1、2 (脈沖響應不變法、雙線性變換法脈沖響應不變法、雙線性變換法) 34 5)()()(jjjeeHeH () 反映各頻率成分通過濾波器后在時間上反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況的延時情況 )(jeH6n理想濾波器是理想濾波器是非因果非因果的，物理上的，物理上不可實不可實現現。n為了物理上可實現，在通帶與阻帶之間為了物理上可實現，在通帶與阻帶之間應設置一定寬度的應設置一定寬度的過渡帶過渡帶，并且在通帶，并且在通帶和阻帶都允許一定的和阻帶都允許一定的誤差容限誤差容限，即通帶，即通帶不一定是完全水平的，阻帶不一定都絕不一定是完全水平的，阻帶不一定都絕對衰減到零。對衰減到零。 7n通帶通帶

2、n阻帶阻帶 0p1(1)()1jH es2()jH e8n通帶內允許的最大衰減通帶內允許的最大衰減n阻帶內允許的最小衰減阻帶內允許的最小衰減 n3dB通帶截止頻率通帶截止頻率 當幅度下降到當幅度下降到 時，即時，即 下降為下降為0.707, ，對應的頻率，對應的頻率 dBeHeHgapjjp)()(2010dBeHeHgasjjs)()(2010dBeHgapjp)(201dBeHgasjs)(2012/2()jH e3adBc歸一化歸一化9n數字濾波器的設計問題就是尋找一組系數字濾波器的設計問題就是尋找一組系數數ai和和bi，使得其性能在某種意義上，使得其性能在某種意義上逼近逼近所要求的特性

3、。所要求的特性。n數字濾波器的數字濾波器的設計步驟設計步驟:n給出所需要的濾波器的技術指標；給出所需要的濾波器的技術指標； n設計一個設計一個H(z)使其逼近所需要的技術指標；使其逼近所需要的技術指標； n用數字硬件或在計算機上編寫算法實現所設用數字硬件或在計算機上編寫算法實現所設計的計的H(z)。 10n先設計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足先設計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足給定指標的數字濾波器。給定指標的數字濾波器。n很方便很方便，這是因為模擬濾波器的設計方法已經很，這是因為模擬濾波器的設計方法已經很成熟，它不僅有完整的設計公式，還有完善的圖成熟，它不僅有完整的設計公式，還有完

4、善的圖表供查閱。表供查閱。n設計步驟設計步驟 n將給定的數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技將給定的數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標；術指標；n根據轉換后的技術指標設計模擬原型濾波器；根據轉換后的技術指標設計模擬原型濾波器；n按照一定規則將模擬濾波器轉換為數字濾波器。按照一定規則將模擬濾波器轉換為數字濾波器。 11n直接在頻域或者時域中進行設計直接在頻域或者時域中進行設計n這是一種最優化設計法。這是一種最優化設計法。n由于要解聯立方程，因此需要計算機輔由于要解聯立方程，因此需要計算機輔助進行設計。助進行設計。 12n模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 n脈沖響應不變法脈沖響應不

5、變法 n雙線性變換法雙線性變換法 n數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計方法數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計方法13n常用的模擬濾波器常用的模擬濾波器n巴特沃斯巴特沃斯（ButterworthButterworth）濾波器）濾波器 具有單調下降的幅頻特性具有單調下降的幅頻特性 n切比雪夫切比雪夫（ChebyshewChebyshew）濾波器）濾波器 幅頻特性在通帶或者阻帶內有波動，幅頻特性在通帶或者阻帶內有波動，可以提高選擇性；可以提高選擇性； n橢圓橢圓（EllipseEllipse）濾波器）濾波器 在通帶和阻帶內都有紋波在通帶和阻帶內都有紋波 n貝塞爾貝塞爾（BesselBessel）濾波器等

