1、實用文檔二次函數綜合題型精講精練主講：姜老師題型一：二次函數中的最值問題例1:如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A (- 2, -4), O (0, 0), B (2, 0)三點.(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OMJ最小值.y=ax2+bx+c 中，得解析：(1)把A ( - 2, - 4), O (0, 0), B (2, 0)三點的坐標代入ir4a - 44a+2b+c=0L匚二。解這個方程組，得 a=-, b=1, c=02所以解析式為y= - -x2+x.2(2)由 y= - -x2+x= -1 (x 1

2、) 2+1,可得2|2|2拋物線的對稱軸為 x=1,并且對稱軸垂直平分線段OBOM=BMOM+AM=BM+AM連接AB交直線x=1于M點，則此時 OM+AMI:小過點A作ANL x軸于點N,_在.小如中，ab=扁有N7P=4歷，因此om+ami小值為<方法提煉：已知一條直線上一動點M和直線同側兩個固定點 A B,求AM+BMt小值的問題，我們只需做出點A關于這條直線的對稱點 A',將點B與A'連接起來交直線與點 M那么A B就是AM+BM勺最小值。同理，我們也可以做出點 B關于這條直線的對稱點 B',將點A與B'連接起來交直線與點 M那么AB'就是

3、AM+BM勺最小值。應用的定理是：兩點之間線段最短。標準文案AA:B；MAIl、*例2:已知犧物線C1的函數解析式為2ax bx z3a 0的兩根為為,I /(1)由i物線C1的頂點坐標. II(2)已知實數x 0,請證明：B 或者2y ax bx 3a(bx2，且 與 x24。MB：0),若拋物線 C疝過0(0,3),方程(3)若拋物線先向上平移1一一 1x >2,并說明x為何值時才會有x 2.xx4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線 C2，設A(m, y1), B(n,y2)是C2上的兩個不同點，且滿足：AOB 90°, m 0, n 0.請你用含有S,并求出S的最小值

4、及S取最小值時一次函數 OA的函數解析式。解析：(1);拋物線過(0 ,3)點， 3a=3m的表達式表不出4AOB的面積a= 1y = x? + bx 3x2+ bx 3 = 0 的兩根為 x1, x2且 x1 - x2 =4x x24(x1 x2)2 4x1x2 =4 且 b< 0. b= 2，y=x22x3=(x1) 2 - 42.'2m=1)拋物線C 1的頂點坐標為(1, 4)一、11 、2(2). x>0, . x 2 (、”-)0x, x1 c -1x 2,顯然當x=l時，才有x - 2, xx(3)方法一：由平移知識易得C2的解析式為：y = x2A(mi m2

5、) , B (n, n2) A AO斯 Rt A .ON +OB" =ab? . mi +mi + n2 + n4 = ( m- n) 2 + (mJ n,) 2化簡彳導:m n= - 1-11 S aaoe=OA ? OB = v m22m n= - 1 -1-22 S AAOEB= -2 m n2_ 1 ；1«=2(m m) S AAOB的最小值為1 ,此時直線OA勺一次函數解析式為方法提煉：已知一元二次方程兩個根x1,x 2,求|x 1-x2|。因為|x 1-x2| = J(xx2)24x1x2根據一元二次方程的求 根公式x1b "b2 4ac；x2b &q

6、uot;b2 4ac；可得到:2a2abcx1 x2； 22aa1 ，.一，1m 2, (m o);當m 1時，m 2取得取小值。 mm例3:如圖，已知拋物線經過點 A (- 1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三點.(1)求拋物線的解析式.(2)點M是線段BC上的點(不與 B, C重合)，過M作MM y軸交拋物線于N,若點M的橫坐標為 m,請用m的代數式表示 MN的長.(3)在(2)的條件下，連接 NB NC是否存在 m,使 BNC的面積最大？若存在，求 m的值；若不存在， 說明理由.解析：(1)設拋物線的解析式為：y=a (x+1) (x-3),則：a (0+1) (0- 3)

7、=3, a=T;，拋物線的解析式：y= - (x+1) (x-3) = - x2+2x+3.(2)設直線BC的解析式為：y=kx+b ,則有：才fk=-l解得故直或BC的解析式：y= - x+3.已知點 M的橫坐標為 m,則M (m, - m+3、N (m, - m2+2m+3 ；. 故 MN=- mf+2m+3- (- m+3) = - m2+3m (0vmK 3).(3)如圖；" BN=Samn+S；amn=J-MIN(OD+DB =_mnx or- Sa bn(=-1 (m2+3mj) x 3=芭(m當mW時， BNC的面積最大，最大值為2置(0< m< 3);22

