1、論文提要在微分屮值定理的一般證法的基礎上,給出了新的證明方法，同時具體的分析微分屮值 定理在函數在某一點的局部性質：函數圖象的走向；曲線凹口性的判斷；積分屮值定理；等 式及不等式證明等問題。淺談微分中值定理柴洪雪摘 要：本文討論了三大微分中值定理之間的遞進關系，并對中值定理進行了一定地推 廣，同時具體的分析了微分中值定理在證明等式、不等式以及討論方程根的存在性等問題加 以討論、比較、總結。關鍵詞：微分中值定理 新證法 羅爾定理推廣1微分中值定理及相關概念所謂微分中值定理,其實是指一個（或多個）函數導數與其增量z間的等式關系.通俗的 講,微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西小

2、值定理等基本定理在 內的定理的總稱.以下是證明微分中值定理時用到的兒個概念.定義1 （凸性）若函數|線位于其每一點處切線的上方（下方），則稱函數1111線時下凸（上 凸）的，或稱函數向下凸（上凸）.定義2 （凹性）若y = f（x）的一階導數廣 在（q"）上單調遞增（或遞減），則稱 /在仏切是向上凹（卜凹）的,或稱函數illi線向上凹（卜凹）.定義3倆數單調性）函數/在定義域內，當"兀2時，有/（,）/u2） （/（%!） /（x2）則稱/（%）單調遞增（嚴格單調遞增）當壬v兀2時，有（/（州）/（兀2），則稱/（天）單調遞減（嚴格單調遞減）.定義4 （極限的局部保號性）若

3、lim/（x）limg（x）,則存在a0,任意xe（x0-a,xf0兀（）+），使得/g（x）定義5 （最小值或最大值）設/（兀）在八上有定義，若存在xoe/使任意xe/,/（xo） /（x） （ f（xo） /（%）,則/（兀0）稱為于（兀）的最小值（最大值）.兀0為最小值點（最 大值點）.定義6 （極小值或極人值）設/（兀）在任意%ez±有定義若存在x0e/,a0,任意 xg （兀（）一，兀（）+ a）,都有/（x） /（x0） （/（%） /（“），則/（兀0）稱為/0）的一個極 小值（極大值），x（）稱為極小值點（極大值點）.2微分中值定理普遍的證明法微分中值定理是微分學的基

4、本定理，是構成微分學基礎理論的重要內容。它包括羅爾中 值定理、拉格朗f1中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗f1中值定理是羅爾中值定理的推廣, 柯西中值定理是拉格朗h中值定理的推廣。2. 1費馬定理定理1設/(%)在區間k有定義若x0是函數/(%)的極值點，且/(兀)在x0處可導， 則/'(x)=0.費馬定理的幾何意義:若將函數.f(x)的曲線置于平面肓角坐標系xoy,則費馬定理具 有幾何意義:對曲線)=/(x)上若有一點(兀0，/(兀。)存在切線，且勺為/(x)極值點.則這一點處的切線平行于兀軸.證明兀0為/w的極值點設兀0為極小值點,則存在 > 0,任意xg(x0-, x0 4

5、- a),/(x)-/(xo)、0x-xq取極限lim /'(兀。)少jim '(兀)兀觀)分別為丁、s,由于/(%)在x0處可導, >坊 xxoxfvj 兀一 x()則“s = lim公上沁f0x-xo山極限的局部保號性有t>(), 5<0.故t = s=().所以有 lin/一/久)=0, xt% x-xq即廣(xo) = o.2.2羅爾中值定理定理2設/滿足： 在閉區間肚葉上連續；(2)在開區間(d,b)內可導； f(a) = /(/?),則至少存在一點g e (a,b)使得/w = 0-羅爾定理的兒何意義:若/(兀)滿足羅爾定理的條件，則在曲線y =

