1、第 7 章 能量泛函的轉換形式及其應用§ 7.1 總位能泛函轉換形式及其應用由§ 5.1 節中的（ 5-16）式，定義了總位能泛函，即P A(ij ) Fi ui dVTi ui dS（ 5-16）VS該泛函為單變量變分原理，其自變量要求滿足位移應變關系及位移邊界條件，即ij1 (ui , ju j ,i ) ，在 V 內2uiui 0 ，在 S 上所以，這種變分原理是有條件的，并可以進一步證明總位能原理是極小值原理，解的收斂性得到保證。 這種原理是目前廣為流行的絕大部分有限元素模型的基礎，比較理想的情形是 “保續元”的建立，而放松某些邊界協調條件則構成了有限元素法中的“非

2、保續元”。【例 7-1】 彎曲梁的總位能泛函及其變換。圖 7-1 所示的一維梁，承受橫向分布載荷p(x) ，簡支端（ x L ）作用一集中力矩 M ，梁的另一端為固持。顯然，其邊界條件為x0： w(0)w (0) 0xL ： w(L)0及M(L) M（ 7-1）總位能泛函根據定義可寫為pU V（ 7-2）其中圖 7-1一維彎曲梁U1L2 dx （應變能）（ 7-3）EJ (w )20VLM w ( L) （外力位能）（ 7-4）pwdx0上面各式中， w 表示撓度，它是坐標x 的函數，而 w 與 w 分別代表 dw 及 d2 w。dx dx 2現在對總位能取一階變分，UVLLMw (L) pE

3、Jw w dxpwdx（ 7-5）00當彎曲剛度 EJ 沿長度不變時，可將它放在積分號之前，再利用Green 公式，可得LEJw w 0LEJw w 0LLEJw w dxEJw(4 ) wdx（ 7-6）00將（ 7-6）式代入（ 7-5）式中，利用條件（7-1）式，整理后可得 pL EJw(4 )pwdx EJw x LM w（ 7-7）0現令（ 7-7）式的 p0 ，利用變分法中的預備定理，可得到-100-EJw (4)p0（ 7-8）EJw x LM0（ 7-9）（ 7-8）式即為平衡方程，與材料力學所導出的公式完全一致， （ 7-9）式為力的邊界條件，即相當于（ 7-1）式中的最后一

4、個公式。以上的分析再次驗證了總位能泛函的駐值條件是等價于平衡方程的。應當指出，方程（7-8）對自變量即撓度w 要求它具有四階可微，而泛函（7-2）中最高可微階次為兩次。顯然，定義泛函p 的自變量的因次可能滿足不了平衡方程（7-8）的要求，從這一點來說，直接利用泛函（7-2）來導出的離散型式有限元素法模型，對自變量階次的要求可能要低得多，這對選擇自變量的函數形式帶來方便。在連續體力學中所求尋的解一般都具有高階可微性，且滿足微分方程及所有的邊界條件。有限元素法情形卻不一樣，它的解是用有限個自由度來表示的，且是分片光滑函數，這些函數的可微性一般均低于微分方程式中導數的最高階數。【例 7-2】 圖 7

5、-2為一維梁元素，節點位移分別為w1 , 1, w2 , 2，下標 1 代表節點 1 的，下標 2 代表節點2 的，節點位移列陣為 w11w22 T（ 7-10）因為節點位移有四個，我們以3 次多項式表達撓度 w ，即w a1a2 x a3 x2a4 x 3（ 7-11）或w x（ 7-12）式中： x1x x2x3 ，圖 7-2一維梁元素 a1a2a3a4 T顯然，（ 7-11）式的階次并不滿足平衡方程式（7-8）。利用節點位移（7-10）式，可得 c（ 7-13）則（ 7-12）式化為w x cN（ 7-14）式（ 7-14）中的矩陣 N 為位移插值函數，其物理涵意在一般有限元書中均有說明

6、。下面由式（ 7-14）式導出幾何矩陣 B ，梁的彎曲應變為2 wz B（ 7-15）z（ 7-15）式中的 B 陣為x22 B2 N（ 7-16）x將（ 7-14）式中的 N 代入（ 7-16 ）式，可求出幾何矩陣B 為 BL 62( 2x1)2 ( 3x2)62( 2x 1)2 ( 3x 1)LLL LLLLL最后，利用（5-16）式求出梁的總位能泛函為 T N T p dx T F e （ 7-17）p1 TLBT D Bdx L200式中 DEJ 為梁的抗彎模量，Jz2 dydz 為梁橫截面關于y 軸的慣性矩。A-101-由泛函p 的駐值條件，即 p 0，可得 eK （ 7-18） F