8、1方法提煉：因為 BNCW面積不好直接求，將 BNCW面積分解為； M . 的面積表示出來，得到一個關于 m的二次函數。此題利用的就是二次的數余旦)口向下時，在頂點處取得最大值；當二次函數的開口向上時，在頂點處取抵毒 題型二：二次函數與三角形的綜合問題例4:二點'八 ''如圖，已知：直線yx 3交x軸于點A,N.X-MNB勺面積和。然后將 BNC 直面恿明/當二次函數的開交y軸于點B,拋物線y=ax2+tx+c經過A B、C(1, 0)坐標;(1)求拋物線的解析式(2)若點D的坐標為(5-1,0),在直線yx 3上有一點P,使AABO與AADP1似，求出點 P的(3)在

9、(2)的條件下,在x軸下方的拋物線上,的面積等于四邊形 APCEW面積？如果存在，請求出點 請說明理由.解：(1):由題意得,A (3, 0), B (0, 3)拋物線經過 A B、C三點，把 A (3, 0) , B (0,2ax+ bx+ c得方程組9a3b學圖iD B是否存在點E,使A ADE E的坐標;工如果不存在，3) , C (1解得:.拋物線的解析式為(2)由題意可得：2x - 4x+ 3ABO為等腰三角形，如圖所示,若ABS APD,則AOADOBDPi.DR=AD=4 ,.Pi(- 1,4)若4ABS ADP ,過點 P2作 P2 Ml x 軸于 M AD=4,ABO為等腰三

10、角形，. ADP是等腰三角形，由三線合一可得：DM=AM=2= 2M即點M與點C重合P2 (1, 2)(3)如圖設點E (x,y),則C1，S ADE 2 AD 1y | 21y |當Pi(-1,4)時，S 四邊形 AP1CE=SaACP1+aACE2 |y|=4+ |y2 y = 4 + |y y = 4.點E在x軸下方 y = - 4代入得：x2- 4x + 3 = - 4，即 x24x 7. =(-4) 2-4X7=-12<0此方程無解當P2 ( 1 , 2)時,S四邊形AP2C=S三角形ACP+S三角形ACE =2 y = 2+ y y = 2.點E在x軸下方即 x2 4x 5

11、0 . y = - 2 代入彳導:x2 =(-4) 2-4 X 5=-4<04x+ 3 = - 2此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E。方法提煉：求一點使兩個三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般需要分類討論，然后根據兩個三角形相似的邊長相似比來求點的坐標。要求一個動點使種情圖形面積相'等，我們一般是設出這個動點的坐標，然后根據兩個圖形面積相等來求這個動點的坐標。三/口平圖形面積直 接求不好求的時候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個容易求解的圖形。例5:如圖，點A在x軸上，OA=4將線段OA繞點O順時針旋轉120° |至OB的位置.(1

12、)求點B的坐標；(2)求經過點A. O B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、。B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,求點P的坐標；若不存在，說明理由.解析：(1)如圖，過B點作Bdx軸，垂足為 C,則/ BCO=90 ,. Z AOB=120 ,/ BOC=60 ,又 OA=OB=4.OCOB=X 4=2, BC=O? sin60 ° =4X/=2/5, 囪22.點B的坐標為(-2, - 2/5);(2)二.拋物線過原點，可設拋物線解析式為將 A (4, 0), B ( 2.此拋物線的解析式為O和點A. B,y=ax2+bx,-2A耳)代入，得:

13、;2y= -x6(3)存在,如圖，拋物線的對稱軸是 x=2,直線x=2與x軸的交點為D,設點P的坐標為(2, y),若OB=OP則 22+|y| 2=42,解得y= ± 2%醫，l當 y=24與時，在 RtPOD中，/ PDO=90 , sin / POD=°=W,/ POD=60 ,/POBh POD吆 AOB=60 +120° =180° ,即P、O B三點在同一直線上，y=2 -不符合題意，舍去，.點P的坐標為(2, - 2肥)若 OB=PB 則 42+|y+2 百| 2=42,解得y=- 2叵,_故點P的坐標為(2, - 2、回,若 OP=BP