6、f(x)上至少存在一 點ph，使得點p處的切線平行于兀軸(如圖)，其小a(d,.f(d), b(b,f(b)p證明由于在閉區間上連續，從而存在最大值m ,最小值加.若m =加則對任意xea,b有/(x) = m = m , up f (x)為常函數，所以廣(x)=0.若m>m , ill于f(a) = f(b) . m與加不同時為區間的端點，不妨設 m h /(a) = f(b)，所以m必為/(x)的極大值.設/=m，則有g g (a,b)，且/(x) 在(a,b)內可導，根據費馬定理可知廣) = 0.證畢.2.3拉格朗日中值定理定理3若函數/(力滿足：(1)在閉區間d,b上連續；(2)

7、在開區間(d,b)內可導;則至少存在一點使得/w=z(z(£)b-a證法利用羅爾中值定理，構造輔助函數.fm = /(x) -f(a) +(x-6/).b-a2.4柯西中值定理定理4設函數/(%)> g(x)滿足： 在閉區間a,葉上連續；(2)在開區間(。上)內可 導，且g©)h0,則至少存在一點使廣©二/(b)-/(a)g'(§)g(b)-g(a)3中值定理的推廣3.1拉格朗日中值定理的新證法證明拉格朗日中值定理的-種新方法，即從羅爾定理出發，采用復合函數求導法則證明拉格朗日中值定理，證明過程更加清晰易懂。證明(利用分析法證明拉格朗日屮值

8、定理)要證存在§w(a,b)使得心處嚴1b-a成立,即證，存在使得成立亦即f)_/(b)/«)=()h-ab-af(x) = f(x)-b-a則山f(x)滿足羅爾定理的條件知，存在g w (d,b)使得成立，進而成立.從而拉格朗 fi中值定理成立.3. 2柯西中值定理的新證法柯西屮值定理的傳統證法是作輔助函數，然后應用羅馬定理從而得證。本文主要采用區 間套原理給出一個新證法，這樣就使得羅爾定理和拉格sjjh'i'值定理成為它的直接推論。證明首先構造輔助函數x = g(x)ly = f(xy由于g©)ho,故可知g'(x)恒大于零或者恒小于零

9、.否則，由費馬定理可知,必存在gw (d,b)使得g '=0 我們不妨設gr(x)恒人于零.于是，對于任意xgw x“,其屮x(.=g(c), c w(q,b).又由復合函數連續性定理即含參變量函數定理可證得y = f(x) = f(gx) 在閉區間x(l9xh±連續;在開區間(x“,xj內可導，且dy dy(x)dfg_ dxdxx=xf dx(x)"g's)dx故即是要證明dydx屮(x) = /(gt(x)_/仗(x?)一/仗(x“)x,因此可構造輔助函數:xb-xa可以驗證屮(x)滿足羅爾定理的條件，故至少存在一個x, exa,xj,使得dyxbx.

10、dx成立再由dydxdy(x)x=x?廣(兀)知，至少存在使得廣二/(b)-/(q) g'(歹)g)-g(q)成立，柯西中值定理得證.3. 3羅爾定理的新證法羅爾定理很簡便的方法僅依賴于大家熟知的hoine-bord有限覆蓋定理，山此可見羅爾 微分中值定理可以是實數完備性的直接推論。引理1非單調函數/(x)在卜小上連續，在()內可導，則存在一點§ e (a,b)，使得 廣 ) = 0.證明因為/(兀)在d,b上連續，且非單調,故存在歹丘*)為函數/(x)的極值點.又 /(兀)在(a,b)內可導，故在f點可導，由費馬定理可知廣) = 0羅爾定理的新證法證明因為 a<b,r

11、f(b) = f (a).(1) 若f(x) = f(b) = f(a)為常數，則必有廣(兀)=0,所以，存在ggb),使得 廣£) = 0；(2) 若f(x)不是常數，則/(%)非單調，又有/(x)4 屈 上連續在(a上)內可導，根 據引理1,存在§w(a,b),使得廣) = 0.證畢.4微分中值定理的推廣微分中俏定理是微分學的核心內容，而隨著其不斷地發展和完善,衍生了許多微分中值 定理的推廣.以下是兒種微分中值定理的推廣形式.4.1拉格朗日中值定理的推廣定理5(推廣一)設于(兀),g(兀),力(兀)在肚方上連續,在(d,b)內可導，則存在 gw(a,b)使得/(q)g(

