1、第十一章 微分方程例1 求通解為的微分方程，其中、是任意常數(shù)分析 所給通解表達(dá)式中含兩個(gè)任意常數(shù)，故所求的方程應(yīng)該是二階的解 由，解得，將代入整理得，此即為所求微分方程例2 試證是方程的解，但不是它的通解，其中是任意常數(shù)分析 這類(lèi)題驗(yàn)證所給函數(shù)是相應(yīng)微分方程的通解或解，只需求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，代入微分方程，看是否使微分方程成為恒等式證 可以寫(xiě)成，記，則有，將其代入方程得左端 右端，所以是方程的解，由于解中只含有一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，故它不是該方程的通解注 需要弄清楚解、通解的定義，通解中獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)與方程的階數(shù)相同例3 求下列微分方程的通解：（1）； （2）分析 在求解微分方程時(shí)，首先要判斷

2、方程的類(lèi)型，然后根據(jù)不同類(lèi)型，確定解題方法解 （1）方程兩端同時(shí)除以，則有，積分得，故通解為，令，則，而是方程的解，如果在上述通解中允許，則也包含在該通解中，因而，原方程的通解是，其中是任意常數(shù)（2）令則有，代入原方程得，即，所以，分離變量得，于是，即有，得通解（這里）注1 如果題目要求是求方程的所有解，本題（1）中，當(dāng)用去除方程時(shí)，可能導(dǎo)致方程失去滿足的解，即，所以要對(duì)此解進(jìn)行分析注2 當(dāng)方程中出現(xiàn)等形式的項(xiàng)時(shí)，相應(yīng)地，通常要做如下一些變量替換，等例4 解方程 ，并求滿足初始條件時(shí)的特解解 分離變量得 ，兩邊積分則有，從而可得通解為（其中是任意常數(shù)）另外，方程還有解，不包含在該通解中，故需補(bǔ)

3、上為了求特解，將代入通解得，故所求的特解為例（01研） 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且對(duì)任意有，求分析條件給出了一個(gè)積分方程且含有變上限積分，通常是對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)，將積分方程轉(zhuǎn)化為解微分方程解此微分方程，并利用已知條件即可求出函數(shù)解在等式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得，令可得，由于，從而有，對(duì)上式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得，即，所以，將代入上式，得，故例6（98研） 已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量，且當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，則等于（ ）A BC D分析由微分定義及原題設(shè)可知， 解此方程可求得， 進(jìn)而可求得解法1 由于，且當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，由微分的定義可知，即，兩邊積分得即，其中由，則有于是 故選D解法2 等式兩邊除以并令，得，即

4、 以下過(guò)程同解法1例7求方程的通解分析原方程可化為齊次方程；也可寫(xiě)成；還可換元令解法1 將方程化為齊次方程，令，則有，代入原方程得，即，于是，積分得，將代入該式，故通解為（這里）解法2原方程可寫(xiě)成， 為時(shí)對(duì)應(yīng)的伯努利方程， 令，得線性方程， 由一階非齊次線性方程的通解公式可得，其中積分求出并代入得通解，其中取任意常數(shù)解法3 令，則可得即，積分得，即有，其中為任意常數(shù)例8 求微分方程的解分析 這是一階非齊次線性方程，可用常數(shù)變易法，也可直接利用公式解法1 套用公式直接求其通解這里，將其代入公式，得原方程的通解為解法2用常數(shù)變易法求其通解，其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為，分離變量后求得其通解為，假設(shè)是原方

5、程的解，代入原方程得，積分則有，故原方程的通解為例9求微分方程的解解法1原方程化為，此為齊次方程，令，得，分離變量有， 積分得，將代入上式得該方程通解為解法2原方程可變形為，此為一階線性非齊次方程，其中，由一階線性非齊次方程的通解公式，可求得通解為例10設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，且不恒等于零，則等于（ ）A B C D分析由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件可知，從而可得關(guān)于的微分方程，解此微分方程即可解 由題設(shè)可得于是結(jié)合不恒等于零，即得，解得由得 故有，故選B例11（00研） 設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意光滑有向封閉曲面都有，其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求解 不失一般性，假