7、式中eLT p dx Fe（ 7-19） F N 0為梁元素的等效節點力。利用能量法求近似解的方法較多，其中Rayleigh-Ritz法是一種有效而應用得比較多的一種方法。其主要是選用一系列滿足位移邊界條件的函數wi(i 1,2,) 來離散實際位移，如nwai wi（ 7-20）i1ai 為待定參數。將上式代入總位能泛函中，得到以ai為獨立變量的泛函如pp (a1， a2， ， an )利用泛函駐值條件，np ai p0（ 7-21）i 1ai得到一組代數方程式，p0(i1,2, n)（ 7-22）ai譬如對于圖 7-1 所示的一端固持一端簡支的梁，（ 7-1）式表示其邊界條件。現取w1x2

8、(x L), w2 x 3 ( x L)（ 7-23）顯然，（ 7-23）式是滿足位移邊界條件的兩個連續函數。梁的可能撓度w 可取為w a1 x 2 ( x L) a2 x 2 (x L)（ 7-24）這類函數的形式甚多，這里不在列舉。【例 7-3】 薄板的總位能泛函及其變換形式。總位能泛函在薄板中也得到廣泛應用。 下面我們討論略去橫向剪切效應的 Kirchhoff 板的總位能泛函的形成過程。圖 7-3 為板邊界的正向邊界力的規定， V z , M n , M ns 表示給定的邊界力， p 為分布法向載荷。其應變能為圖 7-3彎曲板正向邊界力U1( M xk xM y k y M xy kxy

9、 ) dxdy（ 7-25）2A-102-式中， kx 、 k y 、 kxy 為板的曲率，2 wk xx2k y2 w（ 7-26）y 2kxy2 wxy2 wM x10x 2M yD102 w（ 7-27）y 2M xy00(1) 222wxyEt 37-26）式和（ 7-27）式代入（ 7-25）式中，式中 D2)，是材料的泊松系數。將（12(1可求得UD(2 w2 w22(1)2 w 2 w2 w2 dxdy2Ax2y2 )x2y2()（ 7-28）x y給定邊界上的外力是由以下幾部分組成：表面法向載荷p 、法向給定邊界力矩M n 及等效給定剪力 VzM ns 組成，于是外力位能V 等

10、于sVpwdxdyw(V zM ns（ 7-29）C1 M n) dsAns式中 C1 表示力的給定邊界，而用C 2 表示位移給定邊界。總位能泛函為D(2 w2 w22(1)2 w 2 w2 w2 dxdyp22 )22()2Axyxyx ypwdxdyMw(VzM ns（ 7-30）nns)w dxdyAC1（ 7-30）式給出的薄板總位能泛函的一般形式。對于具體薄板（給定位移邊界及力邊界條件等各種情形），上式應作相應調整。譬如對如圖7-4所示的四邊簡支矩形板，承受橫向分布載荷p ，泛函（ 7-30）式只保留前兩項積分，即D(2 w2 w22 w 2 w2 w)2 dxdypwdxdyp22

11、 )2(1 )22(2Axyxyx yA（ 7-31）如果利用Rayleigh-Ritz 法求解，可取三角函數來求撓度w ，如下面的形式-103-w（ 7-32）Amn sin m x sin n ym 1 n 1ab圖 7-4四邊簡支矩形板對（ 7-32）式求導，并利用三角函數積分正交性，再代入（7-31）式后，可得422U ab DAmn2mn8m 1 n 1a2b2ab4Amnmn， (m, n為奇數 )2Vpwdydxab m 1 n 1（ 7-33）000， (m, n為偶數 )最后，利用總位能的駐值條件p0（ 7-34）Amn得到一組代數方程，從而求出系數Amn ，并得到撓度值w