14、貝U 22+|y| 2=42+|y+2：'| 2,解得y=- 2內，_故點P的坐標為(2, - 2 J&),綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為(2, - 2、后),方法提煉：求一動點使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因為要使一個 三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個邊相等就可以，所以應該分三種情況來討論。y= x2+2x+3 與 x 軸交于 A.C向運動,拋物線上鳥Q的，T題型三：二次函數與四邊形的綜合問題也與y軸交于例6:綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 點C,點D是該拋物線的頂點.(1)求直線AC的解析式及B, D兩點的

15、坐標；(2)點P是x軸上一個動點，過 P作直線l /AC交拋物線于點 Q,試探究：隨著P請宜按寫出辨是否存在點 Q使以點A. P、Q C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在, 坐標；若不存在，請說明理由.(3)請在直線 AC上找一點M使 BDM勺周長最小，求出 M點的坐標.解析：(1)當 y=0 時，x2+2x+3=0,解得 xi = - 1 , x2=3.點A在點B的左側,. .A. B的坐標分別為(-1, 0), (3, 0).當 x=0 時，y=3 .C點的坐標為(0, 3)y=ktx+b1 (匕金0),設直線AC的解析式為二 3則，l-kjb尸直線AC的解析式為y=3x+3.y= - x

16、2+2x+3= - ( x- 1) 2+4,頂點D的坐標為(1,4).(2)拋物線上有三個這樣的點Q,當點Q在Q位置時，Q的縱坐標為3,代入拋物線可得點 Q的坐標為(2, 3);當點Q在點Q位置時，點Q的縱坐標為-3,代入拋物線可得點 Q坐標為(1+百，-3);當點Q在Q位置時，點Q的縱坐標為-3,代入拋物線解析式可得，點Q的坐標為(1-巾，-3);綜上可得滿足題意的,仁 Q有三個，分別為：Q (2, 3) , Q (1/，-3), Q3 (1 W, 3).(3)點B作BB' ± AC于點F,使B' F=BF,則B'為點B關于直線 AC的對稱點.連接B'

17、; D交直線AC與點M則點M為所求，過點B'作B' Ex軸于點E./ 1和/ 2都是/ 3的余角，1 = /2.實用文檔OB=3 OC=3一二竹 E 二加二 2g，即，I TTo,.B' E=-J, BE=-J, OE=B曰 OB.-3=1.By EBE-125.B'點的坐標為(-215設直線B' D的解析式為y=k2x+b2 (k2W0).C1,OJ聲圖ik2+b2=42L 12解得，直線B'D的解析式為:聯立B'D與AC的直線解析式可得:48, 3解得g,¥=35132' y= y菸yDB-r-，M點的坐標為(蔡I3

18、2J 435實用文檔Rt AOC- RtAAF. co CABF AB由 A ( 1, 0) , B (3, 0) , C (0, 3)得 OA=1,由/1 = /2 可得 RtAAOCC RtAB' EB,AD CO CA方法提煉：求一動點使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三 種情況來討論。題型四：二次函數與圓的綜合問題0).若例7:如圖，半徑為2的。C與x軸的正半軸交于點 A,與y軸的正半軸交于點 B,點C的坐標為(1,拋物線y x2 bx c過A、B兩點.3(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在點 P,使彳導/ PBOW POB若存

19、在，求出點 P的坐標；若不存在說明理由；(3)若點M是拋物線(在第一象限內白部分)上一點，MABW面積為S,求S的最大(小)值.標準文案解析：(1)如答圖1,連接OB. BC=2 OC=1 OB= . 4-1:3B (0, V3)將 A (3, 0),B (0, J3 )代入二次函數的表達式 y后9333x33b c 0,解得:i,與拋物線的交點即為點P.(2)存在.如答圖2,作線段OB的垂直平分線. B (0,智圖2小),O (0,的表達式為y0),3-代入拋物線的表達式,2解得xP (13 2 2 3x x33-101 Z103,一).22吉到3c cc c 1貝SaMAB=S 梯形 MB

20、O+Sx MHk SOA=一2(3)如答圖3,作MHL x軸于點H.設 M( xm, ym ),(MH+OB? OH+1 HA? MH- 1 OA? OB22=1( ym2-3=xm23一ym21、(3 xm) ym23 .32ym.32.3x-Swab2 xm立xm23.32(32xm3 (xm2辭 xm、3)1)2 9.3.3 一 當Xm 時，Smab取得取大值，取大值為2題型五：二次函數中的證明問題3.39.31 ,例8:如圖11,已知一次函數 y (x 2)(ax b)的圖像過點A(-4 , 3) , B(4484).(1)求二次函數的解析式：(2)求證： ACB是直角三角形；(3)若