6、設(shè)曲面取外側(cè)，設(shè)所圍成的立體為，根據(jù)高斯公式，有 ，由的任意性，知，即，此為一階線性非齊次方程，解得其通解為又，故，即有，得，于是例12求方程的通解分析原方程可寫(xiě)成，這是時(shí)的伯努利方程解令，得 ，代入原方程則有，即，此為一階線性非齊次方程，利用一階線性非齊次方程的通解公式求得其通解為，于是得，即為原方程的通解例13判斷下列方程是否為全微分方程，并求出其解（1）； （2）分析方程為全微分方程的充要條件是如果不是全微分方程，此時(shí)若存在一個(gè)積分因子，使得是全微分方程，則方程可轉(zhuǎn)化為全微分方程來(lái)求解解 （1）這里由于，該方程是全微分方程設(shè)則即為所求的通解，以下用三種方法來(lái)求解法1選擇積分路徑為折線路徑

7、：則 解法2方程左端，所以解法3由于，則，其中為待定的可微函數(shù)，上式兩端分別對(duì)求導(dǎo)，得由得，所以故可取，故由上面的任意一種方法都可以解得此方程的通解為（其中C為任意的常數(shù)）（2），原方程不是全微分方程可考慮尋求原方程的積分因子 解法1 原方程可化為，此時(shí)，方程的左端有積分因子、等由于右端只有，故取為積分因子，即有，從而可得其通解為此外，亦為原方程的解解法2原方程可寫(xiě)為即，此為齊次方程，令，則有，即，得其通解為，于是原方程通解為另外，也是原方程的解解法3將看成是以為自變量的函數(shù)，原方程可化為線性方程，求得其通解為此外，易見(jiàn)也是原方程的解例14求滿足初始條件的解分析 該方程為型可降階的高階微分方程

8、，方程的右端僅含有自變量， 將作為新的未知函數(shù)，原方程則為新未知函數(shù)的一階微分方程，兩邊積分得關(guān)于的階微分方程依此法連續(xù)積分次可得原方程的含有個(gè)任意常數(shù)的通解解兩端積分得，又，則得，故，對(duì)其積分得，將代入上式，得，于是，對(duì)該式再次積分得，由于，可得，故所求的特解為注 在此類(lèi)題目中，一般若出現(xiàn)任意常數(shù)，可依據(jù)初始條件逐步確定，使后面的運(yùn)算簡(jiǎn)化若先求出通解，再由初值條件定特解也可以，只是計(jì)算將會(huì)麻煩一點(diǎn)例15（00研）微分方程的通解是 分析 該方程中不顯含，可以看成是型的可降階微分方程；另外原方程可化為歐拉方程解法1 方程屬于型的可降階微分方程令， 則，原方程化為一階線性方程，即，其通解為，再對(duì)其

9、積分得通解為 解法2 原方程可化為歐拉方程令，則原方程可化為求得其通解為例16（02研） 微分方程滿足初始條件，的特解是 分析 該方程中不顯含，可以看成是型的可降階微分方程；另外原方程可化為解法1 此微分方程屬于型令，則，于是原方程為，得或前者不滿足初始條件，故由后者得， 即由初始條件當(dāng)時(shí)，于是，則有，即積分得由初始條件得 故所求特解為解法2 由得從而余下解法同解法1例17 設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)、都是二階非齊次線性方程的解，其中是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（ ）A BC D解 非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)是對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解加上非齊次線性方程自身的一個(gè)特解A項(xiàng)當(dāng)時(shí)，不是方程的解，當(dāng)然就不會(huì)是

10、通解，顯然不對(duì)；B項(xiàng)寫(xiě)成，與是齊次方程的解，因而不是非齊次方程的通解，也不對(duì)；C項(xiàng)將代入方程左邊得，因而當(dāng)時(shí)，不是該方程的解，故也不是通解；D項(xiàng)寫(xiě)成，與是齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，是非齊次方程的特解，故是非齊次方程的通解，從而選D例18求下列常系數(shù)齊次線性方程的通解（1）； （2）； （3）解（1）所給微分方程的特征方程為，解得兩特征根為，屬于兩個(gè)不相等特征根的情形，故其通解為，其中與為任意常數(shù)（2）所給微分方程的特征方程為，其根為一對(duì)共軛復(fù)根，則所求通解為，其中與為任意常數(shù)（3）所給方程的特征方程為，解得（二重根），故通解為，其中與為任意常數(shù)例19（97研） 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿

11、足方程，求分析 先求出與，然后將其代入到方程中即可得到一個(gè)以為未知函數(shù)的微分方程解令，則有 ，將與代入方程可得，其特征方程，特征根為，于是，其中與為任意常數(shù)例20（01研）設(shè)（為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為 分析已知常系數(shù)齊次線性微分方程來(lái)求其通解與已知通解來(lái)確定其方程互為逆運(yùn)算已知通解來(lái)確定其方程，可以直接求導(dǎo)求出任意常數(shù)代入通解中得到其方程，也可以借助于特征方程及特征根與方程的關(guān)系來(lái)確定方程由此題所給通解形式可知，特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根解法1 類(lèi)似例1，可通過(guò)求出與消去的方法得到所求微分方程，請(qǐng)讀者自行完成解法2 由通解的形式可知特征方程的兩個(gè)根是，從而得知特

