1、第第5章章 桿件的內力分析與內力圖桿件的內力分析與內力圖第一節第一節 內力及截面法內力及截面法外力分為： 體積力：作用在物體整個體積上，是非接觸力。 表面力：作用在物體表面上，是接觸力。 常見的是：分布力，集中力，約束力（限制物體運動 的力）等。1. 外力：其它物體對所研究物體（這兒指桿件）的作用。又稱外載，荷載，載荷。內力的三個概念：（1 1）附加內力：只研究由外力作用而引起的那部分內力。）附加內力：只研究由外力作用而引起的那部分內力。（2 2）連續分布：在研究物體內處處存在，無間斷即是分布內力。）連續分布：在研究物體內處處存在，無間斷即是分布內力。（3 3）截面上分布內力的合力：我們指的內

2、力是指分布內力的合力）截面上分布內力的合力：我們指的內力是指分布內力的合力。2. 內力：物體內部原子相互作用的力。3. 暴露內力的方法- 截面法用截面法求內力的三步驟： （1）截開； （2）代替； （3）平衡求內力的三步驟：截開、代替、平衡（1）截截開開：在需要求內力的截面處，假想地假想地將桿截成二部分；（2）代代替替：將兩部分中的任一部分留下，并把棄去部分對留下部分的作用代之以桿在截開面上的內力內力（力力或力偶力偶）； 【可見內力就是物體兩部分之間的相互作用力。】（3）平衡平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據其上的已知外力算得截開面上的未知內力。注意：在使用注意：在使用截面法截面法之前之前不

3、允許不允許使用使用力的可移性原理力的可移性原理，因為將外力移動后，因為將外力移動后就改變了桿件的變形性質，內力也隨就改變了桿件的變形性質，內力也隨之改變。之改變。 第二節第二節 軸力與軸力圖軸力與軸力圖一一. . 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸和壓縮的概念此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為拉桿拉桿或或壓桿壓桿。受力特點：直桿受到作用線與軸線重合的外力受力特點：直桿受到作用線與軸線重合的外力F作用。作用。變形特點：桿件發生縱向伸長或縮短。變形特點：桿件發生縱向伸長或縮短。F F F F 截面法是求構件內力的基本方法。一般可分為三個步驟為：截面法是求構件內力的基本方

4、法。一般可分為三個步驟為：FFFFN1.1.截截: : 沿沿mm橫截面假想地將桿橫截面假想地將桿 截開成兩部分；截開成兩部分；2.2.留留: : 留下桿件的任意部分為研究留下桿件的任意部分為研究 對象，將棄去部分對留下部對象，將棄去部分對留下部 分的作用用內力代替；分的作用用內力代替；3.3.平衡平衡: : 對留下部分寫平衡方程求對留下部分寫平衡方程求 出內力。出內力。 0XFFNN0FFNFFmm由于由于拉、壓桿所受的拉、壓桿所受的外力作用線外力作用線與桿件的軸線重合，內力的作用與桿件的軸線重合，內力的作用線也與桿件的軸線重合，所以稱線也與桿件的軸線重合，所以稱為為軸力軸力FN。 （1）當作

5、用于桿上的集中外力的個數多于兩個時，需要對）當作用于桿上的集中外力的個數多于兩個時，需要對桿進行桿進行分段分段，再用截面法求出各段的軸力，最后做出整個桿，再用截面法求出各段的軸力，最后做出整個桿件的件的軸力圖軸力圖。 （2）軸力圖中：橫軸代表橫截面位置，縱軸代表軸力大小。）軸力圖中：橫軸代表橫截面位置，縱軸代表軸力大小。 標出軸力值及正負號（一般：標出軸力值及正負號（一般：正值正值畫在橫軸畫在橫軸上方上方，負值畫在負值畫在橫軸下方橫軸下方）。）。（3）軸力只與外力有關，截面）軸力只與外力有關，截面形狀變化不會改變軸力大小。形狀變化不會改變軸力大小。FNx軸力圖軸力圖表示軸力沿桿件軸線變化規律的

6、圖線。表示軸力沿桿件軸線變化規律的圖線。注意：在使用注意：在使用截面法截面法之前之前不允許不允許使用使用力的可移性原理力的可移性原理，因為將外力移動后，因為將外力移動后就改變了桿件的變形性質，內力也隨就改變了桿件的變形性質，內力也隨之改變。之改變。 例題例題2.1 已知 F1= 10 kN；F2 = 20 kN；F3 = 35 kN；F4 = 25kN；試畫出圖示桿試畫出圖示桿件的軸力圖。件的軸力圖。 0XN110FFFN1F1解：解：1 1、計算桿件各段的軸力。、計算桿件各段的軸力。F3F2F1F4ABCDABAB 段段N21210 kNFFF BCBC 段段FN3F4FN2F1F2N221

