1、人教A版(2019)必修第二冊必殺技第6章6.3.5平面向量數量積的坐標表示學校:姓名：班級：考號：一、單選題1 .設刁=(1,-2)3=(一3,4)1=(3,2),則僅+ %)=()A. 12B. 0C. -3D. -112 .已知不=(4,3), 2ci + %=(3/8),則d與B的夾角的余弦值為()3 .若刁=(2,3),6 =(Y,7)，B方向上的單位向量為，.則,在B上的投影向量為()A, 手 6B. 底 C. 零。D. VBe4 .以下選項中，一定是單位向量的有()«=(cos<9,-sin/9)；=(71g2,7ig5)：E =(2',2-')：

2、7=(1t,x).A.1個B.2個C. 3個D. 4個5 .已知平面向量 = (2,4),B=(1,2).若彳=酉一他加)鼠 則IE等于()A.4x/2B.2小C. 8D. 8726 .平面向量Z與石的夾角為60。. " = (2.0),|臼=1,則|萬+ 24等于()A.6B.2邪C.4D.127 .在四邊形則該四邊形的面積為()A.y/5B.2星c.5D.108 .已知向量可=伐,3),方=(1,4)1 = (2,1),且(21一35)_1_七,則實數k=()A.-B.0C.3D.229 .若1/1=1,1/；1=2忑=萬+ 6,且_1不，則向量與否的夾角為()A. 30

3、6;B. 60°C. 120°D. 150°10 .已知AB =(3, 1),元=(2,1),且斤A(j=7,則斤.83=()A. -2B. 2C. 一2或2D. 011 .設x，)eR,向量4 =(尤1),方=(1,)，),5 = (2,-4)且2_1_乙6,則。+=()A.邪B. 26C.曬D. 1012 .若向量d = (l,2), /；=(1,T),則21+5與dB的夾角等于()13 .已知向量力=(1,0),方=(cosasin6), 0e 一寧,則|。+可的取值范圍是 乙 乙A. 0,V2 B. 1,點 C. 1,2D. >/2,2-14 .已知

4、點力(6,1), 3(0,0), C(JJ,0),設。的平分線A石與8c相交于£,那么有覺=%在，其中九等于()A. 2B. -C. -3D.-2315 .已知向量=(1/)，6=(1,?)，其中加為實數，。為坐標原點，當兩向量夾角在(哈變動時，m的取值范闈是()A. (0J)C.二,1 u(l,碼 D. (1,同16 .設B(2,b), C(4,5)為坐標平面上三點，。為坐標原點，若方與礪在反方向上的投影相同，則。與滿足的關系式為()A. 4a-5b = 3 B. 5-4/? = 3 C. 4。+5b = 14 D. 5a+4b = 14二、填空題17 .已知點A(l,l),3(l

5、,2),C(-2,l),Q(3,4),而方向上的單位向量為g,則向量而在C5上的投影向量為.18 .已知向量次= (1,7),礪= (5,1)(。為坐標原點)，設M是直線y = 上的一2點，那么兩.耐的最小值是19 .已知向量工=(1,2)=(2,T),卜/，若( + /?)? = *,則-的夾角大 2 小為20 .已知C = (2,l)與6=(1,2),要使收+間最小，則實數/的值為.21 .已知%是同一平而內的三個向量，其中d=(L2).若同=26，且不人 則 c的坐標為.22 .已知點A(2,3),若把向量次繞原點。按逆時針方向旋轉90得到向量加，則 點B的坐標為.23 .已知a=(2,

6、-1), 5=(%,-2), 2 =(3,y),若£,(2+()M(x,y)、 N(y,x),則向量礪的模為.24 .關于平而向量。b, C,有下列三個命題：若。石=邪不，則 =£.若N=(L k), b = (-2,6), ab,則k=-3.非零向量1和石滿足同=Z?=一。，則工與Z + B的夾角為60 .其中真命題的序號為.(寫出所有真命題的序號)25 .(理)在直角坐標系X、y中，已知點A(0, 1)和點B(3, 4),若點C在NAOB的 平分線上，且I反1=2,求反的坐標為.26 .設向量" = (1,2), B = (l,l),且£與Z + i