12、征方程為故所求微分方程為例 21求下列常系數(shù)齊次線性方程的通解：（1）； （2） 解（1）原方程對(duì)應(yīng)的特征方程為即，得，為三重根，因此方程的通解為，其中、為任意常數(shù)（2）原方程對(duì)應(yīng)的特征方程為即，特征根是二重共軛復(fù)根，故原方程的通解為：，其中為任意常數(shù)例22設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，求分析條件給出了一個(gè)積分方程且含有變上限積分，通常是對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)，將積分方程轉(zhuǎn)化為解微分方程，但是的被積函數(shù)中含有，不能直接求導(dǎo)，先要將其提到積分號(hào)外然后才能求導(dǎo) 解 因?yàn)闉檫B續(xù)函數(shù)，故為可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)題設(shè)等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得， 再對(duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，得，則齊次方程的通解為，其中、為

13、任意常數(shù)下面求非齊次方程的一個(gè)特解由于是特征方程的單根，故所求非齊次方程的特解形如，于是將代入該非齊次方程中比較系數(shù)可得，則該非齊次方程的通解為，其中、為任意常數(shù)由題設(shè)等式可知存在隱含初始條件，又由可知，將與代入上述非齊次方程的通解中解得，故例 23求微分方程的通解解 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，其兩個(gè)根為；而對(duì)于非齊次項(xiàng)， 為特征方程的單根，故非齊次方程有形如的特解，代入原方程可得 故所求通解為，其中、為任意常數(shù)例24求下列各非齊次線性微分方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）解（1）先求原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得則對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，其中為任

14、意常數(shù)下面再求非齊次線性方程的一個(gè)特解屬于型，其中，又不是特征根，故原方程有形如的特解，可設(shè)，其中為待定常數(shù)，將代入原方程，得到，比較系數(shù)得，從而，則原方程的通解為，其中為任意常數(shù)（2）所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，即，有二重根，而屬于型，對(duì)于非齊次項(xiàng)，為二重根故可設(shè)非齊次方程的特解為，代入原方程可得，故所求通解為，其中、為任意常數(shù)（3）解法1由于，屬于非齊次項(xiàng)為型的非齊次線性微分方程，其中，其相應(yīng)的齊次線性微分方程為，特征方程為，求得特征根，故該齊次方程的通解為，由于是特征根，故原方程有形如的特解，這里，即原方程的一個(gè)特解可設(shè)為：，代入原方程得，比較方程兩邊的系數(shù)，得，故原方程的特解為

15、：從而原方程的通解為 ，其中、為任意常數(shù)解法2求其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解同解法1，在求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解時(shí)， 可利用復(fù)數(shù)法求考慮方程，即，屬于非齊次項(xiàng)為型的非齊次線性微分方程， 由于是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根，故可設(shè)其一個(gè)特解為，將其代入方程可得， 得于是特解，取的虛部便可得到原方程的一個(gè)特解為于是得原方程的通解為，其中、為任意常數(shù)（4）該方程的非齊次項(xiàng)由構(gòu)成，根據(jù)非齊次線性微分方程解的疊加原理求其特解；原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，其特征根為，故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，其中、為任意常數(shù)；a對(duì)于非齊次線性微分方程，不是特征方程的根，故可設(shè)其特解為，代入該非齊次方程，得，從而其特解為；b

16、對(duì)于非齊次方程，是特征方程的單根，故可設(shè)其特解為，代入該非齊次方程得，從而其特解為；c對(duì)于非齊次線性微分方程，不是特征方程的根，故可設(shè)其特解為，代入該非齊次線方程得，從而其特解為；根據(jù)解的疊加原理與通解結(jié)構(gòu)定理可得原方程的通解為，即所求通解為 ，其中、為任意常數(shù)注對(duì)于類(lèi)型的特殊情形：與均可用（3）中的解法2來(lái)求特解，其中為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式例 25（03研）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，是的反函數(shù)（1）試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程（2）求變換后的微分方程滿足初始條件，的解分析由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式， 把， 用含有及的各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)表示， 代入題設(shè)等式驗(yàn)證即可解 （1）由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知，即，再對(duì)

