1、趙樹嫄微積分第四版第三章趙樹嫄微積分第四版第三章-導導數與微分數與微分自自由由落落體體221)(tgts , ,求求速速度度函函數數 )(tv. . 解解所以所以tstvt 0lim)()21(lim0tgtgt .tg 例例1 1221tgttg 2221)(21gtttgs tgtgts 21( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線

2、問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM設設00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線 tank00)()(lim0 xxxfxfxx 00

3、)()(lim0 xxxfxfxx 割線割線 MN 的斜率為的斜率為切線切線 MT 的斜率為的斜率為求求拋拋物物線線2xy 在在1 x處處的的切切線線方方程程. . 解解, )1(21 xy.012 yx即即例例2 21xy因此切線方程為因此切線方程為221)1( xy,22xx ,2xxy 切線斜率為切線斜率為xykx 0lim)2(lim0 xx ,2 第二節第二節 導數概念導數概念( (一一) ) 導數的定義導數的定義,)()(00內內有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點點設設函函數數xUxxfy 定義定義xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000如如果果對對于于自自變變

4、量量 x 在在點點0 x的的增增量量x )(00 xUxx 和和相相應應的的函函數數值值的的增增量量)()(00 xfxxfy , xy 當當0 x時有極限，時有極限， 比值比值 則則稱稱函函數數)(xf在在點點0 x可可導導， 稱稱此此極極限限為為函函數數)(xf在在點點0 x處處的的導導數數， 并并記記作作)(0 xf , 即即 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000記記xxx 0, ,則則0 x等等價價于于0 xx , , 形式形式1形式形式2)(0 xf ，0ddxxxy 也可記為也可記為，0 xxy 等等。0d)

5、(dxxxxf 這樣，曲線的切線的斜率可以說成是曲線這樣，曲線的切線的斜率可以說成是曲線上點的縱坐標對該點的橫坐標的變化率，上點的縱坐標對該點的橫坐標的變化率，在實際應用中， 常把導數在實際應用中， 常把導數0ddxxxy 稱為變量稱為變量 y 對變量對變量 x 在在0 x點的點的變化率變化率, 變化的快慢。變化的快慢。它表示函數值的變化相對于自變量的它表示函數值的變化相對于自變量的變化率有廣泛的實際意義，例如，加速度就是速度對于變化率有廣泛的實際意義，例如，加速度就是速度對于時間的變化率，角速度就是旋轉的角度對于時間的變化時間的變化率，角速度就是旋轉的角度對于時間的變化率，線密度就是物質線段

6、的質量對線段長度的變化率，率，線密度就是物質線段的質量對線段長度的變化率，功率就是所作的功對于時間的變化率，等等功率就是所作的功對于時間的變化率，等等. . 速度可以說成速度可以說成是行走的路程對于時間的變化率。是行走的路程對于時間的變化率。導函數導函數如如果果函函數數)(xfy 在在開開區區間間 I 中中的的每每一一點點都都可可導導，則則稱稱函函數數)(xf在在區區間間 I 上上可可導導. 這這時時, 對對每每一一個個Ix , xxfxxfxfx )()(lim)(0)( )(Ixxf 可以看成是定義在可以看成是定義在 I上的一個新的函數，上的一個新的函數， 稱稱它它為為原原來來的的函函數數

7、)(xf的的導導函函數數(或或簡簡稱稱導導數數), 也也可可以以說說成成 y 對對 x的的導導數數，并并記記作作y 或或 xydd. 用定義求導數的基本步驟：用定義求導數的基本步驟：;)()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例3 3解解求線性函數求線性函數 bxay 的導數。的導數。 )()(bxabxxay ,xa ,axy .lim0axyyx 例例4 4解解21)1(xx 求求函函數數xy1 的的導導數數。 xxxy11 )(xxxx )(1xxxxy xyyx 0lim)(1lim0 xxxx 21