12、o)h(a)f(b)g(b)h(b)廣©g)證明作輔助函數/(d)g(o)h(a)f(b)g(b)h(b)fmg(x)h(x)很明顯h(q在d,b連續，在(o,b)內可導，且h(a) = h(h) = 0，則根據羅爾定理冇，存在 § e (a9b)使得= 0,命題得證.4. 2柯西定理的推廣定理6 (推廣一)f (x),g(x)在d,b連續，在(a,b)內可導，任意x e (a,b),有 g'(x)ho.則存在§ w(a,b)使得廣二/-/)gw " g(b)-g©'證明作一個輔助函數f(x) = f(x) -/g) 一 g(x

13、),則f(對在d,b連續，在(a,b)內可導，且f= f(a)-f(a)lg(b)-g(a) = of f(b) = f(b)-f(a)fg(b)-g(b) = 0 所以fd)在(d#)上滿足羅爾定理,即存在§ w (ci,b)使得因為 fx) = ff(x)g(b)-g(x)-gf(x)f(x)-f(a),所以，f© =0 = fwg(b) - g©- g)/© -f(a),即得廣©二/© /(q) g'(g 一 g(h定理7 (推廣二)若f(x),g(x)在有限或無窮區間ce)中的任意一點有有限導數 廣(兀)和 g'

14、;cx),任意 xe(a,b)f go)h0, /(q + 0), g(d + o), f(b-o), g(b-o)都 存在，則至少存在一點& e (小使得廣©二/(0)-心+ 0)g) g(b-0)-g(d + 0)，證明 首先證明g(b-0) g(d + 0)h0假設g(b -0)- g(d + 0) = 0即g(b-0) = g(a + 0),根據定理5可知,至少存在一點 歹e (a,b)使得g乜)=0.與已知條件相互矛盾.其次，作輔助函數f。) 一阻細由已知得/(力在(a,b)可導且f(d + 0) = /(d + 0)-/ + 0)-+°) = 0,g(b

15、-0)-g(b + a)g(b-0)-g(a + 0)所以，f(d + 0) = f(h-o).根據定理5可知,至少存在一點§ g (a,b)使得f'© = 0即廣©二/-()-心 + 0)g) g(b-o)-g(d + o)4. 3羅爾定理的推廣定理8設/(兀)在(a,/?)內可導，且lim /(x) = lim f(x) = af其屮w+co,則存在x->ax->bdm 使得 /w=o.證明由于/(兀)在3,b)內可導，則必冇/(x)在(d,b)上連續,又冇lim f(x) = lim /(x) = a.xtd+x->b(1) 當|a

16、| v 時，對/(x)在a,b兩點進行連續延拓，使得f(a) = /(/?) = 4，則有 /(%)在。上上連續，在(d,b)內可導且有 m = /(/?) = 4 ,所以，滿足羅爾定理的條件, 存在兵麗)使得廣© = 0(2) 當a = +oo 時，由于 lim /(x) = lim f(x) = a ,故存在 xpx2 g(a,bx v,使 得/(%!)=/(x2),所以/0)在西宀上連續，在(西宀)內可導，滿足羅爾定理，即存在使得 m=o.綜上所述，存在歹e (d,b)使得廣(歹)=0.5微分中值定理的應用微分學是整個數學分析的重要組成部分，而微分中值定理是微分學的核心內容,其