6、）濾波器等 通帶內有較好的線性相位特性通帶內有較好的線性相位特性 14巴特沃斯型濾波器幅度特性巴特沃斯型濾波器幅度特性15切比雪夫型濾波器幅度特性切比雪夫型濾波器幅度特性16橢圓濾波器幅度特性橢圓濾波器幅度特性17貝塞爾濾波器幅度特性貝塞爾濾波器幅度特性1819n幅度平方函數幅度平方函數n模擬低通濾波器的設計指標模擬低通濾波器的設計指標n通帶截止頻率通帶截止頻率n通帶最大衰減通帶最大衰減 n阻帶截止頻率阻帶截止頻率n阻帶最小衰減阻帶最小衰減 2*()( )()()()aaaaasjHjH s HsHjHj psps20n由給定的由給定的 、 、 和和 求出求出n由由 得到濾波器的系統函數得到濾

7、波器的系統函數 Ha(s)的極點（或零點）與的極點（或零點）與Ha(-s)的極點的極點（或零點）具有（或零點）具有象限對稱性象限對稱性。為了保證設計的。為了保證設計的濾波器穩定，將濾波器穩定，將|Ha(s)|2的的左半平面左半平面的極點賦的極點賦給給Ha(s)。ppss2)( jHa2)( jHa)(sHa21n巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數為：巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數為：nN為濾波器階數為濾波器階數nc為為3dB截止頻率截止頻率221()1()aNcHj 22巴特沃斯低通濾波器幅度特性與階數關系 23n幅度特性隨著幅度特性隨著增加增加單調下降單調下降，下降的，下降的速度與階數速度與

8、階數N有關。有關。n隨著隨著N增大，幅度下降的速度越快，過渡增大，幅度下降的速度越快，過渡帶越窄，在通帶內更接近于帶越窄，在通帶內更接近于1，在阻帶內，在阻帶內迅速接近于零，因而幅度特性更接近于迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形頻率特性。理想的矩形頻率特性。n不管不管N的取值是多少，都經過的取值是多少，都經過 點。點。 1224n幅度平方函數有幅度平方函數有2N個極點個極點n這這2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為c的圓上的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是 /Nrad。n這些極點以虛軸為對稱軸，而且不會落在虛這些極點以虛軸為對稱軸，而且

9、不會落在虛軸上。軸上。n當當N是奇數時，實軸上有兩個極點；是奇數時，實軸上有兩個極點；n當當N是偶數時，實軸沒有極點。是偶數時，實軸沒有極點。 21( )()1()aaNcHs Hss j12122 0,1,2,21kjNkcsekN 返回返回25三階巴特沃斯濾波器極點分布圖26n為了保證所設計的濾波器是穩定的，將為了保證所設計的濾波器是穩定的，將s平面左半平面的平面左半平面的N個極點分配給個極點分配給Ha(s)，而將右半平面的而將右半平面的N個極點分配給個極點分配給Ha(-s) 10( )NcNkkaSSHs（）27n將所有的頻率對將所有的頻率對c歸一化，歸一化頻率歸一化，歸一化頻率 ：n歸

10、一化的幅度平方函數為：歸一化的幅度平方函數為： c 221()1aNHj28n由給定的設計指標由給定的設計指標p、 p 、 s和和s確定巴確定巴特沃斯濾波器的階數特沃斯濾波器的階數N和頻率和頻率c 。102110pNp102110sNs1010101lglg101psspN 1102(101)pNcp 1102(101)sNcs )1lg(10)(lg102NajjH返回返回29n求濾波器的極點，并由求濾波器的極點，并由s平面左半平面的平面左半平面的極點構成極點構成Ha(s)。n幅度平方函數極點為：幅度平方函數極點為： n將將s平面左半平面的平面左半平面的N個極點分配給個極點分配給Ha(s)

11、1 2122 0,1,2,21kjNkcsekN10( )NcNkkaS SHs（）下頁下頁舉例舉例30 例例 6-1 導出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統函數，導出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統函數， 設設c2 rad/s。 解解 幅度平方函數是幅度平方函數是 62)2/(11| )(|jH令令2=-s2即即s=j，則有，則有 )2/(11)()(66ssHsHaa各極點滿足式（各極點滿足式（5-10） 612212kjkesk=1, 2, , 6 31 而按要求，前面三個而按要求，前面三個sk（k=1, 2, 3）就是）就是Ha(s)的極點。的極點。 所給所給出的六個出的六個sk為為:

12、3122231231222312316053543432321jesesjesjesesjesjjjjjj由由s1, s2, s3三個極點構三個極點構成的系統函數為成的系統函數為 8848)()()(233213csssssssssHca32 例例 6-2 設計一個滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器：設計一個滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器： (1) 通帶截止頻率：通帶截止頻率：p=0.2；通帶最大衰減：；通帶最大衰減：ap=7 dB。 (2) 阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：s=0.3；阻帶最小衰減：；阻帶最小衰減：as=16dB。 解解 379. 2)3 . 0/2 . 0lg(2)11

13、0/() 110lg(6 . 17 . 0N為了準確在為了準確在p滿足指標要求，可式子得滿足指標要求，可式子得 4985. 01102 . 067 . 0cQ33為了準確在為了準確在S滿足指標要求，可得滿足指標要求，可得5122. 01103 . 066 . 1cQ 現在在上面兩個數之間可任選現在在上面兩個數之間可任選c值。現選值。現選c=0.5，這樣就必，這樣就必須設計一個須設計一個N=3和和c=0.5 的巴特沃思濾波器，模擬濾波器的巴特沃思濾波器，模擬濾波器Ha(s)的設計類似于上例的設計類似于上例6-1；也可以查表（；也可以查表（P157）（）（p=s/c ）最后）最后可得可得 )25.

14、 05 . 0)(5 . 0(125. 0)(2ssssHa34n切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋特性特性 n在通帶內是等波紋的，在阻帶內是單調的，在通帶內是等波紋的，在阻帶內是單調的，稱為切比雪夫稱為切比雪夫型濾波器；型濾波器； n在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的，在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的，稱為切比雪夫稱為切比雪夫型濾波器。型濾波器。 35 N 為切比雪夫多項式的階數為切比雪夫多項式的階數 n切比雪夫多項式的遞推公式切比雪夫多項式的遞推公式11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx11( )2( )( )NNNCxxC

15、xCx36n切比雪夫多項式的零點在切比雪夫多項式的零點在 區間內；區間內；n當當 時，曲線具有等紋波特性；時，曲線具有等紋波特性；n當當 時，曲線按雙曲余弦函數單調上升。時，曲線按雙曲余弦函數單調上升。 1x 1x 1x 37n是小于是小于1的正數，稱為紋波參數，是表的正數，稱為紋波參數，是表示通帶內紋波大小的一個參數，示通帶內紋波大小的一個參數， 愈大，愈大，紋波也愈大。紋波也愈大。np稱為有效通帶截止頻率。稱為有效通帶截止頻率。n頻率通常對頻率通常對p歸一化，歸一化， 2221()1()aNpHjCp 38去去4139n在通帶內，在在通帶內，在1和和 之間起伏變化；在之間起伏變化；在阻帶內

16、是單調下降的；阻帶內是單調下降的； n當當N為奇數時，濾波器在為奇數時，濾波器在 處的幅度處的幅度響應為響應為1；當；當N為偶數時，濾波器在為偶數時，濾波器在 處的幅度響應為處的幅度響應為 。n當當 時，時， 2110 0 211p 21()1aHj 40n設允許的通帶紋波為設允許的通帶紋波為，那么，那么 22max2min()10lg10lg(1)()aaHjHj210101412221()1()assNpHjC1211()()1()ssNppasCch NchHj12111()()asspchHjNch42其中其中iiisj 21sin221cos2ipipishNichN 111( )s