12、。總位能原理泛函為位移協調元素模型的建立做出了貢獻，其實質是由變分泛函直接形成離散的有限元素模型，而不是通過變分運算得到微分方程。元素剛度矩陣的形成過程在有限元專著中均可查到，這里只簡單的回顧一下。【例 7-4】 圖 7-5 所示的矩形彎曲薄板。節點位移為 e T（ 7-35）1234其中 wxiyi T(i 1,2,3,4)， w、xi、yi分別表示節點撓度、轉角等。通過iii雙線性插值函數，完成位移的離散，如w N e（ 7-36）式中N N1N x1N y1N 2N x 2N y2N 3N 3 xN 3 yN 4N 4 xN 4 yN i , N xi , N yi (i1,2,3,4)

13、 都 是 x, y 的 四 次 多 項 式（各式可查閱有限元素法教材）。廣義應變與節點位移關系， 是由幾何矩陣 B 體現的，如圖 7-5矩形彎曲板元 B e（ 7-37）-104-幾何矩陣 B 為 3×12矩陣2 N 12 N x12 N y12 N y 4x2x 2x2x2B2 N 12 N x12 N y12 N y 4y2y 2y2y 22 N122 N x12 N y122 N y42yx y2yx yxx現將（ 7-36）式和（ 7-37）式代入總位能泛函，經過整理后，可得1e)TK e( eTe（ 7-38）p( ) F2式中，剛度矩陣 K BT D BdV（ 7-39）

14、V等效節點力 e N TpdAe（ 7-40） F FA（ 7-40）式 F e 為實際作用到節點上的載荷，它組成等效節點載荷的一部分。由駐值條件 p0 ，得到薄板彎曲時的剛度方程為K e e（ 7-41） F【例 7-5】 現在討論圖7-6 所示薄板的屈曲失穩情形。在失穩之前，我們假定在薄板的中面上承受平面應力0x ,0y 和0xy ，這里表示一比例常數。 這些應力可視為初應力， 它們均滿足平衡條件和力的邊界條件（忽略體力）：ij , j0（在體積 V 內）Tij n j（在 S 或 C1上） （ 7-42）另一種邊界為位移邊界C 2 （或稱 Su ），對于總位能泛函，則需要預先給定，如u

15、vw0及w0（在 C2上）n圖 7-6薄板的屈曲失穩（ 7-43）薄板的中面力可以用單位長度上的力N x0 ，N y0和 N xy0表示，這部分力可視為在失穩過程中是不改變大小與方向的常量，由于中面的平面內的變形，這些力所作用的功為V1A N x0 (w ) 2N y0 (w ) 22N xy0ww dxdy（ 7-44）2xyxy注意積分號內的 N x0等以壓力為正，所以在積分號內各力在計算時均取正值。將（ 7-44）式代入總位能泛函，則可寫出12 w2 w22 w 2 wD(22(1)2 w dxdyp22 )222Axyx yxy-105-1 N x0 (w ) 2N y0 (w )21

16、N xy0ww dxdy（ 7-45）2Axy2xy式中撓度 w 為獨立變量，要求w 必須滿足給定的邊界條件如（7-43）式之 C 2 邊界等。經過對（ 7-45）式泛函自變量的離散化，并按有限元素法剛度方程的形成過程，最后可求得一組特征方程，并由此而求出其特征根，確定了失穩臨界系數c r。§7.2 總余能泛函轉換形式及其應用由§ 5.1 節中的（ 5-22）式定義了總余能泛函為cB(ij )dVTi ui dS（ 5-22）VSu該泛函為單變量泛函，自變量為力或廣義力，泛函成立的約束條件是自變量處處滿足平衡方程及力的邊界條件，這與總位能原理是相對應的，它同總位能原理類似，

17、也是屬于兩種不同場量的經典變分原理。總余能原理在有限元素法中的應用，不如總位能原理廣泛，而它對構造應力雜交模型作出了貢獻，為有限元素法開辟了另一領域。為了與總位能泛函有所區分，這里用 U * 和 V * 分別表示余應變能及外力余功，總余能泛函表示為cU *V *（ 7-46）式中U *1ij T D ij dV2VV *T T u dS（ 7-47a,b）Su如果討論的對象為平面應力板，則應力分量可以表示為 xyxy T（ 7-48）現在引用應力函數，在不考慮體力的情形下，應力函數與應力分量的關系為222xy 2,yx 2 , xy應力函數應滿足下面的平衡方程（ 7-49）x yxxyxyy0