7、B夾角為銳角，則實數4的取值范圍是27 .已知4=(2,1), 5=(41),若與B的夾角夕為鈍角，則實數4的取值范圍 為.28 .設向量4=(加一2,?+3), b=(2m + jn-2),若Z與方的夾角大于90 ,則實 數所的取值范圍為.三、解答題29 .已知2,6是同一平面內的兩個向量，其中4=(1,2).若/；=與，且口 + 25與21一5垂直，求d與B的夾角夕30 .已知向量,坂同向，6 = (1,2), a b=10.(1)求”的坐標;(2)若c = (2,-1),求及(9c.31 .已知平面向量力=(3,4), 5=(9,x), 3 = (4,)，)，且石南，ale.(1)求B和

8、c ：(2)若加=24一月，n=a+c,求向量正與向量的夾角的大小.32 .如圖，已知A。),例5,4),C(2,5),設向量不是與向量荏垂直的單位向量.(1)求單位向量d的坐標：(2)求向量/在向量d上的投影向量的模：(3)求明48c的面積S.w33 .在四邊形ABCD中，已知詼無萬*通= (6,1),比= (X,)，)，函=(-2,-3).(1)求用x表示)，的關系式：(2)若就_L礪，求、y值.參考答案1. c【解析】【分析】根據向量加法的坐標公式，先計算G +涕的坐標，再用數量積公式即可求得結果.【詳解】因為2),5 = (-3,4)Q =(3,2),故不+ 2/； =(5,6)故伍+

9、 2/?)T = -5x3 + 6x2 = -3.故選：C.【點睛】本題考查向量加法和數量積的坐標運算公式，屬基礎題.2. C【分析】根據題意，解得兩個向量的坐標，利用坐標計算兩向量的夾角余弦值即可.【詳解】因為斤=(4,3), 25 + 6=(3,18)故可得6 = (-5,12),設向量d與B的夾角為6則同=5洶=13八 ab 1616則 cos® = 7：=.同同 5x13 65故選：C.【點睛】本題考查向量的坐標運算，屬綜合基礎題.3. A【分析】由向量的投影計算公式，代值計算即可求得.【詳解】由向量的投影計算公式可得，_ab 13 一 夜一故d在上的投影向量為=lG =e

10、=e b <3故選:A.【點睛】本題考查向量的投影計算公式，屬基礎題.4. B【分析】 分別計算出四個向量的模，根據模長為1,可得出單位向量的個數.【詳解】= Jlg2 + lg5 = Jlg(2x5) = 1，/ a = J(cos8/ +(-sin 町=!cos2 0 + sin2 0 = 1, b(12 xl 2)c =J(2、y+(2個)2 =+4-* N 也，4 J4-X = & ¥ 1,i =yl(-x)2+x2 =72x2-2x + 1 =因此，Z和成都是單位向量，故選：B.【點睛】本題考查單位向量概念的理解，以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.5

11、. D【分析】根據向量的坐標運算求得2再計算模長即可.【詳解】由題意得7B = 2x(l) + 4x2 = 6,所以3 = (2,4) 6(1,2) = (8,8),所以 12= 18?+(-8尸=8 貶.故選：D【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算以及模長公式，屬于基礎題型.6. B【分析】利用數量積定義，利用0+251=+2b)2，求解即可.【詳解】va = (2,0),lSl=l,向量鼠與B的夾角為60、.別=M+O? = 2,1石=同忖8$60" =1,:la + 2b 1=癡 + 涕尸=JbFmiW 毋力否=20，故選B.【點睛】本題考查了向量的模，一般處理的方式是把模平方

12、，再結合向量的夾角能求出向量的數量積, 計算即可求模，考查了運算能力，屬于中檔題.7. C【解析】注意到兩向量的縱坐標都為2,所以借助坐標系如圖，S = -(l + 4)*2 = 5 ,或者注意到AC.BD = 0分為四個小直角三角形算面積.2【考點定位】本題的處理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的轉化還是屬于容易 題.8. C【解析】 試題分析：由題意得，2萬35 = (2攵-3,-6)忑=(2,1),因為(2G3B)_L乙，所以 (24一35). = 4攵一6-6 = 0,解得攵=3,故選C考點：向量的坐標運算.9. C【解析】 試題分析：根據題意，由于I： 1=1.1 了 1=2