8、x 例例5 5解解xx21)( 求求函函數數xy 的的導導數數。 ,xxxy xxxxxy )(xxxxx ,1xxx xyyx 0limxxxx 1lim0.21x 例例6 6解解233)(xx 求函數求函數 3xy 的導數。的導數。 33)(xxxy ,)()(33322xxxxx xxxxxxxy 322)()(33,)(3322xxxx xyyx 0lim)(33lim220 xxxxx .32x 類類似似可可證證 1)( nnxnx （n 為為正正整整數數） ， 以后證明，以后證明，1)( xx( (為任意非零實數為任意非零實數) )。 ,0, 00,1sin)( xxxxxf011

9、/1/xy所所以以)(xf在在0 x處處連連續續； 極限不存在極限不存在,但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx所所以以)(xf在在0 x處處不不可可導導。 )(lim0 xfx例例7 7 用定義討論函數用定義討論函數在在0 x處處的的連續連續性性與與可可導導性性。 解解xxx1sinlim0 0 , )0(f ( (二二) ) 導數的幾何意義導數的幾何意義oxy)(xfy T0 xM切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 在幾何上， 函數在幾何上， 函數)(xfy 在點在點0 x處處的

10、導數的導數)(0 xf 表示曲線表示曲線)(xfy 在點在點)(,(00 xfxM處的切線的斜處的切線的斜率，即率，即 tan)(0 xf，其中，其中 為為切線的傾角。切線的傾角。 求曲線求曲線xy1 在點在點)1, 1(處的切線方程和法線方程。處的切線方程和法線方程。 例例8 8解解切線斜率切線斜率 1)1( yk， ,12xy 所以切線方程為所以切線方程為, )1(1 xy即即 02 yx； 法線方程為法線方程為 )1(111 xy， 即即0 yx。 求求雙雙曲曲線線xy1 的的平平行行于于直直線線L：054 yx的的切切線線的的方方程程. 練習：練習：解解201xk ,41 所求切線方程

11、為所求切線方程為)2(4121 xy044 yx即即設設切切點點為為)1,(00 xx， ,2 0 x所所求求切切點點為為)21, 2(和和)21, 2( ， 或或)2(4121 xy或或.044 yxL的斜率的斜率( (三三) ) 左、右導數左、右導數2 2、右導數右導數：1 1、左導數左導數：;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數數)(xf在在點點0 x處處可可導導 左左導導數數)(0 xf 和和右右 導導數數)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.

12、例例9 9.0|)(處處的的可可導導性性在在討討論論函函數數 xxxf解解)0( f0)0()(lim0 xfxfx, 1 . 1 ),0()0( ff.0| 點不可導點不可導在在函數函數 xxyxxx|lim0 xxx 0lim)0( f0)0()(lim0 xfxfxxxx|lim0 xxx 0lim設設 0 , 0 , 00 , )(32xxxxxxf, 求求)0(f . 所所以以 0)0( f. . 例例1010解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx20lim ,0 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx30lim ,0 xyo( (四四) ) 可導與連續的關系可導

13、與連續的關系定理定理 函數在可導點處必連續函數在可導點處必連續. .證證.)(0連連續續在在點點所所以以函函數數xxf由由于于)(xfy 在在0 xx 處處可可導導, , 所所以以 yx 0lim xyx 0lim 存存在在且且為為)(0 xf , , xxyx 0lim xxyxx 00limlim 0)(0 xf,0 , )()(00 xfxxfy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf,1)0(,0)0( ff注意注意：該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立：連續未必可導連續未必可導。xy xyo|)(xxf .0處處不不可可導導在在 xxy2xy xy O1、設設函函數數)(xfy