18、（ 7-50）xy0,yx現將（ 7-49）式代入（7-48）式，（ 7-48）式又可以表示為yy xx（ 7-51）xy顯然，（ 7-51）式中之 表示以二階導數微分算子前乘應力函數。以上引入應力函數的目的是為了用節點應力函數（包括導數）來離散元素應力，這恰如基于位移法的有限元法中以節點位移來離散位移有相似之處。【例 7-6】 對于圖7-7 所示的邊長為 a 和 b 的矩形平面元素，節點編號為ij , (i , j 1,2) ，節點應力函數為 eij ,xij ,yij ,xyij T16 1（ 7-52）由（ 7-52）式可以分別表示元素的4 個節點參數。如果11-21 邊為應力給定的邊，

19、則應有-106-圖 7-7矩形平面板元素y|0y yxy|0xy為了保證元素與元素之間的協調，這里采用了Hermitan 插值函數，對自然坐標寫出各插值函數為N1 ()13223N 2 ()3223N x1 ()a(223 )N x2 ()a(32 )及N1 ()13 223N 2 ()3223N y1 ()b(223 )N y2 ()b(32 )應力函數可以由下式插值完成形函數 N 展開后，為以下N e16× 1 矩陣形式N N1N1N 1N 2N 1N y1N1N y2N 2N1N 2N 2N 2N y1N 2N y2N x1N 1N x1N 2N x1N y1N x1N y 2

20、N x2N1N x2N 2N x2N y1N x2N y2對應于形函數 N 的節點應力函數參數 e 為( ,)可分別（ 7-53）（ 7-54）（ 7-55）（ 7-56） e 1112y11y122122y21y 22x11x12xy11xy12x21x22xy 21xy22 （ 7-57）-107-式中x , y , xy 均表示對 x 、 y 及 xy 的導數。利用（ 7-51）式和（ 7-55）式，元素應力可表示為N yy N xx e G e（ 7-58）N xy將（ 7-58）式代入余應變能（7-47a）式中，（ 7-47a）式可以轉換為U *1 ( e ) T f e（ 7-59

21、）上式中的 f 即為元素的柔度矩陣，為（216× 16）的對稱矩陣，且 f G T D 1 GdV（ 7-60）V為了保證元素與元素間的協調，則需要應力函數及其導數沿邊界保持連續條件，n這種連續條件可以由雙三階 Hermitan 插值予以保證。這些元素均屬于元素相交邊界，對于那些應力指定的邊界上，這些應力屬于已知量或稱為邊界力，這部分邊界力的平衡關系在應力函數中難以滿足，因此，對總位能泛函應作松弛處理，或者說以 Lagrange 乘子項對總余能泛函進行修正。對于圖 7-7 所示的 11-12 邊界上的指定應力為y 及 xy 的情形，2 ey |y 0x2|y 0 N xx （ 7-6

22、1）2 exy |y 0|y 0 N xy （ 7-62）x y如果已知邊界上指定的力為Ty（ 7-63）xy從（ 7-61）式及（ 7-62）式中，邊界應力x, y 還需要應力函數的二階偏導yy 與xx ，所以上述的插值對邊界來說是不夠的，故必須引入滿足二階導數條件的五次插值函數，如圖7-8所示。為了與一般元素的應力函數有別，對應力邊界元素現在以b 表示其應力函數。插值函數為圖 7-8五次鍤值函數-108-Q1 (s)110s315s46s5Q 2 (s)10s315s46s5Q3 ( s)s6s38s43s5Q 4 (s)4s37s43s5Q5 ( s)1 (s23s33s4s5 )2Q

23、6 ( s)1 ( s32s4s5 )2且b Q1 ( s)(0)Q 2 ( s)(1) Q 3 (s) s(0)Q 4 ( s)s (1)Q 5 (s)ss (0)Q 6 (s)ss (1)為了更簡潔，這里的一般插值函數表示為（ 7-64）（ 7-65）C1 (s)1 3s22s3C 2 ( s)3s22s3（ 7-66）C 3 ( s)s2s2s3C 4 ( s)ss3則應力函數b 為b C 1 (s) (0) C 2 (s)(1)C 3 (s) s (0) C 4 ( s) s (1)（ 7-67）如果圖 7-7 所示的元素為邊界上的一個元素，為了滿足（ 7-51）式的要求，該元素的應力

