1、第十一章無窮級數(A)用定義判斷下列級數的斂散性；2.1；3.n 1 2n 2n 213n15n判斷下列正項級數的斂散性n!4.nn 1 1005.2n 3n 1n n 3；8.Cn9.n 1 3n 11n 2n求下列任意項級數的斂散性,收斂時要說明條件收斂或絕對收斂彳 n1 n1- 122n 1，n 1;13. 1.1 1.01In n1.0011.00012322221321442 1求下列幕級數的收斂半徑和收斂區間n1 n n nn!xn ; 18.19 .-4rx2n 1 ; 20 .2 n I/2n n3rx求下列級數的和函數21 .nxn 1n 1；22.1 2n 1尸x；n 1

2、2將下列函數展開成x x0的事的級數x e23. shx XqXq25 . 1 x ln 1 x3；將下列函數在區間上展開為付里葉級數29 .將函數f x2x ,3x0 t0展開成付里葉級數。30 .將函數f xl_2分別展開成正弦級數和余弦級數。l(B)用定義判斷下列級數的斂散性n 0 3n 1 3n 4；2.；3.22、n判斷下列正項級數的斂散性4.2nn!nn5.n12n3n 12n 36.nn 1 2n 1，(a 0)；7.ban,其中ana (n),an, b , a均為正數;8.1n 1 11n,(a 0)； 9.n 11n _01判斷下列任意項級數的斂散性，收斂時要說明條件收斂或

3、絕對收斂n 1 2n210 .1 一 ； 11 .n 1n!；12.ln,3n 2 3n 2求下列幕級數的收斂半徑和收斂域2nn x .;14 .2n !nxn nn 1 a b，(a0,b0)；2n 1；16.3n求下列級數的和函數2n 1 2n x n 1 n !；19.20 .求證：ln2將下列函數展開成xXo的事的級數21 . f x2-2x2 3x 1_ 一 x1 ; 23 ,一= > x0 0 ;1 xn 1 2n 1 2n 1 2n 3 .設w 0, i 1,2,判斷級數24.證明偶函數的付里葉級數數僅含余弦項;1,2k 1k 0, 1, 2,的25 .寫出函數 f x 1

4、 x 2k , x 2k 12付里葉級數，并討論收斂情況。fx是周期為2的周期函數，上的表達式為-，將f x展開成付里葉級數。227 .將函數fx2, (0 x l)分別展開成正弦級數和余弦級數。(C)1 .用定義判斷下列級數的斂散性a a2 1al1 a11a2a n1a11a21 an的斂散性。判斷下列正項級數的斂散性1i nk2n ； 8.n 13n n!In n3. ; 4.; 5.n 1 nn 1 與nnn展成為以2為周期的26 .判斷級數sinL的斂散性。n 1 n 2求下列幕級數的收斂半徑和收斂區間n7 . Jn 1Jn 2 xn 1求下列級數的和9 .上n 1 n 2n 110

5、 .展開立圣為x幕級數，并推出 dx xn11 .求級數n2Wx3n 1的收斂區間及和函數n 112 .設函數f x區弦級數和余弦級數。13.將周期函數0,0,展為付氏級數，并據此求周期函數a ,0f1 x, f2 x |x | ,b , 0,的付氏級數，求下面級數4/11112234 2n 1第十一章無窮級數(A)n1 .解：Sn & 2 kTl 品 2 V2k 1,(n ),原級數發n 12 .解：V Sn k 1 2k 2k 212k2k12n 2(n)，原級數收斂且和為3 .解:n工 1k1 鏟 5k115k1 3 T31 51nTT53 /4，(n),.3原級數收斂且和為-。

6、44.解:. limnUn1萬7limnn 1 !100n100n 1limn100由比值判別法知原級數發散。5.解:limnUn 1Unlimnn ee n1 n lim n e n11 1, 由比值判別法 e知，原級數收斂。6.解：:lim Un lim Jn1 1 0 , 原級數發散 n n 2n 27.解：: lim nUn1lim n 2n 32,而 1發散，由比較判別法知原級n n n 3n 1 n數發散。4Un 1. n 1 n!8 .呷華：lim lim7n Un n n 1 ! n41 n 1 4r r ,rlim- n 0, 由比值判別法 n n 1 n知，原級數收斂。9

7、.解：lim nnUnn3nn 1lim - 1 , 由比值判別法知,n 3n 13原級數收斂。右刀4一1-TF "n 1 mn/n 1n/n 11+,10 .解：: n/U n ,而 lim lim - ,故22n 2 n 221limn.Un 1, .由比值判別法知，原級數收斂。n211 .解：|Un|J1,由正項級數的比值判別可知，此級數收斂，故n 1n 1 2原級數絕對收斂。-111 1 12 .解：|Un| -，而 -發散，故 發散。因此原級數非絕對 ln n n n 2 nn 2 In n一一 一一 11一 1收斂，又，顯然，n 2,3,，且lim 0,故由萊布尼茲判別l