14、在在0 x處處連連續續，但但)()(00 xfxf ，則則稱稱0 x為為函函數數)(xf的的尖尖點點。函函數數在在尖尖點點不不可可導導。 .0處處不不可可導導在在 x(或稱導數無窮大或稱導數無窮大)注意：注意：此時存在鉛直切線。此時存在鉛直切線。例如，例如，3xy 在在0 x處連續處連續, ,但但 ,)()(limlim0000 xxfxxfxyxx0)0()(lim0 xfxfxxxx30lim , 2、設設函函數數)(xfy 在在0 x處處連連續續，但但 稱稱函函數數)(xf在在點點0 x處處有有無無窮窮導導數數(不不可可導導)。 ,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,011/

15、1/xy所所以以)(xf在在0 x處處連連續續. . 極限不存在極限不存在,但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx3、設設函函數數)(xfy 在在0 x處處連連續續，但但0 x處處的的左左右右導導數數都都不不存存在在(指指擺擺動動不不定定)，則則0 x處處不不可可導導。 所所以以)(xf在在0 x處處不不可可導導. . , )0(01sinlim)(lim00fxxxfxx 設設 1 , 1 , )(23xbxaxxxf, , 求求適適當當的的a, ,b, ,使使 )(xf在在1 x處處可可導導. . 1lim)(lim311 xxfxx, 因

16、因為為)(xf在在1 x處處可可導導，從從而而連連續續，所所以以 因因為為)(xf在在1 x處處可可導導, ,所所以以a23 ， 21,23 ba. . babxaxfxx )(lim)(lim211, 例例1111解解，3)1(lim21 xxx11lim)1(31 xxfx11lim)1(21 xbxafx1lim21 xaxax，a2 ,1 ba,1 ab )1(lim1 xax第三節第三節 導數的基本公式與運算法則導數的基本公式與運算法則( (一一) ) 常數的導數常數的導數，為為常常數數設設) ( )(CCxf hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0 .0)(

17、 C即即hh0lim0 則則( (二二) ) 冪函數的導數冪函數的導數，為正整數為正整數設設) ( nxyn hxhxynnh )(lim0lim12210 nnnnhhhxCxn,1 nxn.)( 1 nnxnx即即以后證明：以后證明：)0( )(1 xx)( x特別特別，12121 x,21x )1( x11)1( x.12x xx21)( 21)1(xx hxhhxChxCxnnnnnnnh 222110lim則則( (三三) ) 代數和的導數代數和的導數設設)(xuu , ,)(xvv 可可導導, ,則則vu 也也可可導導, ,且且有有 證證vuvu )(注注：公式：公式可推廣到有限多

18、個函數的可推廣到有限多個函數的代數和代數和。 . )()(xvxu )( vuxxvxuxxvxxux )()()()(lim0 xxvxxvxxuxxuxx )()(lim)()(lim00例例1 1 求下列函數的導數：求下列函數的導數： xxxxysin452323 .cos45492xxxy ( (四四) ) 乘積的導數乘積的導數設設)(xuu , ,)(xvv 可可導導, ,則則vu也也可可導導, ,且且有有 證證vuvuuv )(因因為為)(xv可可導導, ,必必連連續續, , 故故)()(lim0 xvxxvx , ,于于是是 )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()

19、(xxvxuxxvxxu )()()()(xvxuxxvxu ,)()(vxuxxvu xvxuxxvxuxyxxxx 0000lim)()(limlimlim. )()()()(xvxuxvxu vuvuuv )(1、ucuc )(； 推論推論wuvwvuvwuuvw )(證證wuvwuvuvw )()()(wuvwvuvu )(.wuvwvuvwu 2、可推廣到有限多個函數的乘積，如可推廣到有限多個函數的乘積，如 一般地，有一般地，有nnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)(例例2 2 求下列函數的導數：求下列函數的導數： )23)(21( . 123xxxy )23(223x

