課教學，對學生“綜合運用知識”方面的目標設定有了更高的起點，最終達成“經歷過程”與得出“數學模型”的兩者兼顧。二、經歷“全”過程，水到方能渠成任何數學知識的形成與習得都須符合其特有的客觀規律。就“探索圖形”內容本身來說，是發展學生推理能力、空間觀念、幾何直觀非常好的教學載體。那么，如何在一堂課的教學中盡可能多地去豐富學生開展多方面思維活動的經驗呢？結合教學實際，筆者認為：給全體學生創設并提供足夠的活動空間與時間，使他們積極主動地參與實踐操作的整個過程，無疑是實現上述目

5、標的最佳策略。因此，在課始搭建研究了棱長為2的立方體涂色情況之后，展開以下探索：【片段一】分類計數師：現在要搭建棱長為3的立方體，只用你桌子上的夠不夠？（不夠）怎么辦？（用兩個小組的立方體拼起來）請大家試一試。（學生操作）師：現在給這個立方體表面涂上顏色，會有幾種情況？生：3種。8個頂點上的是三面涂色，中間的是一面涂色，還有兩面涂色。師：中間的一面涂色是指在立方體的哪里？（面上）兩面涂色的呢？（棱上）涂色的會產生三種情況，不涂色的呢？有沒有？（有）在立方體上找一找。師：這樣，我們把涂色情況分成了幾類？（四類）你能分別找出個數嗎？填在學習單上。根據回答板書。小結：這種方法就叫作分類計數（板書），

6、想一想，這樣分類的依據是什么？（三面涂色的在頂點上，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在內部）也就是依據了？（正方體的特征）板書：依據特征。【片段二】探索發現師：現在把兩張桌子上的小立方體集中在一起，試試看能搭成更大的立方體嗎？（學生操作搭成兩個棱長為4的立方體）完成學習單，在填的過程中如果有疑惑，可以隨時對立方體進行觀察和操作。指名回答：三面涂色的有8個，兩面涂色的有24個。（追問：說說你是怎么數的？）一條棱上有2個，有12條棱，一共有24個。一面涂色的有24個（你又是怎么數的呢？）在一個面上一面涂色的有4個，4乘以6個面就是24個。師：最后這個有點難，沒有涂色的有幾個？（4個，

7、8個）我們可以用總數減去這三類，結果是8，也可以在立方體上找一找，操作演示：把涂色的都移開，取出不涂色的部分，有幾個？（8個）你能在這些教具中找一找嗎？也就是誰？（棱長為2的立方體）請這個小組把桌上的立方體拼到這張桌子上，形成棱長為5的立方體。（學生操作）其他同學可以思考棱長為5的立方體不同情況的個數。如果你在填的時候有問題，可以上來對這個立方體進行觀察操作。總數會是幾個？（125個）三面涂色的？（8個）為什么還是8個？（立方體始終是8個頂點）兩面涂色呢？生：36個，因為每條棱上有3個，乘以12就是36個。（一面？）有54個，因為大立方體一個面上可以找到9個，乘以6就是54個。（請你上來找一找

8、）學生數1，2，3，8，9。（還有別的方法嗎？）3乘以3。（為什么？）這里一面涂色的剛好形成了一個邊長為3的正方形。（你太棒了，掌聲！）師：沒有涂色的有幾個？（27個）能在臺上找到嗎？（棱長為3的立方體）“經歷過程”比“得出結果”更重要，這在課題“探索圖形”中已經做出了明確的課堂定位。以上環節實施中，利用學具逐步搭建棱長為3、4、5的立方體的過程，同時也是引導學生自主探索、發現規律的過程。從知識特征分析，三面涂色、兩面涂色、一面涂色，再到沒有涂色，各種立方體的數量規律呈現出較為明顯的“梯次難度”，這種現象與整個“空間與圖形”知識的編排形成對應。正是豐富了學生親歷過程的“源頭之水”，才能真正開拓