8、n n 1 ln nn In n法知原級數條件收斂。13 .解：lim|Un| lim |0 0| 0 , 原級數發散。 nn14 .解：此為交錯級數，: 器n 1, (n)而級數1發散,1n 1n 1 nn故|Un|發散，即原級數非絕對收斂，顯然n 1單調遞減且趨向于零，故原 n 1級數條件收斂。15 .解:.limnan 1n11 一.lim 3 J 3 . R ,當 x -時,n , n 133_,1 級數為 一發散，當xn 1 . n1時，級數為1n-%收斂。故原級數的收斂區3n 1. n、,1 1間為一,一3 3a ,n n-1,116.解：: "1 Jr -J0, nan

9、n 1 n 111 n區間為 ，。an 117 .解：V 二111rn-0 , n , - R 0 01 n18 .解：. limnan 1anlimLn 2n 1 n 12。故當| xn 1n 1時收斂，當x1或x 3時發散，當x1時,級數為收斂；當x時，級數為發散。故收斂區間為1,3Un1Un2n 3 n 1x 22n2n 1x22時收斂,22時發散，x 板時原級數為發散,故收斂區間為、,2,220 .解:時，原級數n21 .解:二 f x22 .解:an 1anx dxdxn 1 23n 1發散。n nx13nn,R3,當x故收斂區間為，|x| 1,n 1nxdx3,3nx1dx1 2n

10、 1x12n 11 ln21。1 2n 1x2n 12n x2n012x2x2n 12x1x21x - In2n1xo23 .解:2 k 0 2k !Lx2k解:2cos21cos2x解:解:2n !2x2n2n2n2n2nIn 1|x| 131 x 33ncos -為偶函數, 2bn0,anx . coscosnxdx2cos01cos 一 2cosincosnx2n 1_1 4n2cosnx2n0,1,2,a0x 4 cos -在2n 1,2,x .一cosnxdx 2n x dx, 1sin 一 22n 1&n 1 x32n 1x .cos2cosnx 4n2 1 '28

11、 .解:由于f2x是奇函數，故an0, n 0,1,2,bn2t sin ntdt1一 xcosnx1-一sin x n1n3sin nx o n29.解:ann .cosxdx32xcos- xdx33xcosxdxa。bn30 .解:上包有F x2k13133 2nn x cos3n x sin3ncos一3n x . n xsin2k時,a2k0O1 時，a22kx dx02xdx33xdx0sin xdx3nxcosxn1,所以10 2k 1 21上均成立。1）正弦級數,f x 。再將F為周期的連續函數，G x(n 0,1,2,)注意到_2 xsin0n x dx141n一 ,nn2x

12、sin 一nsin x32k 1cosx30,x周期延拓得1,2,1, 2,3xsin0n x dx30，作奇延拓nxcosx33 .sin n1 sin n1,1日TH使在0,1個以21,x 1,1 ,計算付氏系數如下:n xx sindx12sin2n2一 n .一sin sin22）余弦函數作偶延拓設l,l使在0,1上恒有F x f x o再將F x周期延拓得G x日TH個以21為周期的連續函數,計算付氏系數如下:a。12 xdx0dxanxcosn x , dxn cos1x .一 dx212-2： n2 cos1222n12-22n,n1,2,bn1 .解:.Sn212nc n2co

13、s-cosn x0k 1 3n 1 3n 4(B)n 1133n 113n 413n 4112, ,1，原級數收斂且和為一。1221 ，原級數收斂且和為143.解：:Snk 2 k 1 k 1 k n 1，原級數收斂且和為124.解：:UU2n 1nn 1 ! nn 1n 12 n!知原級數收斂。5.解：: n/U n2n:3n 12n 32n3n 1根值判別法知原級數收斂。6 .解：n充分大nn、22n 1n 2n3n 1n.Un由比值判別法nn 2 lim n 2n 1limnn2n 17.解：.YUn級數收斂；b a8 .解：當9.解：:nbana 1時,an. limn1時，苫Un比較

14、判別法知級數收斂10 .解：:Un1Un非條件收斂11 解：，1Un |annn nn an2n 1一,而 2n 11-1 , 由根值判別法知原級數收斂。2，當b 1,即ab a時，原原級數發散，當ba時不定。11 an0,級數發放。dx21! 2n(u22n 1一 1 一 一），而一收斂,n 1 an級數發放。2n-2n2x2 3n 13 n3收斂，由2Un也發散，故也n 1故級數 |Un |發散，即n 1 一. n1、，、一，一一一原級數非絕對收斂，原級數為交錯級數，顯然數列2n 1單調遞減且收斂于n n 1零，故由萊布尼茲判別法知，原級數條件收斂。12 .解：limn|Un |Tn1-1

15、n ln 2 一 lim _n n .9n2 4ln23|Un |發散, n 1即原級數非絕對收斂ln記原級數為an為交錯級數，limanlimn9n2 4ln 2又電an.3n 13n 5 1 3n 2 3n 21 ln 2nlnI 21n 11 ln 2 - n3n 2 3n 23n 51,故由萊布尼茲判別法知原級數收斂,故原級數條件收斂。13 .解：:Un1Un2 n 1x 2n !2n2 n 1 ! x2x2n 1 2n,故對x,原級數收斂，所以收斂半徑為,收斂區間為n 114 . lim anlim n.nn .an bn1, - -Rmax a,bmax a, b ,當 xmaxa