20、xy)49)(21(2xxx .432423xxx 2. )50()2)(1()( xxxxf, , 求求)2(f . . )50()4)(3)(1()(xxxxxf! 48 或用定義：或用定義：2| )50()4)(3)(1()2( xxxxxf2)50()3)(2)(1(lim)2(2 xxxxxfx)50()4)(3)(1(lim2 xxxxx! 48 ( (五五) ) 商的導數商的導數設設)(xuu , ,)(xvv 可可導導, ,且且0 v，則則vu也也可可導導, ,且且有有 證證2)(vvuvuvu )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()()()(xvxxvxxvx

21、uxvxxu )()()()()()()()()()(xvxxvxvxuxxvxuxvxuxvxxu ,)()()()(xvxxvvxuuxv 因因為為)(xv可可導導, ,必必連連續續, , 故故)()(lim0 xvxxvx , ,于于是是 .)()()()()(2xvxvxuxvxu )()()()(xvxxvvxuuxvy 所以所以)()()()(xvxxvxvxuxuxvxy )(lim)(lim)(lim)(lim0000 xxvxvxvxuxuxvxyyxxxx 2)(vvuvuvu 2)1(vvv 特特別別地地，如如果果1)( xu，則則有有 例例3 3 求下列函數的導數：求下

22、列函數的導數： 1122 xxy22)1( xy)1(22 xx)1(22 xx.)1(422 xx或解或解12122 xxy,1212 x2)1(vvv 22)1(22 xxy.)1(422 xx( (六六) ) 對數函數的導數對數函數的導數,ln xy 設設hxhxyhln)ln(lim0 axxaln1)(log xx1)(ln hxhh)1ln(lim0 .1x 即即)0()1ln( xxxhxhh/lim0 Natural log is natural.,lnlnlogaxxa 由對數換底公式由對數換底公式對對一一般般的的對對數數函函數數)1, 0( log aaxya， ( (七七

23、) ) 指數函數的導數指數函數的導數haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( xxe)e ( 即即特別地特別地,) 0(ln1 xaxax，設設)1, 0()( aaaxfxhahahxlnlim0 ( (八八) ) 三角函數的導數三角函數的導數,sin xy 設設hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 hhxhh)2cos(2sin2lim0 .cos x xxcos)(sin 即即類似有類似有xxsin)(cos )2cos(lim2sin2lim00hxhhhh 例例4 4.tan的的導導數數求求xy 解解)(tan xyxxxxx

24、2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 xx2sec)(tan xx2csc)(cot 類似可得類似可得即即)cossin( xx，x2sec 例例5 5.sec的的導導數數求求xy 解解)(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin xxxcotcsc)(csc 類似可得類似可得即即xxxtansec)(sec )cos1( x2)1(vvv )(sin x,cos x )(cos x,sin x )(tan x,sec2x )(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx )(csc x.cotcs

25、cxx 三角函數的導數公式三角函數的導數公式例例6 6 求下列函數的導數：求下列函數的導數： xxxxylncossin2 xxxxxxxxy1coslnsincos2sin22 .cos)12(sin)ln1(xxxxxx 例例7 7.cos1sin5的的導導數數求求xxy 解解例例8 8.sectan的的導導數數求求xxxy 解解2)cos1( 5xy 2)cos1(1cos5xx .cos15x xxytan21 xx2sec .tansecxx )cos1(cosxx )sin(sinxx 訓練訓練：求導數：求導數,ee )1(ee xyx.ee1e xyx,lncot )2(xxxx

26、yn .lncsccot21112 nnxxnxxxxxy2)ln1(1)ln1()ln1(1xxxxxy .)ln1(22xx ,ln1ln1 )3(xxy 或解：或解：1ln12 xy( (九九) ) 復合函數的導數復合函數的導數定理定理 設函數設函數)(xu 在點在點 x 處可導， 函數處可導， 函數)(ufy 在在對應的點對應的點)(xu 處可導，則復合函數處可導，則復合函數)(xfy 在在點點 x 處可導，且其導數為處可導，且其導數為 xuuyxydddddd 或或 )()(ddxgufxy . 推廣推廣),(),(),(xhvvguufy 設設的的導導數數為為則則復復合合函函數數)

