1、返回 上頁 下頁 結束 2.6 用初等變換求逆矩陣用初等變換求逆矩陣一. 用初等變換法求逆矩陣 及解矩陣方程返回 上頁 下頁 結束 一、等價定理一、等價定理定理定理1：設設A是是n階方陣，則如下的命題等價：階方陣，則如下的命題等價：（1）A是可逆的是可逆的 ；（2）AE，E是是n階單位矩陣；階單位矩陣；（3）存在）存在n階初等矩陣階初等矩陣12,lP PP12.lAPPP使（4）A可經過有限次初等變換化為可經過有限次初等變換化為E.證明證明1 （1）（2）易證明）易證明(見書上證明見書上證明)（2）（3） 因為A E，APPEPPPlrr 121再由矩陣那么，把E變為A的初等變換lPPP21,

2、即有：lPPPA21 等價的對稱性，有有 E A 。所對應的初等矩陣為，所以，所以 返回 上頁 下頁 結束 （3）（4）lPPPA21 ，由，由 有有 11121lPPP AE由于由于 11121,lPPP仍是初等矩陣，上式說明對A 實施有限次初等行變換可化為E， 列的情形類似可得。（4）（1） 設A可經有限次初等行變換可化為E，則存在初等矩陣12,lQ QQ，使12lQQQ AE由于初等矩陣12,lQ QQ可逆， 所以A可逆。證畢。證畢。返回 上頁 下頁 結束 分析: A 可逆 )(21為初等矩陣ilPPPPA1111PPAl)(1為初等矩陣ilQQQ AQQl1EBQQl1BA1)()(1

3、1BAEBAQQl上式表明: 若 )()(XEBAr, 則 A 可逆, 且 X 即為AX = B 的解 X = A1B. 特別, 若 )()(1 AEEAr即如何求 X = A1B ? 給定n 階可逆方陣 A 及 ns 階矩陣 B, 如何解 AX = B ? 左側的意義： 對A、B 作相 同的行變換 11lQQA即有 返回 上頁 下頁 結束 例1：設 2152327300210011A，試用初等變換法求.1 A解： 2152327300210011 1000010000100001 13123,rrrr142rr 2130324000100011 1002010300110001 23214,

4、rrrr243rr 2100320000100001 1031014100110012 43rr 3200210000100001 0141103100110012 342rr 1000210000100001 2121103100110012返回 上頁 下頁 結束 342rr 1000210000100001 2121103100110012 4) 1(r 1000210000100001 2121103100110012 432rr 1000010000100001 2121321100110012所以 1A 2121321100110012返回 上頁 下頁 結束 例例2. 設 11111

5、45212142121B問B是否可逆？解法解法1. 1111145212142121 1000010000100001 3230369096902121 10010102001400012314rr 0000369096902121100102001400013131若可逆，求其逆陣 B 1。13122,4rrrr14rr 可見B不可逆不可能化為 單位陣返回 上頁 下頁 結束 1111145212142121B1111145212142121B000132323234323132332332301312,rccc14cc B不可逆一、二兩行相同一、二兩行相同 ！解法解法2. 利用 “A可逆 A

6、 ”返回 上頁 下頁 結束 332340022021332340010110例例3. 求解.010312022,AXAAX其中解解: 原方程變形為 AXEA)(110110312302022021)(AEA32rr 122rr 234rr 312100010110022021312100 ) 1(3r返回 上頁 下頁 結束 312100010110022021212rr 31210062200130201032rr 可見 A E 可逆, 且AEAX1)(312302622注注: 若要求若要求 CAY 解解思考: 設 A, B 可逆, 如何解矩陣方程 AXB=C ?方法一：r)(CA)(1CAEY注意：注意：這個 r2 是新的結果1, CAY有有CAY 由由方法二：CAY 由由CAY ）有（有（,CYA 即即有有,返回 上頁 下頁 結束 內容小結內容小結1. 矩陣的初等變換與初等矩陣 2. 用初等變換法求矩陣的逆 : 作業 P64. 25(1), （2）注意注意: 初等矩陣可逆, 其逆矩陣為同類型初等矩陣 用初等矩陣右右乘 A 對A 作列列變換 )(