16、,b時，原級數發放,故收斂區間為R,R ,其中max a,b15 .解：:Un 1Un1,即2nx 5x 7時，原級數發散，當x3n2n 4 n 12n 14 x 5x3時，原級數收斂，當一T- 1，7,原級數收斂，當x 3時原級數也收斂。原級數收斂半徑為2,收斂區間為7, 3 。16 .解：a n 1ann3n2 n23n23，二R1|2-,原級數收斂。當3原級數收斂，當2時, 3原級數發放。故原級數的收斂區間為43,17.解：2nnxx2n 12nx ,但n 12n1n 12x,故有2n nxx2n 12nxx2x22 21 x2 xn 12 n12 12n 12nx22n x11 2n一

17、 x n!1 2n一 x non!2nn!2n 12n x2n2nn!解：.nnx2n xxe2x2ex2n 1nxnnx證明：考慮級數2xnx2n2x2xx2xe|x|1 2n 1-xo n!|x| 2,逐項微分得:11x|x|2。dx02一 dx xln|2In 2 In |21c n n 1 n221 .解:ln22x22 .解:3x2x2x2n02n|x|(|x1|1)。7x4n 2n 1 ! nx2n !，|x| 1x,1 x22n 1 ! 2n x2n !25 .解:an1xsinnxdx 2x cosnx2x2ncosnxdxn 1,2,11n ncos xl 1 .1sin n

18、x on由于對 x 2k 1 , 2k 1，有x 22k 1 , 2k 3 ，所以1f x 2 x 22 k 121 一-x 2k f x o因此f以2周期的周期2函數，并且顯然只有當x 2k 1,k 0, 1, 2, 時x是f x及f x 第一類間斷點，所以fx符合狄利克雷收斂定理的條件，故 f x付氏級數在R處處收斂， k 0, 1,2,n 1 1 ,f x,有 1 sin nxn 1n02k 12k 126 .解:x奇函數，所以an00bnf x sin nxdx - 02 xsin xdx sinnxdx0萬21sin nxnnxcosnx-cosnx 2n1 n sin 一n 22n

19、所以f x1 1 . n sin n n 2sin nx ,除x 2n1 均成立，(n 0, 1, 2,)。27.解：bnx2 sin on .xdx l2lxnxl 0-nxsin xl2l222 cos nn 2l4l23 nnx2l2一 1 n又.函數f x展成正弦級數為2l21 n1-nsin x l2 .x dx2l2 3l 2x cos 0n .xdx l4l222 n f x展開成余弦級數為4l2-2nn一 cosx ,l1 .解:Un(C)1 2k 1 2k 1 2kk 1 2k 112k 112k 112k12k 12k 312n 12n 31122n2n 31n121故原級

20、數收斂，且和為一。122 .證：電Una n 11 an1,由比較判別法知原正項級數收斂。3.解：:如Un3n 1判別法知，原級數發散。4 .解：考慮函數e2 ,易知f e2Un1n 2 ln n 12n 2n 'nn3n n!1,，.二由比值0,11nx 2，由 f x 0時f x的最大值,所以當1地，n12 ln1了為收斂的幾何級數，原級數也收斂。1ln n5.解：annn1en_11 , 丁 n2有0 -nn- 1 ;而當0 x 1時, n 1有 ex 1 ex, 當n 2時,ln n0 en2 11e -nn-,而級九字-可判別其是 n 1n 1 n 1收斂的，原級數收斂。6

21、.解：因為已知級數n 1112n 1條件收斂的級數。設其部分和數Sn極限為S ,則有lim SnnS,一.一一1n而級數-sinn 1 n10-032n項,其和與n 11一、， ，一 ，的部分和相等且為2n 1Sn,當 n時，2n原級數收斂且和為7.解:Un1Unn 2 n 12n 1 22x 2x2x2,當 2x2 1 ,即 |x|22時，收斂；當|x|22三時發散。故R三2時,2級數為 n 1n 1發散，故原級數收斂域為.228.解：ann ,由于1 71 n百n1而當 lim Jan I 1 ,故 R 1 ；當x 1時，原級數為n 1于通項不以零為極限，故發散所以原級數的收斂域為1,19

22、 .解：當|x| 1時，級數1 n 11x2n收斂n 1n 2n 1n 1 n 2n2n,|x| 1，貝U f x 2 -m2n 1n 1 2n 11 x , |x| 1 , fn 1 2n 11 x|x| 1,兩邊積分得:x 1x 2 2"dx 2a01 x2tgx , (Vf 00)；再積分一次0 x , x2 280);x2.02arctgxdx 2xarctgx In 1 x , ( fUnn 1ln2,即原級數的和ln2。10 .解:ddxx2!2 x3!12!2 x 3!nn!1 2 x 2!x因為當n時,n 1n 1n!又當xdo時, dxex 1x xxe e 12x故展開式對所有的x均成立，在展開式中令x1,得x xxe e11 .解:Un1Unn 12 23 n 1 1