17、該式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得，所以，代入原微分方程可得（2）方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)該非齊次方程的特解為，代入可得，故，從而的通解是，其中、為任意常數(shù)由，得，故所求初值問(wèn)題的解為例26求方程的通解分析此方程為歐拉方程，作變量代換求解解當(dāng)時(shí)，作變換，或，則有，原方程化為對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其通解為，非齊次方程的特解可設(shè)為，代入該方程得，故其通解為，其中、為任意常數(shù)即原方程在時(shí)的通解為當(dāng)時(shí)，令，類(lèi)似地，可求出原方程在時(shí)的通解為綜上所述， 原方程的通解為，其中、為任意常數(shù)例27設(shè)有連接點(diǎn)與的一條上凸的曲線弧，對(duì)于其上任一點(diǎn)，曲線弧與直線段圍成的圖形的面積為，求曲線弧的方程分析如圖111所示，利用定積分

18、的幾何意義即可求出曲線弧與直線段圍成的圖形的面積，利用已知條件，可得一個(gè)含有未知函數(shù)的積分方程，對(duì)其求導(dǎo)得一微分方程，解之即可解設(shè)曲線弧的方程為，由題設(shè)其上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，曲線弧與直線段圍成的圖形的面積圖111408，依題意有，即，兩端對(duì)求導(dǎo)，整理得，于是所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題，解此微分方程，得通解 ，將初始條件代入得，所以綜上所述，曲線弧的方程為：例28在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段長(zhǎng)度的倒數(shù)（是法線與軸的交點(diǎn)），且曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行解 設(shè)所求曲線為，由題意，有，則上的點(diǎn)處法線方程為（），它與軸的交點(diǎn)為， 于是，得方程，由題意可知即要求解如下

19、初值問(wèn)題：，方程不顯含，令，則有，于是可化為 即，解之得 ，從而有，又，可得，有于是，由得， 所以，即，于是上面兩式相加即得所求曲線方程為注 對(duì)于幾何問(wèn)題，一般是求曲線方程，依據(jù)題意，由幾何中的定理、公式建立微分方程并給出可能的初始條件求解下面這些結(jié)果經(jīng)常會(huì)用：1表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率；2表示曲線在點(diǎn)處的法線斜率；3表示由曲線（）、直線、及軸所圍成的圖形的面積；4曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的曲率為；5弧長(zhǎng)的微分例29已知某車(chē)間的容積為，其中的空氣含的（以容積計(jì)算），現(xiàn)以含為的新鮮空氣輸入，問(wèn)每分鐘應(yīng)輸入多少，才能在30分鐘后使車(chē)間空氣中的含量不超過(guò)？（假定輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混合均勻后，以相

20、同的流量排出）解 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入新鮮空氣，同時(shí)設(shè)在時(shí)刻，車(chē)間內(nèi)含的量為，考慮在到的時(shí)段內(nèi)的變化，根據(jù)題意則有的輸入的排出 =，故 令則可得如下初值問(wèn)題： 分離變量求得其通解為再由初始條件得，故，由問(wèn)題的實(shí)際意義可知是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí) ，于是可得注 用微元法或稱(chēng)區(qū)間法建立微分方程，要從變量在一個(gè)微小區(qū)間上的變化量入手，建立起變量在區(qū)間上的變化量與區(qū)間的長(zhǎng)度之間的關(guān)系，即：，令，通過(guò)取極限并利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得微分方程例30（97研）在某一個(gè)人群中推廣新技術(shù)是通過(guò)其中已掌握技術(shù)的人進(jìn)行的設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為，在時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為，在任意時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為（將視為連續(xù)可微變量），其變化率與已

21、掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)，求分析 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)即為函數(shù)的變化率，因此，的變化率為，據(jù)此問(wèn)題不難求解解 由題意可知原問(wèn)題等價(jià)于求解如下微分方程的初值問(wèn)題：，分離變量得，即，可得，其中，由可得，所以，即 例31（01研） 設(shè)有一高度為（為時(shí)間）的雪堆在融化過(guò)程中，其側(cè)面滿足方程（設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí)），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù)），問(wèn)高度為（厘米）的雪堆全部融化需多少小時(shí)？分析 這是一道數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用題，需正確理解題意要求能用三重積分求出體積，用二重積分求出側(cè)面積，并根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，解出，最后求出時(shí)的值。解 記為雪堆體積，為雪堆側(cè)面積，則，,其中.由題意知，所以，因此，由得令得（小時(shí)）.因此高度為厘米的雪堆全部融化所需時(shí)間為小時(shí)。例32（04研） 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