13、,且。萬o3亍=0 =(萬+ 5)五=0 Q萬？ +5萬=0»結合向量的數量積公式可 知= |研同cose,解得其向量瓦，的夾角為120。，故選C.考點：向量的數量積點評：主要是考查了向量的數量積的垂直的充要條件的運用，屬于基礎題.10. B【分析】根據n-BC = n- < AC-AB)="衣一萬而，利用兩個向量的數量積公式和已知條 件求得結果.【詳解】n*BC = n*( AC-AB)=n*AC-n*AB (2，1) (3, - 1) =7 - (6 - 1) =2, 故選：B.【點睛】本題主要考查平而向量基本定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎題.11. C【解析

14、】試題分析：向量萬=(x,l),5 = (1, yc = (2,-4)且1 _L己方/乙/.2x-4 = 0=> = 2, lx(-4)-2y = 0=y = -2,從而 n + b = (2,1) + (1, 2) = (3,-1)»因此M +方卜丹 +(-1)2 = Vio,故選c.考點：1.向量的模；2.向量的平行與垂直.12. C【分析】利用坐標表示出2。+B和1-B，根據向量夾角公式直接求解即可得到結果.【詳解】由題意得：2ci+B=(3,3), dB=(0,3), 大廠一廠 _儂 + 外,一5)_ 3xO + 3x3 _x/22己 + 可卡-5V9 + 9xV0 +

15、 92又<2d+B,ci一方>e0,：.<2ci + b,a-b >= ?本題正確選項：C【點睛】本題考查利用向量數量枳和模長求解向量夾角的問題，關犍是能夠熟練掌握向量數量積和模長的坐標運算.13. D【分析】計算出向量£+6的坐標，然后利用向量模的坐標運算結合三角函數的值域求出口+可的取 值范囿【詳解】-6/ = (1,0), B = (cose,sin£),6/+5 = (l + cos,sin),c汽九八,： 8 e , /. 0 < cos < 1,L 2 2ja + h = J(l+cos8) +sin2 0 = 12 + 2c

16、os8 e忘,2，因此，口 +可的取值范圍是點,2,故選：D.【點睛】本題考查平面向量模的坐標運算，同時也考查了三角函數值域的應用，考查計算能力，屬于 中等題.14. C【詳解】由角平分線性質得BE BA I麗 I 2 , 個=.= BE = 2EC, BC = 3EC = -3CE % = -3,EC AC AC 1選C.15. C【分析】jr設向量"、B的起點均為。，終點分別為A、B ,可得出。X與x軸正方向的夾角為一， 4設向量礪與七軸正方向的夾角為6,由題意可得出;夕。且，由i = tan夕可634得出實數，的取值范圍.【詳解】7T由于NA08eo,專設向量2、B的起點均為。

17、，終點分別為A、B,可得出3與X軸正方向的夾角為一, 4設向量礪與X軸正方向的夾角為6,即B在與與斗（不與A重合）之間，'"? = tan®e 乂一,1因此，實數？的取值范圍是U（L、8），故選： / /C.【點睛】本題考查利用向量夾角的取值范圍求參數，解題時充分利用數形結合法，找到臨界位置進行 分析，可簡化運算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16. A【詳解】 由畫與礪在。d方向上的投影相同，可得：瓦即，4。+ 5 = 8 + 544"-5 = 3 .選 A.17. 3日1 /- e2【分析】根據向量在另一個向量上的投影計算公式，計算出投影，

18、即可得到投影向量.【詳解】由已知得 aQ = （2）,C/5 =（5,5）,_AB CD 15 - 372 _故血在CO上的投影向量為一同一。=萬"=一工一"故答案為：龍完 2【點睛】本題考查向量投影的坐標計算公式，屬基礎題.18. -8【分析】1 、設點M的坐標為,利用向量的坐標運算將畫.亞轉化為關于1的二次函數，利 用二次函數的性質求出市.荻的最小值.【詳解】|-(a-4)2-8,.MA-A?B = (l-x)(5-x) + l 7-x II l-x當工=4時，片取得最小值-8,故答案為：-8.【點睛】本題考查平面向量數量積的最值的計算，解題的關鍵利用設點的坐標的方法，