27、(xhgfy . )()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy 證略證略例例9 9.sinln的的導導數數求求函函數數xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的導數的導數求函數求函數 xy解解92)1(10dd xxyx2 .)1(2092 xx例例1111解解求求函函數數21xy 的的導導數數。 xxy21212 .12xx 例例1212解解例例1313解解求求函函數數)1ln(2xxy 的的導導數數。 211xxy ）（211xx .e1sin的導數的導數求函數求函數xy xy1sine x

28、1cos )1(2x 2221)1(1xxxxx .112x .1cose11sin2xxx 2211 )1ln(xxx 例例1414求求函函數數nxxyncossin 的的導導數數. . 解解.)1cos(sin1xnxnn sinsincoscossin1nxxnxxxnn xnyn 1sin xcos nxcos xnsin )sin(nx n sinsincoscos)cos( 例例1515求求冪冪函函數數 xy 的的導導數數。 解解)( x)e (ln x xx )e (lnxx .1 x1)( xx訓練訓練：求導數：求導數,)sin23( )1(5xy )cos2()sin23(5

29、4xxy .)sin23(cos104xx ,1tan )2(xy )1(1sec22xxy ,)13csc( )3(3 xy33)13cot()13csc( xxy.)13cot()13csc()13(9332 xxx,2 )4(lnxxy xxyln2 2ln .ln1ln2xx 2)13(3 x3 .1sec122xx ( (十十) ) 反函數的導數反函數的導數定理定理即即 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數。.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內內也也可可導導在在對對應應區區間間那那末末它它的的反反函函數數且且內內單單調調

30、、可可導導在在某某區區間間如如果果函函數數證略證略( (十一十一) ) 反三角函數的導數反三角函數的導數例例1616.arcsin的導數的導數求函數求函數xy 解解,)2,2(sin內內單單調調、可可導導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內內有有在在)1 ,1( xI)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x 211)(arccosxx 211)(arcsinxx )(sin1 y類似有類似有oxy1 12 2 例例1717.arctan的的導導數數求求函函數數xy 解解,tan yx )(arctan xy2sec1 y2tan11 .112x 211)(arct

31、anxx 211)cotarc(xx )(tan1 y類似有類似有xx22tan1sec xy2 2 )(arcsin x)(arctan x,112x )(arccos x,112x ,112x )cotarc( x.112x 反三角函數的導數公式反三角函數的導數公式例例18 18 求下列函數的導數：求下列函數的導數： axaxaxyarcsin22222 )0( a2221xay 22222222212121xaaxaxxa .22xa 22222xaxx aaxa1)(11222 22222121xaxa ( (十二十二) ) 隱函數的導數隱函數的導數如如果果二二元元方方程程0),( y

32、xF確確定定了了一一個個函函數數)(xyy ，稱稱之之為為隱隱函函數數。 問題問題：隱函數隱函數能否不經顯化而直接求導能否不經顯化而直接求導 ?求求由由方方程程222ayx 所所確確定定的的隱隱函函數數)(xyy 的的導導數數. . 方方程程兩兩邊邊關關于于 x求求導導( (將將 y視視為為 x的的函函數數) ), ,得得 解解得得 yxy . . 顯顯化化后后, ,22xay , , 另另一一分分支支: : 22xay , , 例例1919解解x2比較：比較：22xaxy ；yx 22xaxy .yx y2 y ，0 求求由由方方程程pxy22 所所確確定定的的隱隱函函數數)(xyy 的的導

33、導數數. . 解解例例2020pyy22 解得解得.ypy 方程兩邊關于方程兩邊關于 x 求導求導, 得得 求求由由方方程程yxyln 所所確確定定的的隱隱函函數數)(xyy 的的導導數數. . 解解例例2121yyxyy 1ln解得解得.lnxyyyy 方程兩邊關于方程兩邊關于 x 求導求導, 得得 求求由由方方程程ee xyy所所確確定定的的隱隱函函數數)(xyy 在在0 x處處的的導導數數. . 例例2222解解當當0 x時時, ,1 y, , ye，解解得得xyyy e .e1| 0 xy注注：先代入數值，再解方程，較簡便。：先代入數值，再解方程，較簡便。y y yx ，0 01e y

