1、二階導數的意義二階導數就是對一階導數再求導一次，意義如下：（1）斜線斜率變化的速度，表示的是一階導數的 變化率（如物理上的加速度等）（2）函數的凹凸性。（3）判斷極大值極小值。結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等于零，而二階 導數大于零時，為極小值點；當一階導數等于零，而二階導數小于零時，為 極大值點；當一階導數、二階導數都等于零時，為駐點。駐點的數學含義：函數的導數為o的點稱為函數的駐點，駐點可以劃分函 數的單調區間。駐點和拐點的區別在駐點處的單調性可能改變，而在拐點處凹凸性肯定改 變。拐點：二階導數為零。（且三階導不為零）駐點：一階導數為零。二階 導數為零時，一階不一定為零；一

2、階導數為零時，二階不一定為零。（拐點不一定是駐點）（駐點也不一定是拐點）、用二階導數判斷極大值或極小值定理訟 f（X）ft 0 二階可瓠且 f<x0'o-f <x0' °.f O q f % xo 輛帕幾，則“在L取得極小值.1例 試問a為何值時，函數Sy嚴在x處取得極33值？它是極大值還是極小值？求此極值.解 f (x) acosx cos3x又當0,a 2 時，f從而有a 1 o,即a 2.9(x) 2sinx 3sin3x ,且'月以f(x)2sin x；sin 3x在x，處取得極大值，且f( ) 3極大值x厲戍祈a3x2 9x，的極大值與極

3、小值.解f (x)在2, 4上連續，可導.令f (x) 3x2 6x 9 3 (x 1) (x 3) 0,得x 1和x 3,思考：f(x)在x 1取得極大還是極小值？在X 3取得極大還是極小值?f ' (x) 6x 6-1代入二階導數表達式為T2, f (x)在x 1取得極大值3代入二階導數表達式12,在x 3取得極小值 二、函數圖像凹凸定理若2在一內二階可導，則 曲線y f (x)在(a, b)內圖像是凹曲線的充要條件是f(a, b) 曲線y f (x)在要條件是f(a, b)內圖像是凸曲線的充(a., b) o幾何的直觀解釋：如果如果一個函數f(x)在某個區間I上有f(x) 0恒成

4、 立，那么在區間I上f(x)的圖象上的任意兩點連岀的一條 線段，這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。1 .曲線的凸性對函數的單調性、極值、最大值與最小值進行了討論，使我們知道了 函數變 化的大致情況.但這還不夠，因為同屬單增的兩個可導函數的圖 形，雖然從左到而圖1一2中的曲線為向上y toXf(x)位于其每點處切線右曲線都在上升，但它們的彎曲方向卻可以不同.如圖1一1中的曲線為 向下凸，圖11定義 設y f (x)在(a, b)內可導，若曲方，則稱它為在G, b)內下凸(或上凹)；若f (x)位于其每點處切線的下方, 曲線y則稱它在G,b)內上凸(或下凹).相應地，也稱函

5、數y f(x)分別為(a,b)內的下凸函數和上凸函數(通常把上凸 函數稱為凸函數)根據函數圖象判斷：一般開口向下的二次函數是凸函數，開口向上的二 次函數是凹函數。在函數f(x)的圖象上取任意兩點，如果函數圖象在這兩點之間的部分 總在連接這兩點的線段的下方，那么這個函數就是凹函數。直觀上看，凸函數就是圖象向上突出來的。比如y二-x八2, y二lnx。不過補充一下，中國數學界關于函數凹凸性定義和國外很多定義是反 的。Convex Function在國內的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函 數。在國內涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和國外的提法是一致 的，也就是和單純的數學教

6、材是反的。很頭大的問題。另外，國內各不同學科教材、輔導書的關于凹凸的說法也是相反的。般來說，可按如下方法準確說明:1. f ( X xl+- (XI 向原點”，或“下凸”2> f ( X xl -(入 1 向原點”，或“上凸”為“凸為“凹)x2) <= X f (xl) +- X (1) f (x2),即 V 型, (也可說上凹)，(有的簡稱凸，有的簡稱凹)x2) >= X f (xl) +- X (1) f (x2), 即 A 型, (下凹)，(同樣有的簡稱凹，有的簡稱凸)凸/凹向原點這種說法一目了然。上下凸的說法也沒有歧義。通常我們把函數f的圖象畫在第1象限，站在x坐標軸

7、的角度，看上 方的圖象，f>0的函數是“凸”的；一代宗師Hardy的Inequalities 書中就這么認為的。但是，當大官是往往站在咼處，看下去就是凹的；國人 文字“凹”也對應f>0的函數圖象。我想：中國教育部的官員若下規定的 話，必定與Hardy相反。從圖11和圖12明顯看岀，下凸曲線的斜率tan f (x)(其中為切 線的傾角)隨著X的增大而增大，即f ( X)為單增函數；上凸曲線斜率f(X) 隨著X的增大而減小，也就是說，f (x)為單減函數.但f(X)的單調性 可由二階導數f(X)來判定，因此有下述定理.定理若f(x)在(a, b)內二階可導，則曲線y f(x)在(a,b

8、)內下凸(凹函數)的充要條件是f (x) 0x (a, b) 2例1討論高斯曲線y e 的凸性.解 y 2xex, y 2(2x2 l)e x 所以當2x2 10 ,即當x ,或x 巴 0；當2x2 1 o ,即當 x ：時y o因此在區間（j與（，）內曲線下凸；在區間0 :）內曲線卜 導數的意義導數是高中數學的新增內容之一，在高中階段的引入意義深遠，利用導 數既可從更深的角度來研究函數性質，又可更廣泛地聯系其他學科，體現 數學學科的基礎性。、一階導數的幾何意義與物理意義1）函數在點處的導數的幾何意義：表示曲線 在點處的切線的斜率2）函數在點處的導數的物理意義：指函數 在 處對自變量x的變化率

9、。在很多物理量中都是借助變化率定義的。例如，角速度是角度（作為時間的函數）對時間的變化率；電 流 是電量（作為時間的函數）對時間的變化率；瞬時功率是功（作為時間的 函數）對時間的變化率；瞬時電動勢是磁通量（作為時間的函數）對時間的 變化率。最常用的是瞬時速度，若S = S （t ）,則物體在時刻的瞬時速 度O二、二階導數的物理意義函數的二階導數指對自變量X的變化率。在物理量中最常用的為瞬時加速度，若則物體在t時刻的加速度、與的意義(1)的意義：若函數在某個區間內可導，表示在這個區間內為增函數；(2)的間義：若函數在某個區間內可導，表示在這個區間內為減函數。四、的意義的意義：如果在某個區間內恒有，則為常函數。是有極值的 必要條件。(1)求極值。求可導函數 的極值步驟：1求導數2求方程的根；3檢查在方程根左右的值的情況，如果