19、將向量的數量 積轉化為二次函數，利用二次函數的基本性質求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19, 120°【詳解】分析：先設與2的夾角為6,根據題意，易得否=一2)，將其代入伍+q-2 =藪中易得 乙4.3 = 一，進而由數量積的運算，可得cos。的值，從而可得答案.2解析：設z與2的夾角為6,a = (1,2)3 = (-2,4),則/? =2a，cos = ±S = -=，ac B 小20° <6><180 . 6> = 120故答案為：120o.點睛：要注意向量運算律與實數運算律的區別和聯系.在向量的運算中，靈活運用運算律,就會達到簡

20、化運算的目的.420. 一5【分析】先求出向量"+石的坐標，然后利用向量的模長公式得出Z+正關于/的表達式，利用二次 函數的基本性質求出卜;+;|的最小值以及對應的，值，可得出結果.4? 9【詳解】a + tb =(2+t, + 2t) f ：. a + tb = (2 + r)2 +(l + 2r)2= 5，當/ = 一：時，7 +屆有最小值之逝，故答案為：一【點睛】 本題考查向量的坐標運算，同時也考查了向量模長的最值的求解，解題的關鍵就是將a + tb轉化為二次函數求解，考查運算求解能力，屬于中等題.21. (2,4)或(-2T)【分析】設出向量的坐標，根據模長計算公式，以及向量

21、平行的坐標公式，列方程即可求得.【詳解】設/=(x,y),因為同=2遙,故可得擊2+),2 =2百,即/+)，2=20：又不/,故y = 2x；x = 2, jx = 2 聯立方程組解得，或，ly = -4. y = 4故 3 = (2,4)或 1 = (2,Y).故答案為：(2,4),(2,Y).【點睛】本題考查向量模長的坐標計算公式，以及向量平行的坐標公式，屬基礎題.22. (-3,2)【分析】OAOB = 0設點4的坐標為(x,y),可知點4位于第二象限，由題意得出。山=|。同，由此列方程 x<0組解出大、y的值，即可得出點3的坐標.【詳解】設點4的坐標為(x,y),由題意可知，點

22、4位于第二象限，則x0.2x + 3y = 0jY+),2 =而，解得< x<0x = -3 )'=2OAOB=0 由題意可得卜|。用，則有< x<0因此，點3的坐標為(3,2),故答案為：(3,2).【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，要結合條件得出兩向量之間的關系，同時要注意區分兩向量 平行與垂直的坐標形式，二者不能混淆.若"=A-,y, , b= &，乃，則al lb o xy2 x2y1 =0» "上 b =玉& + 弘為=。-23. 872【分析】由工族，利用共線向量坐標表示求出x的值，再由« +

23、到“屋斗 利用垂直向量的坐標 運算求出y的值，由此可得出麗，進而計算出向量麗 的模.【詳解】,i=(2,1), b = (x-2)a/b .,.-x=2x(-2),解得x = 4, .i = (4,2).a + Z? =(6,3), b c = (l,-2 y)，.(“ +可-c), . +可僅-c) = 6 3x(2 y) = 12 + 3y = 0 ,解得 y = -4 ,則點M(4,Y), N(5,4), .赤=(一8,8),因此，|阿=J(80+G =80, 故答案為：8人.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查共線向量以及向量垂直的坐標運算，同時也考查利用向 量模的計算，考查計算能

24、力，屬于中等題.24.【分析】根據向量概念和運算的判斷，逐一進行驗證【詳解】對于，向量不滿足消去律，錯：對于，兩向量平行的坐標表示知一2攵=6,攵=-3正確：對，在加減法構成的平行四邊形中，由幾何意義可得到所求角為三，錯：則正確的命題為 6.【分析】根據向量加法平行四邊形法則以及菱形性質得OC = tOA OBOAOB，再根據I反1=2,求3即得結果.【詳解】由題意可設反=，OA OBOAOBcos(a.b)=cib，求解出這兩個向量夾角的余弦值;第四步，根據兩個向量夾角的范圍在因為I反1=2,所以+何，=2.r=叵,即反的坐標為【點睛】 與"共線的向量為當丸0時，為同向：當/IvO