17、hN43n2N個等角度間隔（間隔為個等角度間隔（間隔為 /N）分布在）分布在 為長半軸，為長半軸， 為短半軸的橢圓為短半軸的橢圓 上的點。上的點。 schssh2222221iiccshch44n系數系數A由由s=0時濾波器幅度響應的值確定時濾波器幅度響應的值確定:n當當N為奇數時，為奇數時，n當當N為偶數時，為偶數時， 1( )()aNiiAHsss(0)1aH21(0)1aH45n由給定的設計指標確定切比雪夫濾波器由給定的設計指標確定切比雪夫濾波器的參數的參數、N和和p21010112111()()asspchHjNch46n求濾波器的極點，并由求濾波器的極點，并由s s平面左半平面的平面

18、左半平面的極點構成極點構成Ha(s)Ha(s)。2121sincos22kppiisshjchNN 1( )()aNiiAHsss47n從模擬濾波器設計從模擬濾波器設計IIR數字濾波器就是按數字濾波器就是按照一定的轉換關系將照一定的轉換關系將s平面上的平面上的Ha(s)轉轉換成換成z平面上的平面上的H(z)。脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法48n使數字濾波器的單位取樣響應使數字濾波器的單位取樣響應h(n)與相與相應的模擬濾波器的單位脈沖響應應的模擬濾波器的單位脈沖響應ha(t)的的取樣值完全一樣取樣值完全一樣 ( )()ah nh nT49( )aHs( )ah t( )h

19、 n( )H z1( )NkakkAHsss1( )( )kNs takkh tA e u t1( )()( )kNs nTakkh nh nTA eu n0111( )( ) 1kkNs nTnnknnkNks TkH zh n zA ezAez( )()ah nh nT50STeZ TjTSTjTSTeeejZjeZeZZ)(TeZTS Z 穩定穩定左半左半平面平面單位園單位園內內虛軸虛軸單位園單位園5112( )sTaz ekH zHsjkTTs平面上每一條寬為平面上每一條寬為2 /T的橫的橫帶重復地映射到整個帶重復地映射到整個z平面平面上上每一橫條的左半部分映射每一橫條的左半部分映射到

20、到z平面的單位圓以內平面的單位圓以內右半部分映射到右半部分映射到z平面平面的單位圓以外的單位圓以外 s平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到z平面的單位圓上平面的單位圓上 虛軸上每一段長為的線虛軸上每一段長為的線段段2 /T都映射到都映射到z平平面單位圓上一周。面單位圓上一周。52n例例6.3 設模擬濾波器的系統函數為設模擬濾波器的系統函數為 試利用脈沖響應不變法求數字濾波器的試利用脈沖響應不變法求數字濾波器的系統函數。系統函數。解解22( )43aHsss2211( )4313aHsssss1(1)ks Tezkss131( )11TTTTH zezez將將Ha(s)展開成部分分式得展開成部分分式

21、得用用 代換代換 得到得到53取取T=1，得到，得到1120.3181( )1 0.41770.01831zH zzz20.3181()1 0.41770.01831jjjjeH eee數字濾波器的頻率響應為數字濾波器的頻率響應為54 優缺點優缺點 從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數字濾波器的從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率域逼近良好，而且模擬頻率和數字頻率和數字頻率之間呈線性關系之間呈線性關系=T。 因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝

22、塞爾濾波因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。波器。 55 脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。 所以，所以， 脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，例如， 衰減特性很衰減特性很好的低通或帶通濾波器好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。 至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高

23、頻部分不衰減， 因此將完因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，不變法， 就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數字于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器。濾波器。數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。由由P44可見可見fTT22/sff 混疊混疊56STeZ 混疊原因混疊原因57n采用非線性頻率壓縮方法將整個

24、采用非線性頻率壓縮方法將整個s平面壓縮平面壓縮變換到變換到s1平面平面/T之間的一條橫帶里之間的一條橫帶里; 然后再用然后再用 將此橫帶變換到整個將此橫帶變換到整個z平面上平面上 去，這樣就使去，這樣就使s平面到平面到z平面是一一映射的關平面是一一映射的關系，從系，從而消除了頻譜混疊現象。而消除了頻譜混疊現象。STez 58TT1即即:o2tan2T59TSTSeeTTSTS1111221tan21121tan2TT 112 11zsTz22sTzsT雙線性變雙線性變換的映射換的映射關系關系 S60nz平面的平面的與與s平面的平面的之間呈非線性關系。之間呈非線性關系。 21tan2T n這種非