34、.e1| 0 xy方程兩邊關于方程兩邊關于 x 求導求導, 得得 方方程程 422 yxyx 確確定定 y 是是 x 的的函函數數，求求其其曲曲線線上上在在點點)2, 2( 處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方程程。 解解例例2323022 yyyxyx所求切線方程為所求切線方程為方程兩邊關于方程兩邊關于 x 求導求導, 得得 將將2, 2 yx代代入入， ,04224 yy解得解得1 y， , )2(12 xy即即04 yx； 法法線線方方程程為為 )2(12 xy，即即0 yx。 解解 先變形為先變形為,)ln(21arctan22yxxy ,2221)/(112222yxyyxxyy

35、xxy ,yyxyyx . yxyxy 再再兩邊關于兩邊關于 x 求導求導，22lnarctanyxxy 確定確定 y 是是 x 的函數，求的函數，求y 。 例例2424( (十三十三) ) 取對數求導法取對數求導法觀察函數觀察函數方法方法：先在方程兩邊先在方程兩邊取對數取對數，然后利用隱函數的然后利用隱函數的求導方法求出導數求導方法求出導數。適用范圍適用范圍：.)()( 的的情情形形函函數數較較復復雜雜的的函函數數以以及及冪冪指指用用乘乘、除除、根根式式表表達達比比xvxu.,e)4(1)1(23xxxyxxxy 例例2525解解142) 1( 3111e)4(1) 1(23 xxxxxxy

36、x等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln142)1(3111 xxxyy.e)4(1)1(23的的導導數數求求函函數數xxxxy 注意：需把注意：需把 y 換回成原來表達式換回成原來表達式。上式上式兩邊關于兩邊關于 x 求導求導, 得得嚴嚴格格講講, ,取取對對數數時時應應取取絕絕對對值值, ,如如|ln2ln2xx , ,但但 說明：說明：,0 x) |(ln x,0 x)(1 xx,1x )ln( x所以所以.1) |(lnxx ;1)(lnxx ) |(ln x故省略絕對值。故省略絕對值。練習：練習：解解)41312111()4)(3()2)

37、(1(21 xxxxxxxxy等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy)41312111(21 xxxxyy.)4)(3()2)(1(的的導導數數求求函函數數 xxxxy上式上式兩邊關于兩邊關于 x 求導求導, 得得例例2626解解.),0(yxxyx 求求設設等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得,lnlnxxy ,1ln xyy)1(ln xyy. )1(ln xxx或解或解)( xx)e(ln xx)e(ln xx)ln(eln xxxx)1(lneln xxx. )1(ln xxx對數恒等式對數恒等式)(lne)(xfxf 上式上式兩邊關于

38、兩邊關于 x 求導求導, 得得例例2727解解.dd,xyyxxy求求設設 等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 方程方程兩邊關于兩邊關于 x 求導求導, 得得思考：思考：解解?,sin yxxyx則則設設,xxu 設設, )1(ln xxux.cos)1(ln xxxyx 所所以以用對數求導法得用對數求導法得- - 局部對數求導法局部對數求導法?)sinln(xxx 例例2828求求冪冪函函數數 xy 的的導導數數。 解解)( x)e (ln x xx )e (lnxx .1 x1)( xx( (十四十四) ) 由參

39、數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得xttyxydddddd txtydd1dd ，)()(tt 即即若參數方程為若參數方程為 )()(tytx 確定了確定了 y 是是 x 的函數， 則稱此函的函數， 則稱此函數為由參數方程所確定的函數數為由參數方程所確定的函數 設設函函數數)(tx 具具有有單單調調連連續續的的反反函函數數)(1xt ， 于于是是)(1xy , 再再設設)(),(tytx 都都可可導導，且且0)( t ， .ddttxyxy 例例2929解解設設 ttytxarctan)1ln(2，求求.ddxy t