7、0FFFkN圖NFx2510112233N1110 kNFF 0X段CDN3425 kNFF2、繪制軸力圖、繪制軸力圖。 0X4N30FFkNNF_10軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮軸力及軸力圖例例 試作圖示桿的軸力圖。試作圖示桿的軸力圖。求支反力求支反力kN10RF解：解：A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 6003005004001800FR 22 F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144注意假設軸力為拉力注意假設軸力為拉力拉）(kN101NF橫截面橫截面1-11-1：拉）(kN50N2F橫截面橫截面2-22-2：FR

8、 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144FRFN1 11A FRF1 FN2A B 22此時取截面此時取截面3-33-3右邊為分離體方便，右邊為分離體方便，仍假設軸力為拉力。仍假設軸力為拉力。拉）(kN204NF橫截面橫截面3-33-3：壓）kN(53NF同理同理FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144F3 F4 FN3 33D E F4 FN4 44E 由軸力圖可看出由軸力圖可看出kN502Nmax,N FF20105FN圖圖(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2

9、=55kNF1=40kNA B C D E 33114450 x例例: 作圖示桿件的軸力圖，并指出作圖示桿件的軸力圖，并指出| FN |max | FN |max=60 kNFN2= 660kNFN1=30kN1130kNFN160kNFN圖圖 30kN 0XN1300F解：解：1 1、計算桿件各段的軸力。、計算桿件各段的軸力。ABAB 段段BCBC 段段N2600F 0X2、繪制軸力圖、繪制軸力圖。 90kN60kN30kNABC22112260kNFN2+ 第三節第三節 扭轉和扭矩圖扭轉和扭矩圖汽車傳動軸汽車傳動軸一一. 扭轉的概念扭轉的概念 圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉動；圓桿各橫截面

10、繞桿的軸線作相對轉動； 桿表面上的縱向線變成螺旋線。桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點受力特點：圓截面直桿受到作用面位于橫截面內的外力偶作用。圓截面直桿受到作用面位于橫截面內的外力偶作用。變形特點變形特點：Me Me 二二. . 傳動軸上外力偶矩的計算傳動軸上外力偶矩的計算轉速轉速：n(轉轉/分分)輸入功率輸入功率：P(kW)Me1分鐘輸入功：分鐘輸入功：PPW600001000601分鐘分鐘me作功作功eeenMnMMW2) 12(WW mN9550nPMe三三. . 截面法求扭轉時的內力截面法求扭轉時的內力 - -扭矩扭矩 圓軸受扭時其橫截面上的內力偶矩稱為圓軸受扭時其橫截面上的內力偶矩

11、稱為扭矩扭矩，用符號用符號T表示。表示。 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法來確定。來確定。 仿照軸力圖的做法，可作仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖扭矩圖，表明沿桿軸，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。線各橫截面上扭矩的變化情況。扭矩扭矩T的的正負正負規定規定右手螺旋法則右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向為右手拇指指向外法線方向為 正正(+), (+), 反之為反之為 負負(-)(-)例例 一傳動軸如圖，轉速一傳動軸如圖，轉速n = 300r/min； 主動輪輸主動輪輸入的功率入的功率P1= 500kW，三個從動輪輸出的功率分，三個從動輪輸出的功率分別為：別為： P2= 150kW， P

12、3= 150kW， P4= 200kW。 試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 首先必須計算作用在各輪上的外力偶矩首先必須計算作用在各輪上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31MmkN78. 4mN)3001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD分別計算各段的扭矩分別計算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN)(322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩圖扭矩

13、圖Tmax = 9.56 kNm 在在BC段內段內M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 圖(kNm)第四節第四節 彎曲內力和內力圖彎曲內力和內力圖橋式吊梁橋式吊梁1一一. . 平面彎曲的概念平面彎曲的概念鏜刀桿鏜刀桿火車輪軸火車輪軸彎曲特點彎曲特點 以彎曲變形為主的桿件通常稱為以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁梁二二. 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖、梁的剪力和彎矩、梁的剪力和彎矩lalFFA取左側分離體分析任一橫截面取左側分離體分析任一橫截面m-m上的內力上的內力lalFFFASlFaFBxlalFxFMAmmxaABF FBFAFAFSyAmmx

14、xCM 0yF0CM由其右邊分離體的平衡條件同樣可得由其右邊分離體的平衡條件同樣可得 0yF0CMlalFFFFBS0SBFFF0 xlFxaFMB切向應力的合力，切向應力的合力，稱為稱為剪力剪力法向應力的合力，稱為法向應力的合力，稱為彎矩彎矩xlalFxaFxlFMBFBammxABF FAFAFSyAmmxxCMMFSmF mBCFB 剪力剪力-正負號規定：使梁有正負號規定：使梁有左上右下左上右下錯動趨勢的剪力錯動趨勢的剪力為為正正，反之為負，反之為負(左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正下為正)；或繞截面內一點；或繞截面內一點順時旋轉順時