25、線性關系導致雙線性變換法的頻率標度的這種非線性關系導致雙線性變換法的頻率標度的 非線性失真，直接影響數字濾波器頻響逼真地模非線性失真，直接影響數字濾波器頻響逼真地模 仿模擬濾波器的頻響。仿模擬濾波器的頻響。 61n例例6.4 6.4 已知模擬濾波器的傳輸函數為已知模擬濾波器的傳輸函數為 采用雙線性變換法將其轉換為數字濾波采用雙線性變換法將其轉換為數字濾波器的系統函數，設器的系統函數，設T=2sT=2s21( )231aHsss11212,2111111 2121 221 211( )( ) 1123111(1)12 2(1)3(1)(1)62zasTTzH zHszzzzzzzzzzz解解 將

26、式將式(6.38)代入代入Ha(s)可得可得62 優缺點優缺點 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優點是避雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為免了頻率響應的混疊現象。這是因為S平面與平面與Z平面是單值的一平面是單值的一一對應關系。一對應關系。S平面整個平面整個j軸單值地對應于軸單值地對應于Z平面單位圓一周，平面單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（5-45）所示，重寫）所示，重寫如下：如下： 2tan2T上式表明，上式表明，S平面上平面上與與Z平面的平面的成非線性的正切關系，如圖成非線性的

27、正切關系，如圖6-13所示。所示。 63 由圖由圖6-13看出，在零頻率附近，模擬角頻率看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數字頻率與數字頻率之間的變換關系接近于線性關系；但當之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，進一步增加時，增長增長得越來越慢，最后當得越來越慢，最后當時，時，終止在折疊頻率終止在折疊頻率=處，因而雙處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，分去的現象， 從而消除了頻率混疊現象。從而消除了頻率混疊現象。 64圖圖6-13 雙線性變換法的頻率變換關系雙線性變換法的頻率變換關系 o2

28、tan2T65 需要特別強調的是，若模擬濾波器需要特別強調的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應為低通濾波器，應用用變換得到的數字濾波器變換得到的數字濾波器H(z)也是低通濾波器；也是低通濾波器； 若若Ha(s)為高通濾波器，應用為高通濾波器，應用 變換得到的數字濾波器變換得到的數字濾波器H(z)也是高通濾波器也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 11112zzTs11112zzTs 在在IIR數字濾波器的設計中，當強調模仿濾波器的瞬態響應數字濾波器的設計中，當強調模仿濾波器的瞬態響應時，采用脈沖響應不變法較好時，采用脈沖響應不變法較好; 而在其

29、余情況下，大多采用雙線而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。性變換法。66 例例 6-5 設計一個一階數字低通濾波器，設計一個一階數字低通濾波器，3 dB截止頻率為截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數字低通濾波器的截止頻率為數字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應的巴特沃，相應的巴特沃思模擬濾波器的思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是截止頻率是c，就有，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統函數為模擬濾波器的系統函數為 )828. 0/(11)/(11)(

30、sTssHca67將雙線性變換應用于模擬濾波器，有將雙線性變換應用于模擬濾波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，由上題可知，T不參與設計，即雙線性變換法中用不參與設計，即雙線性變換法中用 設計與用設計與用 設計得到的結設計得到的結果一致。果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs68 例例6-6 用雙線性變換法設計一個三階巴特沃思數字低通濾波用雙線性變換法設計一個三階巴特沃思數字低通濾波器，采樣頻率為器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為（即采樣周期為T=25

31、0 s），其），其3dB截止頻率為截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解 首先，確定數字域截止頻率首先，確定數字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據頻率的非線性關系式（第二步，根據頻率的非線性關系式（6-46），確定預畸變），確定預畸變的模擬濾波器的截止頻率的模擬濾波器的截止頻率 TTTcc225 . 0tan22tan269第三步，將第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙

32、線性變換關系代入就得到數字濾波器的系統函數最后，將雙線性變換關系代入就得到數字濾波器的系統函數 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa70 應該注意，這里所采用的模擬濾波器應該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數字濾波并不是數字濾波器所要模仿的截止頻率器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實際濾波器，它只是一個的實際濾波器，它只是一個“樣樣本本”函數，是由低通模擬濾波器到數字濾波器的變換中的一個函數，是由低通模擬濾波器到數字濾波器的變換中的一個中間變換階段。中間變換階段。 圖圖6-16給出了采用雙線性變換法得到

33、的三階巴特沃思數字給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階使截止區的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點。這個三階零點正是模擬濾波器在傳輸零點。這個三階零點正是模擬濾波器在c=處的三階傳處的三階傳輸零點通過映射形成的。輸零點通過映射形成的。 71圖圖 6-16 用雙線性變換法設計得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設計得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.

34、0f / kHz72n數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計方法數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計方法 模擬原模擬原型低通型低通濾波器濾波器模擬（高模擬（高通、帶通通、帶通或帶阻）或帶阻）濾波器濾波器數字（高數字（高通、帶通通、帶通或帶阻）或帶阻）濾波器濾波器頻率頻率變換變換脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法模擬原模擬原型低通型低通濾波器濾波器數字數字低通低通濾波器濾波器數字（高數字（高通、帶通通、帶通或帶阻）或帶阻）濾波器濾波器脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法頻率頻率變換變換To P8273設設為低通濾波器歸一化頻率，為低通濾波器歸一化頻率， p=j， 為高通濾

35、波器歸一化頻率為高通濾波器歸一化頻率 ，q=j，74n模擬低通到模擬高通的頻率變換關系模擬低通到模擬高通的頻率變換關系 ：n模擬低通到模擬高通的系統函數映射關系為：模擬低通到模擬高通的系統函數映射關系為：n模擬高通濾波器的轉移函數為模擬高通濾波器的轉移函數為 ： 11()()H jG j( )( )ppsH sG p75nsl：下阻帶上限頻率下阻帶上限頻率n1：通帶下限通帶下限n3：通帶上限通帶上限nsh：上阻帶下限頻率上阻帶下限頻率nB= 3- 1 :帶通濾波器的帶寬，并以此帶通濾波器的帶寬，并以此作為參考頻率對軸作為參考頻率對軸作歸一化處理作歸一化處理 76n通帶中心頻率通帶中心頻率 n歸

36、一化中心頻率歸一化中心頻率 213 21377n和和的對應關系：的對應關系： 78222222qpq222spsBqs Bn模擬帶通濾波器的系統函數為模擬帶通濾波器的系統函數為 ： 222( )( )spsBH sG p79n1：通帶下限通帶下限n3：通帶上限通帶上限nsl：阻帶下限阻帶下限nsh：阻帶上限阻帶上限n B= 3- 1 : 阻帶帶寬，并以此作為參考阻帶帶寬，并以此作為參考頻率對軸頻率對軸作歸一化處理作歸一化處理 80n通帶中心頻率通帶中心頻率 213 歸一化中心頻率歸一化中心頻率21381n和和的對應關系：的對應關系： 82n模擬帶阻濾波器的系統函數為模擬帶阻濾波器的系統函數為:

37、 222222sBps222( )( )sBpsH sG p83n由模擬低通原型濾波器設計數字帶通、由模擬低通原型濾波器設計數字帶通、高通和帶阻濾波器的設計步驟：高通和帶阻濾波器的設計步驟：n將所需類型數字濾波器的技術指標轉換成模將所需類型數字濾波器的技術指標轉換成模擬濾波器的技術指標。擬濾波器的技術指標。n利用頻率變換關系將模擬濾波器的技術指標利用頻率變換關系將模擬濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。轉換為模擬低通濾波器的技術指標。n設計模擬低通濾波器。設計模擬低通濾波器。n將模擬低通濾波器通過頻率變換法，轉換成將模擬低通濾波器通過頻率變換法，轉換成所需類型的模擬濾波器。所需類型