9、他們頭腦中的“思維之渠”。endprint【片段三】得出規律生：老師，我已經知道了沒有涂色的公式，是（n-2）3。（追問：你的想法？）當棱長為n時，沒有涂色的個數正好是棱長為（n-2）的立方體總個數。師：你真棒，已經預先知道了下面要講的知識。我們一起來研究當棱長為n時的情況，先在學習單上獨立完成，再進行小組的討論交流。指名回答：當棱長為n的時候，總個數是n3，三面涂色是8個，兩面涂色（n-2）×12。（說說你的想法？）因為在一條棱上是（n-2）個，再乘以12。師：這里為什么要減去2？（根據學生回答直觀演示）減去的2是處于頂點位置的兩個立方體。生：一面涂色的是（n-2）2×6

10、。（又是怎么得出來的呢？）一面涂色的個數正好是邊長為（n-2）的正方形。沒有涂色的為什么是（n-2）3呢？學生回答后，利用教具直觀演示（如圖2）。利用這些規律，請你先想象一下，等棱長是6或者9的時候，各種小立方體的位置和個數是多少？（展開想象）你能把它們分別計算出來嗎？板書：解決問題（學生練習，分析過程略）在這里，首先引用數學課程標準（2011年版）解讀在“空間觀念”一節中的闡述：“空間想象力主要體現在對諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內化水平上，體現在對簡單形體空間位置的想象和變換上，以及對抽象的數學式子（算式或代數式等）給予具體幾何意義的想

11、象解釋或表象能力上。”如何將直觀的經歷內化為學生個體的理解，并能對最終得出的規律進行解釋，可以看作是對以上作為本課教學難點的環節進行設計和實施時的“核心問題”。具體表現在本次課堂實踐中，當有學生自己提出“老師，我已經知道了沒有涂色的公式，是（n-2）3”并能有合理的解釋時，已然使筆者意識到源于直觀和親身經歷的探索過程使得部分學生自主完成了對知識的初步內化。因而在這里，筆者把教學設計中對棱長為6的立方體各種涂色情況進行推算的環節進行了后置處理，順勢引出將規律抽象成數學模型的教學。對于如何引導學生從已有的初始經驗向更高更深的層次“歸流”與“掘進”，在實際教學中，筆者采用了“直觀+抽象”的表現手法。

12、筆者借助顏色對比鮮明的小棒教具，使學生感受從一維到二維再到三維的空間轉換，在不斷加深對數學模型理解程度的同時，使學生頭腦中的空間想象和思維能力也得到了相應的發展。三、拓展“新”方法，鞏固再謀發展在完成上述內容的教學后，教材中呈現了另一組由小立方體按規律拼出的幾何體，旨在引導學生將解決問題的經驗和策略遷移應用到新的問題中。然而，在實際教學中，學生很容易受到由“分類計數”這種方法造成的思維定式的影響。針對這一現象，筆者在鞏固已學知識的基礎上，對拓展環節進行了不同的處理。【片段四】課堂小結師：（結合板書）我們來回顧一下整個過程（如圖3）。你覺得哪一個環節最重要？（指名回答）老師相信每一個回答背后都有

13、自己的理由，但是，你們感受到了嗎？這五個環節中每個環節都非常重要，環環相扣形成了一個整體。就像這節課上用全班同學的小立方體搭成了棱長為5的大立方體，若缺少了其中一個，還能夠搭成嗎？【片段五】拓展延伸想不想試試難一點的？出示四層的實物教具（如圖4）。現在涂色的情況會有幾類？生：五面涂色、四面涂色、三面涂色，還有兩面涂色、一面涂色、沒有涂色。師：要分幾類？（6類）太復雜了吧？注意對這個圖形的要求是計算涂色的總面積，也就是這個幾何體的？（表面積）我們可以考慮簡單一點的，出示二層、三層的實物教具。數一數，二層的一共有幾個面涂色？（5+5+5+3=18個）你還有別的數法嗎？生：還可以3乘以6。（說說你的想法）因為一個方向看過去有3個面涂色，總共要從6個方向去看，即上下、前后、左右。師：同學們聽懂了嗎？這個幾何體有幾個面？（6個）也就是說我們仍然依據了？（正方體的特征）那么三層的呢？（6×6=36）四層？（10×6=60）這里的層數和涂色總面積有什么關系呢？當層數為的時候，涂色部分的總面積會是多少？這個問題就留到下課的時候同學們自己去思考解決。課堂小結中，重點突出對探索學習整個過程的回顧，也可以看作是引導學生歸納數學活動的經驗。在最后的拓展環節，首先出示四層的幾何體實物教具，營