15、旋轉的剪力為的剪力為正正（反之為負）（反之為負） 彎矩彎矩M正負號規定：使梁變形呈上凹正負號規定：使梁變形呈上凹下凸下凸的彎矩為的彎矩為正正，反之為負反之為負(梁梁上壓下拉上壓下拉的彎矩為正的彎矩為正)。剪力剪力Fs和彎矩和彎矩M的符號規則：的符號規則：FSFSFSFS剪力為剪力為正正剪力為負剪力為負MMMM彎矩為正彎矩為正彎矩為負彎矩為負例例 求圖示外伸梁在截面求圖示外伸梁在截面11、22、33和和44橫截面上的剪力和彎矩。橫截面上的剪力和彎矩。解：支反力為解：支反力為 0yF0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me =3FaF

16、BFA截面截面11 0yF 01CM01aFM) (1順順FaMFF1S截面截面22 0yF 02CM02aFM) (2順順FaM02SFFFAFFFFA22SM1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面3303aFaFMA) (3逆逆FaMFFFB24S截面截面4404aFMB) (24順順FaM03SFFFAFFFFA23S xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB41 1、截面左側梁段、截面左側梁段 向上的外力向上的外力正剪力正剪力正彎矩正彎矩 順時針外

17、力偶順時針外力偶正彎矩正彎矩 截面右側梁段截面右側梁段 向上的外力向上的外力負剪力負剪力正彎矩正彎矩 順時針外力偶順時針外力偶負彎矩負彎矩內力內力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F2、在集中力作用處，剪力值發生突變，突變值、在集中力作用處，剪力值發生突變，突變值=集中力大小；集中力大小；在集中力偶作用處，彎矩值發生突變，突變值在集中力偶作用處，彎矩值發生突變，突變值=集中力偶矩大小。集中力偶矩大小。內力內力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me

18、=3FaFA=3FFB =-2F、剪力方程和彎矩方程、剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規律的圖形則顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規律的圖形則分別稱為分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。)(SSxFF )(xMM 剪力方程剪力方程彎矩方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變力和彎矩隨截面位置變化的函數式化的函數式 q解：解：任選一截面任選一截面x ，寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxqll由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為:qlFSmax

19、2/2maxqlM例例: :懸臂梁受均布載荷懸臂梁受均布載荷q作用。作用。試寫出剪力和彎矩方程，試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。并畫出剪力圖和彎矩圖。qx xM xFS例例 圖示簡支梁受集中荷載圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0 xBlAF abCFBFAFAxAM(x

20、)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFalMxFablF BlAabC由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，彎在集中力作用點，彎矩圖發生轉折，剪力矩圖發生轉折，剪力圖發生突變，其突變圖發生突變，其突變值等于集中力的大小，值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向沿集中力作用的方向。方向。三三. . 彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關系及其應用彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關系及其應用 0yF xqxxFddS0CM xFxxMSd

21、d xxqxFddS 02ddddSxxxqxxFxMxMxM xxFxMddS 0ddSSSxxqxFxFxF略去略去mmnnmmCnnq(x) FS(x) M(x)M(x)+dM(x)OF yxMe q(x)xdxFS(x)+dFS(x) xqxxM22dd xqxxFddS xFxxMSddq(x)、FS(x)、M(x)間的微分關系間的微分關系其中分布荷載集度其中分布荷載集度 q(x) 以以向上向上為為正正，向下為負。，向下為負。OF yxMe q(x)1. 微分關系的幾何意義：微分關系的幾何意義：)()(SxqdxxdF 剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度q的大小 。 )()(

22、SxFdxxdM彎矩圖上某點處的切線斜率斜率等于該點剪力的大小。 )()(22xqdxxdM在M圖正向向下時，M 圖的凸向與q方向一致。3. 彎矩、剪力與分布荷載集度之間的彎矩、剪力與分布荷載集度之間的積分關系積分關系 及幾何意義及幾何意義BAXXBASxxqxFd)()(dBAXXSASBxxqFFd)( 任何兩個截面上的剪力任何兩個截面上的剪力之差之差，等于這兩個截面間梁段上的荷載等于這兩個截面間梁段上的荷載圖的面積。圖的面積。xxFMMBAXXSABd)( 任何兩個截面上的彎矩任何兩個截面上的彎矩之差之差，等于這兩個截面間的剪力圖的面積。等于這兩個截面間的剪力圖的面積。 4. 各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態：各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態： 外力情況外力情況q=0無荷載無荷載段段q0(向下向下)集中力集中力F作用作用處：處：集中力偶集中力偶M作用處：作用處：剪力圖上的特征剪力圖上的特征水平線水平線(向下斜直線向下斜直線)突變突變，突變值為突變值為F不變不變彎矩圖上的特征彎矩圖上的特征斜直