1、【高考地位】立體幾何是高考數學命題的一個重點，空間中線線角、線面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有兩種方法：其一是一般方法，即按照“作證解”的順序進行；其一是空間向量法，即建立直角坐標系進行求解. 在高考中常常以解答題出現，其試題難度屬中高檔題.【方法點評】類型一 空間中線線角的求法方法一 平移法使用情景：空間中線線角的求法解題模板：第一步 首先將兩異面直線平移到同一平面中；第二步 然后運用余弦定理等知識進行求解；第三步 得出結論.例1 在右圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為（ ）A30° B60° C90°

2、D45°【答案】B.考點：異面直線所成角.點評：異面直線所成角的【變式演練1】如圖，四邊形是矩形， 沿直線將翻折成，異面直線與所成的角為, 則（ ）A BC. D【答案】B【解析】試題分析：將平移到,則由異面直線所成角的定義可知就是異面直線所成角,則,即,故應選B.考點：異面直線所成角的定義及運用.【變式演練2】在正方體中，異面直線與所成角的余弦值為A B C D【答案】D考點：異面直線所成角【變式演練3】設三棱柱的側棱與底面垂直，若該棱柱的所有頂點都在體積為的球面上，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】B【解析】考點：三棱柱外接球、異面直線所成角【方法點睛】構造

3、長方體或正方體確定球心：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐. 同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐. 若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體. 若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體.方法二 空間向量法使用情景：空間中線線角的求法解題模板：第一步 首先建立適當的直角坐標系并寫出相應點的空間直角坐標；第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標；第三步 再利用即可得出結論.例2、如圖，直三棱柱中，點在線段上.（1）若是中點，證明：平面；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）詳見解析（2）【解析

4、】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾知識，如本題利用三角形中位線性質得線線平行（2）求線面角，一般利用空間向量進行計算，先根據題意建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求出面的法向量，再根據向量數量積求出向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余的關系求解.（II）,故如圖建立空間直角坐標系, ， 令平面的法向量為，由，得 設所以, ，設直線與平面所成角為故當時，直線與平面所成角的正弦值為.考點：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“

5、建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.例3、如圖，正方形的邊長為2，分別為線段的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱分別交于點（1）求證：；（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小【答案】（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾條件，如本題利用正方形性質得，從而有平面而線線平行的證明，一般利用線面平行性質定理，即從兩平面交線出發給予證明（2）利用空間向量解決線面角，一般先建立

6、恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出平面法向量，再根據向量數量積求夾角，最后根據線面角與向量夾角之間互余關系求大小. 則，即，令，則，所以設直線與平面所成角為，則，因此直線與平面所成角的大小為 考點：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.【變式演練4】已知正四面體中，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】考點：異面直線及其所成的角【變式演練5】如圖，在三棱柱中，

7、底面為正三角形，側棱垂直底面，,.若，分別是棱，上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】D【解析】考點： 線面角. 類型二 空間中線面角的求法方法一 垂線法使用情景：空間中線面角的求法解題模板：第一步 首先根據題意找出直線上的點到平面的射影點；第二步 然后連接其射影點與直線和平面的交點即可得出線面角；第三步 得出結論.例3如圖，四邊形是矩形，是的中點，與交于點，平面.（）求證：面；（）若，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（）證明見解析；（）【解析】試題分析：（）要證AF與平面BEG垂直，只要證AF與平面內兩條相交直線垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂

8、直AF，另外可以在矩形BACD中證明BE垂直于AC（可用相似三角形證明角相等）；（）求直線EG與平面所成角的正弦，可用體積法求出E到平面ABG的距離d，則就是所求正弦值，而求棱錐的體積可通過來求得證法2：（坐標法）證明，得，往下同證法1證法3：（向量法）以為基底， ， ，往下同證法1考點：線面垂直的判定，直線與平面所成的角Com【點評】解決直線與平面所成的角的關鍵是找到直線上的點到平面的射影點，構造出線面角.【變式演練6】已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等,在底面內的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值為（ ）A B C D【答案】B考點:直線與平面所成的角【變式演練7】在四面體中，且，為中點，

9、則與平面所成角的正弦值為（ ）A B C D【答案】D考點：1平面與平面垂直；2直線與平面所成的角方法二 空間向量法使用情景：空間中線面角的求法解題模板：第一步 首先建立適當的直角坐標系并寫出相應點的空間直角坐標；第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標以及平面的法向量坐標；第三步 再利用即可得出結論.例4 正四棱柱中，則與平面所成角的正弦值等于（ ）A B C D【答案】A考點：直線與平面所成的角.點評：空間向量法解直線與平面所成的角的關鍵是正確的寫出各點的空間直角坐標和平面的法向量的坐標形式.【變式演練8】已知四棱錐中，底面為矩形，底面，為上一點，且平面.（1）求的長度；（2）求與平面所