17、建立 了兩數值與導數z間的關系，是用于證明等式，證明不等式，討論方程根的存在性等問題的重 要工具.5. 1討論方程根的存在性注意到在中值定理中冇廣(§) = 0,令廣(兀)=g(x),這樣就可以利用屮值定理討論方 程g(x) = 0的根的存在性.例1設函數/在區間k上可導，則.f(x)的兩個零點間一定存在f(x) + f(x)的 零點.證明 保用羅爾定理)任取/的兩個零點西宀不妨設州 <兀2 作輔助兩數f(x) = f(x)exf則f(x)在x15x2±連續，在xl <x2內可導,且f(x1) = f(x2) = 0 ,由羅爾定理，存在 兵也),使得= 即/(加

18、+廣宀0,而歷h 0,故有/*($) +廣憶)=0,即f(x)的兩個零點間一定存在/(%) +廣的零點.例2證明：若。()+魚+ +厶=0,2n + 則多項式/(x) = ax + ax1 -anxn+在(0,1)內至少有一 個實根.證明令g (兀)=a)x + -x2 h1xn+i272 + 1則g'(x) = .f(x), 又有g(x)在0,1連續町導，且g(0) = g(l) = 0,滿足羅爾定理的條件，故存在g g(0,1)使 得伯=0即佗)=0,結論得證.例3若函數于 在a,b.h非負，且三階可導，方程/(%)= 0在()內有兩個不同的 實根.證明存在£ w(q,b

19、)使得廠) = 0.證明因為方程/(x) = 0在仏方)內有兩個不同的實根，設其分別為兀"2(坷 <花)所以 /(%,) = f(x2) = 0 ,又由于/(x)非負,根據極值定義可以知道坷,兀2為/(x)的兩個極值點, 所以有/(x1) = /，(x2) = 0又因為于滿足羅爾定理，所以存在ga,b)使得 廣伙i) = 0,又于 三階可導,所以廣(x)滿足羅爾定理，即存在k2 w (州& j,心w仏,兀2) 使得叫)=廠伙3)= 0,同樣廠滿足羅爾定理，則存在§ g (他人)(=(%)使得廠) = 0.證畢.5. 2利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗fi中

20、值定理或柯西中值定理證明不等式時，常將待證不等式變形為bag(b)_g(a)的形式，且/(x)(或/'(x),g(x)滿足拉格朗i i或柯西定理的條件，再證明對一切的x g仏方) 有m <fxx)<n(或m <-<7v),g©)最示利用屮值定理證明.例4證明對任何正數d、b(a < b)有b-a . a b-a<ln <b b a證明令/(x) = lnx, xea,b,則/(兀)在a9b±連續，在(a,b)內可導，根據拉格朗 fl中值定理，存在使得nb-na =丄(b-a),由于所以丄v丄v丄，即有b g ab-a 、 a

21、 b-a<ln<b b a例5設/(兀)為非線性函數，且在a,b上連續，在(a,b)內可導，則存在gw(a,b)使得證明變換待證不等式為dg其中 f(x) = (b-a) f(x) - xf(b) - f(a),若結論不成立，則 fx) < 0(a <x</?),因而 f(兀)單調遞減.但是f = (b-a)f(a) - af(b) - f(a)= f(b),故,必有f(x)三f(a),從而與已知矛盾,所以結論成立即 (b-a)fw>f(b)-f(a) 成立.例6設函數/ (兀)在a,b上連續，在(a,b)內可導f (a) = f (b) = 0 <

22、ff(a),則存在 §w(a,b),使得廠©vo.證明若不存在歹，則廠©no,從而廣(兀)單調遞增，又由于廣(兀)滿足羅爾定理, 則存在兀0丘(。力)使得廣(xo) = o,又冇廣(。)0所以，廣非單調遞增.上下矛盾因 而，存在e (a,b)使得 /"(g) <0.5. 3利用微分中值定理證明等式例7設函數/(兀)在d,b上連續，在仏/?)內町導.證明存在g g (d,b)使得b/'(b)-/'(d) =曠 in ,0 <aa證明利用柯西中值定理令g(x) = lnx,兀>0,顯然，g(x)在卜上上連續，在上) 內可導，且gfm =丄工0,所以，存在g w仏耳使得g©g(b)-g(a) lnb 'a所以a證畢