40、ytyxydddddd 2212111ttt .2t 例例3030解解txtyxydddddd ，ttcos1sin taatacossin 1dd2 txy.2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為，)12( axay. )22( axy即即xyotaMPSNQ( (十五十五) ) 導數公式導數公式)( C,0 )( x,1 x)( x)1( x,21x ,12x )( xa)e ( x)(log xa,lnaax )(ln x,ex ,ln1ax ,1x )(sin x,cos x

41、)(cos x.sin x )(tan x,sec2x )(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx )(csc x.cotcscxx )(arcsin x,112x )(arccos x,112x )(arctan x,112x )cotarc( x.112x vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu )()()(xufxf ucuc )()(1 )(1xfxf )()(dd,)()(ttxytytx 第四節第四節 高階導數高階導數問題：問題：變速直線運動的加速度。變速直線運動的加速度。),(tfs 設設路路程程函函數數為為)()(tftv 則則瞬瞬時時速速度度為

42、為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva )()()( tftvta如如果果)(xfy 的的導導數數)(xfy 仍仍可可導導, ,則則 )( xf稱稱為為)(xf的的二二階階導導數數, ,記記為為)(xfy 或或22ddxy. . 一般一般, ,如果如果)(xf的的)1( n階導數仍可導階導數仍可導, ,則它的導數則它的導數稱為稱為)(xf的的n階導數階導數, ,記記)()(xfn或或nnxydd. . )dd(ddxyx解解例例1 1 求下列函數的二階導數：求下列函數的二階導數： bxay )1(nxycos )2( xysine )3( xytanln )4( (1),

43、ay .0 y(2),sinnxny .cos2nxny (3),cosesinxyx xxyxxsinecosesin2sin . )sin(cose2sinxxx (4)xxytansec2 xxcossin1 ,2sin2x .2sin2cos42xxy 例例2 2解解21ln21/11/122 xxxy.ln1arctanyxxxy 求求設設，21ln21112 xx.21)1(2 22xxxy 所所以以，xxxyln211arctan 例例3 3解解)11 (1122xxxxy .)1ln(2yxxy 求求設設，211x )11(2 xyxx2)1(21232 .)1 (232xx

44、212)1( x例例4 4求求 n 階導數：階導數：.),0()(nyxy求求設設 解解，1 xy)(1 xy，2)1( x，3)2)(1( xy .)1()1()(nnxny 則則不不為為正正整整數數若若, )(ny, !n ) !()1( nyn,0 則則為為正正整整數數若若,n ，nxy ，1 nnxy，2)1( nxnny，例例5 5.,1)(nyxy求求設設 解解, 2 , 1 ,!)1()1(1)( nxnxnnn,12xy .!)1(1)( nnnxny,23xy ,324xy 例例6 6.,ln)(nyxy求求設設 解解，xy1 .! )1()1(1)(nnnxny , 2 ,

45、 1 ,!)1()1(1)( nxnxnnn例例7 7.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos , )2sin( x)2cos( xy)22sin( x, )22sin( x, 2 , 1 , )2sin()(sin)( nnxxn , 2 , 1 , )2cos()(cos)( nnxxn 類似可得類似可得歸納可證歸納可證xy2sin , ,求求)(ny. . xxycossin2 2) 1(2sin21)( nxynn，x2sin ,22cos1sin2xx , )2sin()(sin)( nxxn)2cos()(cos)( nxxn例例8 8)()2(sinnx)22sin(2 n

46、xn解解或解或解)(2)(sinnx)22cos(221 nxn. )22cos(21 nxn常用常用 n 階導數公式：階導數公式：nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)6(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxe)e ()( 1)(!)1()1()5( nnnxnx( ( 不為正整數不為正整數) )第五節第五節 函數的微分函數的微分實例：實例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,00 xxx 變變到到設設邊邊