10、成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用空間向量求線段長度，首先根據題意建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量的模求線段長度（2）求線面角，也可利用空間向量，即首先根據題意建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求出面的法向量，根據向量數量積求直線與法向量夾角，最后根據線面角與向量夾角之間互余關系求線面角的正弦值，再根據誘導公式求余弦值。試題解析：解：（1）如圖所示建立空間直角坐標系， (2)因為，則， 因為面的一個法向量，令與面成角為，則，故.考點：利用空間向量求線段長度及線面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關

11、”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.【高考再現】1. 【2016高考新課標1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為(A) (B) (C) (D)【答案】A考點：平面的截面問題,面面平行的性質定理,異面直線所成的角.【名師點睛】求解本題的關鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補.2. 【2016高考天津理數】（本小題滿分13分）如圖，正方形ABCD

12、的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.（I）求證：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析（）（）【解析】試題解析：依題意，如圖，以為點，分別以的方向為軸，軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得，.（I）證明：依題意，.設為平面的法向量，則，即 .不妨設，可得，又，可得，又因為直線，所以.（III）解：由，得.因為，所以，進而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.考點：利用空間向量解決立體幾何問題3. 【

13、2016年高考北京理數】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，試題解析：（1）因為平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面；（2）取的中點，連結，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，. （3）設是棱上一點，則存在使得.因此點.因為平面，所以平面當且僅當，即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時.考點：1.空間垂直判定與性質；2.異面直線所成角的計算；3.

14、空間向量的運用.【名師點睛】平面與平面垂直的性質的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內作交線的垂線，把面面垂直轉化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系)，構造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等.4. 【2016高考新課標3理數】如圖，四棱錐中，地面，為線段上一點，為的中點（I）證明平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）見解析；（）【解析】又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面. 考點：1、空間直線與平面間的平行與垂直關系；2、棱錐的體積【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關系，常常是通過線線平行

15、來實現，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理5. 【2016高考上海理數】將邊長為1的正方形（及其內部）繞的旋轉一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側。（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成的角的大小?！敬鸢浮浚?）（2） 從而為等邊三角形，得因為平面，所以在中，因為，所以，從而直線與所成的角的大小為考點：1.幾何體的體積；2.空間的角.【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，將空

16、間問題轉化成平面問題.立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應根據題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉化與化歸思想及基本運算能力等.6. 【2016高考上海理數】如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為3，與底面所成角的大小為，則該正四棱柱的高等于_.【答案】【解析】 考點：1.正四棱柱的幾何特征；2.直線與平面所成的角.【名師點睛】涉及立體幾何中的角的問題，往往要將空間問題轉化成平面問題，做出角，構建三角形，在三角形中解決問題；也可以通過建立空間直角坐標系，利用空間向量方法求解，應根據具體情況選擇不同方法，本題難度不大，能較好地考

17、查考生的空間想象能力、基本計算能力等. 7. 【2016高考天津文數】(本小題滿分13分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60º，G為BC的中點.()求證：平面BED；()求證：平面BED平面AED；()求直線EF與平面BED所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析（）詳見解析（）【解析】試題解析：（）證明：取的中點為，連接，在中，因為是的中點，所以且，又因為，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.考點：直線與平面平行和垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角【名師點睛】垂直、平

18、行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉化為證明線面垂直，進而轉化為證明線線垂直. 8.【2016高考浙江文數】（本題滿分15分）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求證：BF平面ACFD；（II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】考點：空間點、線、面位置關系、線面角.【方法點睛】解題時一定要注意

19、直線與平面所成的角的范圍，否則很容易出現錯誤證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線9. 【2016高考上海文科】（本題滿分12分）將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內部）繞OO1旋轉一周形成圓柱，如圖， 長為 ，長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側.（1）求圓柱的體積與側面積；（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大小. 【答案】（1）；（2）【解析】考點：1.幾何體的體積；2.空間的角.【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，將

20、空間問題轉化成平面問題.立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應根據題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉化與化歸思想及基本運算能力等. 【反饋練習】1.【河南省新鄉市2017屆高三上學期第一次調研測試數學（理）試題】在正方體底面，任一點，則直線所成角為（ ）A B C D不能確定【答案】C考點：異面直線垂直的判定2【山西大學附中2017屆高三第二次模擬測試數學（理）試題】已知在正方體中，點是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值是 【答案】【解析】考點：直線與平面所成角3【吉林省長春市普通高中2017屆高三質量監測（一）數學（理）試題】如圖，直三棱柱中，則與平面所成的角為（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：取的中點,連接,那么為所求線面角，,所以,那么考點：線面角4. 【廣東省惠州市2017屆第二次調研考試數學（理）試題】空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為60°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小【答案】60°或30°考點：異面直線所成的角5【廣西梧州市2017屆高三上學期摸底聯考數學（理）試題】（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形