24、函數可表示為bC1 ( y) Q1 ( x)11Q 2 (x)21Q3 ( x)x114Q ( x)2C ( x)2C ( x)2C ( x)Nx21Q 5 ( x)22 C 3 (x)y21C 3 ( x)y22C 3 ( x)xx11Q 6 ( x)xx21 C 2 ( y) C 1 (x)12x12C 4 ( x)x 22 C 3 ( y) C 1 ( x)y11xy11C 4 ( x)xy 21 C 4 ( y) C 1 (x)y12xy12C 4 (x)xy22 （ 7-68）這里形函數 N 的順序可以重新按 的對應順序排列一下及11212212x11x21x 22x12y11y 2

25、1y 22y12xy11xy21xy22xy12xx11xx21xyxyxx 18 1 N C 1 ( y)C 1 ( x)C 4 ( y)C 4 (x)（ 7-70） N 式見下頁。現在利用（ 7-68）式，將（ 7-68 ）式代入（ 7-61）式與（ 7-62）式，并合并此兩式，如下-109-N xx C （ 7-71）N xy再利用力的邊界條件 Tiij n j ，將（ 7-71）式及（ 7-63 ）式代入后，可得C T （ 7-72）（ 7-72）式即為邊界力平衡方程。依上類似，如果邊界元素兩邊均承受已給定的應力，如x ( y) 、y ( x) 及xy ，如圖 7-9 所示。邊界力為x

26、 0，x ( y) 及 xy ( y)y0 ，y ( x) 及 xy (x)對 11-21 及 11-12 兩條邊均需引用（ 7-64）式的插值函數，為清晰起見，可用下表表示：圖 7-9兩邊承受給定應力的邊界元素-110-N i Q 1 (x)Q1 ( y)C 1 ( x)Q 2 ( y)C 1 (x)Q 3 ( y)C 1 ( x)Q 4 ( y)C 1 ( x)Q 5 ( y)C 1 ( x)Q 6 ( y)11Q 2 ( x)C 1 ( y)21Q 3 ( x)C 1 ( y)x11Q 4 ( x)C 1( y)x21Q 5 ( x)C 1 ( y) xx11 Q 6 ( x)C 1 (

27、 y) xx2112C 2 ( x)C 2 ( y)22C 3 ( x)C 2 ( y)x12C 4 (x)C 2( y)x22y11C 2 ( x)C 3 ( y)y21C 3 ( x)C 3 ( y)xy11C 4 (x)C 3 ( y)xy21y12C 2 (x)C 4 ( y)y22C 3 ( x)C 4 ( y)xy12C 4 ( x)C 4 ( y)xy22yy11yy12（ 7-73）-111-（ 7-73）式中的 Q 1 ( x)Q1 ( y) 為 10 次多項式， 這樣的形函數為10 次函數。 而且這種排列是十分規律的，對任意擴大的各種力的邊界都十分方便，其中包含有Q 5 (

28、s) 與 Q 6 (s) ，所有的邊界應力均可得到滿足。邊界元素的節點參數由（7-73）式不難寫出11212212x11x21x22x12y112 y1y22y12xy11xy 21xy22xy12xx11xx12yy11yy11（ 7-74）下一步是按照有限元素法常規過程進行，將各元素的局部自由度 e ，向結構總體自由度 k 過渡，如 eLk （ 7-75）由于自變量應力函數對邊界條件（7-72）是松弛的，故（ 5-22）式的總余能泛函必須將部分松弛條件以 Lagrange 乘子相乘計入總余能泛函，參考（7-47a）式，形成如下形式的松弛泛函，如c1 (k ) T f k ( TC k )（

29、 7-76）20 ，自變量為 k 及 取式（ 7-76）的駐值條件即 c ，于是有以下各式c0 ： f k CT 0（ 7-77）kc0 ：T Ck 0（ 7-78）將（ 7-77）式與（ 7-78）式合并，得 f CTk 0（ 7-79） C0 T 由（ 7-79）式的第一式，可得k f 1C T （ 7-80）再取（ 7-79）式第二式，并將（7-80）式代入，可得 C f 1 C T T 取FC f 1 C T ，則上式可轉化為F T 及 F 1T（ 7-81）將（ 7-81）式代入（ 7-77）式中，則有 f k （ 7-82）式中 CTF 1T（ 7-83）（ 7-82）式為最終公式， 不妨稱為廣義位移， f 為廣義柔度矩陣，顯然，它具有對稱帶狀等特點，因此，對計算帶來很大的方便。§7.3 混合泛函變分原理及其