25、時，為反向：與共線的單位向量為 得；與ug，)垂直的向量為此，,一刈.與408平分線共線的向量為粉+器).26. ( ,O)kJ(O, +oo)【解析】 由題知ci+4=(l + 42 + /l), 乂夾角為銳角即小(。+腐)。，由數量積運算可得 lx(l + /l) + 2(2 + X)()即'與 =。時,，夾角為o ,舍去.故本題應填點睛：本題主要考查向量的數量積和坐標運算.求解兩個向量之間的夾角的步驟:第一步,先 計算出兩個向量的數量積;第二步，分別求出這兩個向量的模;第三步，根據公式0,句內及其余弦值,求出這兩個向量的夾角.其中當向量的夾角為銳角時無5 0,且兩向量不共線，當向

26、量的夾角為鈍角時，歷0且兩向量不共線.27.-1 2L(2,+oo)【分析】 由題意得出且與B不共線，利用向量的坐標運算可求出實數/I的取值范圍.【詳解】由于Z與B的夾角。為鈍角，則7B<o且Z與B不共線,-2A-l<0一北一2因此，實數4的取值范圍是一故答案為：(一亍2 3.2,+8).【點睛】 本題考查利用向量的夾角求參數，解題時要找到其轉化條件，設兩個非零向量2與五的夾角a-b >0ci-b <0為以”j銳角。溝行不共線，。為鈍角。油石不共線28d【分析】 由題意得出7Bvo,然后利用平面向量數量積的坐標運算得出關于加的不等式，解出不等式即可得出實數？的取值范圍.

27、【詳解】Z 與B 的夾角大于90，.二石<0，即(?-2)-(26 + 1)+(?+3)(?-2)<0,4( 4 化簡得3?2-27-8<0,解得一不<?<2,因此，實數？的取值范圍是一可，2.【點睛】本題考查平面向量的數量積，考查向量夾角的屬性與數量積符號之間的關系，解題時要根據 題中條件進行轉化，考查計算能力，屬于中等題.29. 0 = 71【分析】根據向量垂直，轉化為向量數量積為零，再根據向量的模長，求得五/，再計算夾角即可.【詳解】 因為。+ 2/；與21一垂直，故m +坊,(2萬-6)=。即2萬2+3萬名一2P =0,又同=",55故2x5 +

28、 32-2x二= 0,解得不/?= 一二： 42ab故 c0se = W7=i ab又。£0,乃,-故8 =4.【點睛】本題考查向量垂直條件的轉化，以及向量模長的求解，夾角公式，屬綜合基礎題.30. (1) fl =(2,4).(2) a (5 c) = 6, (a-b) c=(20,-10).【分析】(1)由Z與否同向，設1 =4=(%2/1)(/1>0),代入數量積>/；計算可得；(2)計算="，再根據向量的數乘運算求解.【詳解】(1)設 1 =花=(42/)(4>0),則不)/? = % +44 = 10 ,=2, .,.4 = (2,4)./c =

29、 lx2 2x1 = 0* 6/- S = 10»4G*。) = 0,= 10x(2,1)=(20,-10).【點睛】本題考查向量的數乘運算，考查向量共線的條件，考查數量積的運算.屬于基礎題.31. (1) 5=(9,12), c=(4,-3)； (2)手.【分析】(1)利用共線向量的坐標表示和垂直向量的坐標表示并結合條件"B, Z_lZ，列方程求出x、的值，可得出向量坂和Z的坐標:（2）求出前、7的坐標，利用向量數量積的坐標運算計算出向量而與向量;夾角的余弦值,由夾角的取值范國可求出這兩個向量夾角的值.3x = 4x93x4+4y=0【詳解】.4 = (3,4),。= (9，c = (4,y),且"鼠 解得(2) /m = 2a-S = 2x(3,4)-(9,12)= (-3,), 7 = "+2=(3,4)+(4,3)=(7,1),則前S = -3x7 _ 4xl = _25，二石=J(_3/+(T)2 =5, " = /+=5*, Rm n -25/2q 萬=, VO<6><，則。=亍.3兀因此，向量m與向量G的夾角為一.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，涉及共線向量、向量垂直以及利用坐標計算向量的夾角，解 題的關鍵就是將問題轉化為