21、點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點 P作PH垂直x軸于點H, 為頂點的三角形與 ABC相似？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請 說明理由。是否存在以 P、H、口解：(1)將 A(-4 ,3) , B(44)代人y4a-b724a b32解得1 ,一(x 2)(ax b)中，整理得:4813-201二次函數的解析式為:(x 2)(13x-20)整理得:4813x4813 2x48-x整理 13x26x-40 0 x12,x22013C (-2, 0)AB從而有：AC2=4+92=64+1=65ac2+ bc2=aB"BC2=36+16 AC 2+D (20,0)132_BC

22、 =13+52=65(3)設p(x13x2PH=故 ACB是直角三角形4813 2一 x48x-)HD=當 PHD ACB時有:13 2x即：481350(X<0)20- x13PHAC20- x13Xi13,50 35、P1 (，)13 13x22、1320 人一(舍去)13AC= 13 BC= 2 13HDBC整理此時,13 2一 x24y15125 6一 x- 04393513-DH PH當 DH的 ACBAC BC即:20x13J313 215x x 48862 .13整理13 2x4817x -830558122Xi13,122 284、p2(')13 13X22013

23、284（舍去）此時，y1 73-50 35、122 284綜上所述，滿足條件的點有兩個即p1（-20,25）p2（-* 型）13 1313 13例9:在平面直角坐標系 xOy中，點P是拋物線：y=x2上的動點（點在第一象限內）.連接OP,過點0作 OP的垂線交拋物線于另一點Q.連接PQ交y軸于點M.彳PA± x軸于點A,QB±x軸于點B.設點P的橫坐標為m（1）如圖1,當m=歷時，求線段 OP的長和tan / POM勺值；在y軸上找一點C,使 OC%以OM腰的等腰三角形，求點 C的坐標；（2）如圖2,連接AM BM分另1J與 OP OCt目交于點D、E.用含m的代數式表示點

24、 Q的坐標；求證：四邊形 ODME1矩形.解析：(1)把 x=V£代入 y=x 2,得 y=2 , P (:值,2),OP=/6PA± x軸,設Q (n,AP 2PA/ MOtan / P0M=tanZ 0PAn2),tan / QOB=tanZ POM ”- n= _Va . n -n 22.Q(一近,1),OQ=L?.G (0,V32歸 2當OQ=OC時，則C (0,小),2當 OQ=CQ時，則 C3 (0, 1).(2): P ( m, mf),設 Q (n, n2),.金手彳導 n=- A, q( -1,印 K n rr設直線PO的解析式為：y=kx+b,把.APS

25、 BO(Q .里上! AO AP12).P ( m)2 i 1m - juik+b -Id-b311解得 b=1, M (0, 1).QB 0B L 二=-MO A0。,/ QBOh MOA=90 , .QBS AMOAm2）、Q（工，士）代入，得:/ MAO= QOBQO/ MA同理可證：EM/ OD又. / EOD=90 ,，四邊形ODM層矩形.題型六：自變量取值范圍問題例10:如圖，在平面直角坐標系 xOy中，四邊形ABC比菱形，頂點A. C. D均在坐標軸上，且AB=5, sinB=_l .5(1)求過A. C. D三點的拋物線的解析式； 記直線AB的解析式為yi=mx+n，(1)中拋

26、物線的解析式為 y2=ax2+bx+c,求當yiy2時，自變量x的 取值范圍；(3)設直線AB與(1)中拋物線的另一個交點為E, P點為拋物線上 A. E兩點之間的一個動點，當 P點在何處時， PAE的面積最大？并求出面積的最大值.解析：(1)二.四邊形ABCD菱形，1. AB=AD=CD=BC=5sinB=sinD二;5Rt OCD43, OC=CD sinD=4 , OD=3OA=AD- OD=2 即：A (- 2, 0)、B ( -5, 4)、C (0, 設拋物線的解析式為：y=a (x+2)2X (- 3) a=4, a=-2。3，拋物線：y二-42+Wx+4.由 A (- 2, 0)、B (- 5, 4)由(1)得：y2=-當2+4+4, 則:3 3得直線AB: y 1 =-4)、D (3, 0);(x - 3),得：x -解得:由圖可知：當y1y2時,32vxv5.(3)S>AAPE-AE? h,2，當P到直線AB的距離最遠時，Saabc最大；若設直線L/ AB,則直線L與拋物線有且只有一個交點時，該交點為點 設直線L： y=-x+b,當直線L與拋物線有且只有