47、長長由由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx (1)(2)(1),;xA的線性函數 且為的主要部分(2) .x 的高階無窮小( (一一) ) 微分的定義微分的定義是是否否所所有有的的y 都都能能分分成成兩兩部部分分：一一部部分分是是x 的的線線性性部部分分，其其余余部部分分是是x 的的高高階階無無窮窮小小？ 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx 問題：問題：再再如如，設設函函數數3xy 在在點點0 x處處的的改改變變量量為為x 時時， 則函數則函數的改變量為的改變量為當當0 x時時， (1)是是x 的的線線性性部部分分， (2)是是

48、x 的的高高階階無無窮窮小小)( xo ， (1 )(2)及及在在某某區區間間內內有有定定義義設設函函數數0,)(xxfy 定義定義)()(00 xfxxfy 如如果果,0無無關關的的常常數數而而與與是是僅僅依依賴賴于于其其中中xxA )( xoxAy 時可表示為時可表示為當當0 x是是比比)( xo ，高高階階的的無無窮窮小小量量x 即即或或記記作作,|d|d00 xxxfy 則則稱稱函函數數)(xfy 在在點點0 x可可微微， 并并稱稱xA 為為)(xf在在點點0 x相相應應于于自自變變量量x 的的微微分分, xAyxx 0|d,0在在這這區區間間內內xx differential定理定理

49、證證 (1) 必要性必要性,)( xxoAxy xyx 0lim 則則,A )(lim0 xxoAx xxoAx )(lim0函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可微微的的充充分分必必要要條條件件是是函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可導導，且且有有xxfy )(d0. . 若若函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可微微，即即 即即函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可導導， 且且有有Axf )(0. , )( xoxAy 函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可微微的的充充分分必必要要條條件件是是函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可導導，且且有有xxfy )(d0.

50、 . 定理定理證證 (2) 充分性充分性設設函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可導導，即即 于于是是 )( xoxAy , , 即即 )( xoxAy , , )(lim00 xfxyx ,A記記 ,0)(lim0 Axyx,0lim0 xxAyx由由微微分分的的定定義義知知，函函數數)(xfy 在在點點0 x處處可可微微. 可導可導可微可微 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分為為函函數數Axf )(0 xxfyd)(d 時時，當當xxf )( ).(ddxfxy 所以導數也稱為所以導數也稱為“微商微商”.)( xoxAy .1dd xxxy 所所以以，1)( xf( (二二) )

51、 微分的幾何意義微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 幾何意義幾何意義：( (如圖如圖) ).d,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當yy xx0 P .,|MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點點很很小小時時當當 以直代曲以直代曲 )( xoxAy xyy d例例1 1解解求函數求函數xysin 在點在點0 x和和2 x的微分的微分. xxyd)(sind ,dcosxx 所以所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例例2 2解解.02.

52、0, 23時的微分時的微分當當求函數求函數 xxxyxxyd)(d 3 ,d32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy.24. 0 ( (三三) )基本微分公式基本微分公式xxfyd)(d )(d C)(d x)(dxa)e (dx)(logdxa)(lndx)(sindx)(cosdx)(tandx)(cotdx)(secdx)(cscdx)1(dx)(dx0 xxd1 xxd12 xxd21 xaaxdln xxde xaxdln1 xxd1 xxdcos xxdsin xxdsec2 xxdcsc2 xxxdtansec xxxdcotcsc )(arcsindx)(arctandx)(arccosdx)cotarc(dxxxd112 xxd112 xxd112 xxd112 微分法則：微分法則：vuvudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu ( (四四) ) 微分形式的不變性微分形式的不變性結論結論：的的微微分分形形式式總總是是函函數數是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論)(,xfyx xxfyd)(d 設設)(xfy