38、的模擬濾波器。n采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數字濾波器。器轉換成所需類型的數字濾波器。 84n例例6.7 設計一個數字高通濾波器，要求設計一個數字高通濾波器，要求通帶下限頻率通帶下限頻率 ，阻帶上限頻率，阻帶上限頻率為為 ，通帶衰減不大于，通帶衰減不大于3dB，阻帶，阻帶衰減不小于衰減不小于15dB。n解解 數字高通濾波器的技術指標為數字高通濾波器的技術指標為模擬高通濾波器的技術指標，取模擬高通濾波器的技術指標，取T=10.8p0.44s0.8 ,30.44 ,15ppssdBdB 12tan6.155/212tan1.655/

39、2ppssrad srad s 85對對 p歸一化，歸一化，模擬低通濾波器的技術指標模擬低通濾波器的技術指標設計歸一化模擬低通濾波器設計歸一化模擬低通濾波器1,0.269spsp11,3.71pss1010101lglg1.31101psspN 86取取N=2，歸一化模擬低通濾波器為，歸一化模擬低通濾波器為去歸一化，去歸一化，將模擬低通轉換成模擬高通將模擬低通轉換成模擬高通21( )21G ppp222( )2pppG sss2222( )21pppsH sss87用雙線性變換法將模擬高通轉換成數字高通用雙線性變換法將模擬高通轉換成數字高通111 2121210.0653(1)( )( )|1

40、 1.1990.349azszzH zHszz88n頻率最小均方誤差設計頻率最小均方誤差設計 n時域直接設計時域直接設計 89 理想濾波器的頻率響應：理想濾波器的頻率響應：Hd(ej) 設計的濾波器的頻率響應：設計的濾波器的頻率響應： H(ej) 21|()|()|iiNjwjwdiEH eHe 頻率最小均方誤差設計方法就是尋找濾波器頻率最小均方誤差設計方法就是尋找濾波器的頻率響應的頻率響應H(ej)，使，使 最小最小90n設濾波器的頻率響應為：設濾波器的頻率響應為：2211()()1jjNjjiijjiiiaebeH eAAG eced e11112,TNNNNa b c d aabcd (

41、 ,)EEA 那么那么 共有（共有（4N+1）個待定系數）個待定系數設設91n取取E對每一個參數的偏導數，并令這些導對每一個參數的偏導數，并令這些導數為零，得到數為零，得到4N+1個方程個方程( , )0EAA ( , )0 0,1,4nEAnN To p8992121(, )()(, )iiiNjjddefigNjiG eHeAAG e 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG eba zb z 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG ecc zd z 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG edc

42、 zd z 112(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG eaa zb z 93n在設計過程中，對系數函數零極點位置未給任在設計過程中，對系數函數零極點位置未給任何約束，零極點可能在單位圓內，也可能在單何約束，零極點可能在單位圓內，也可能在單位圓外。位圓外。n由于系統函數是一個有理函數，零極點均以共軛由于系統函數是一個有理函數，零極點均以共軛成對的形式存在。成對的形式存在。n如果極點在單位圓外，那么濾波器不是因果穩定如果極點在單位圓外，那么濾波器不是因果穩定的，因此需要對這些單位圓外的極點進行修正。的，因此需要對這些單位圓外的極點進行修正。94n如果將極點如果將極點z1和它的共軛極點和它的共軛極點 均以其倒數均以其倒數 和和 代替后，代替后， 幅度特性的形狀不變化，幅度特性的形狀不變化，僅是幅度的增益變化了僅是幅度的增益變化了 。*1z11z1*1z21z11z設設z1為極點為極點n極點位置重新分配后，濾波器就變成因果穩定的。極點位置重新分配后，濾波器就變成因果穩定的。 11211111zezezzezejjjj95n設