1、勾股定理勾股定理證明與拓展 模型一思考：如下圖，以直角三角形 a、b、c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和 正方形，上述四種情況的面積有和關(guān)系？1的正方形，經(jīng)過一次"生長”后，在他的左右肩上上生出兩個小正方例1、有一個面積為形（如圖1），其中,n三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，生 出了 4個正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”；在“生長”了 2017次后形成的圖形中所有正方形的面積和是變式1:在直線I上依次擺放著七個正方形（如圖1所示）已知斜放置的三個正方形的面積分別是1 ,1.21 ,1.44，正放置的四個正方形

2、的面積依次是S, S, S3, S4，則SS4 = 變式 2:如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC,/ ABC + / DCB=90° 且 BC=2AD，以 AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為Si、S2、S3，若Si=3 , S3=9，求S2.（變式2）（變式3）變式3:如圖，Rt ABC的面積為10cm2，在AB的同側(cè)，分別以 AB BC AC為直徑作三個 半圓，則陰影部分的面積為 .ABC中，/ ACB= 90 °AO BC= 6,空白部分面積為（難題）如圖，是小明為學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)文化節(jié)設(shè)計的標志，在 以厶ABC的各邊為邊作三個正方形，點 G落在HI上

3、，若 10.5，則陰影部分面積 模型內(nèi)弦圖外弦圖例題2.四年一度的國際數(shù)學(xué)大會于2002年8月20日在北京召開，大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積為5。求中間小正方形的面積為變式1如圖，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正 方形面積為25，小正方形面積為1，若用x、y表示直角三角形的兩直角邊（ x y），下2 2列四個說法：x y 25，x y 2，2xy 125，x y 9 .其中說法正確的有 （填序號）（變式1）變式2:如圖，正方形ABCD的邊長為10, AG=CH=8 BG=DH=6連接GH則線段

4、GH的長變式3 :我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”（如圖5）,圖6是由弦圖變化得到的，他是由八個全等的直角三角形拼接而成。記圖中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面積分別為 S、圧、8若S +圧+83=10,貝U $=二勾股定理及逆定理分類討論思想：（易錯點）例題1、在RtAABC中，已知兩邊長為 3、4，則第三邊的長為 變式1:已知在 ABC中，AB=17, AC=10, BC邊上的高等于 8,則厶ABC的周長為變式2:在厶ABC中，AB=15,AC=13高AD=12,則三角形的周長是 變式3:在厶ABC中，AB=2 5 , AC=4,

5、BC=2以AB為邊向 ABC外做 ABD，使 ABD為等腰直角三角形，則線段 CD的長為方程思想：例題2、已知：如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB 8cm, BC 10cm,求：（1） EC的長；（2）求 FEC的面積；例題 3在 ABC 中，AB=15, BC=14, AC=13 求厶 ABC的面積。思考記憶：正三角形，邊長為 a,面積為變式1:如圖所示，已知 ABC中，/ C=90°, AB的垂直平分線交 BC?于 M交AB于N,若AC=4, MB=2MC求 AB的長.變式2:小明想知道旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地

6、面還多了2米，當他把繩子的下端拉開旗桿底部 8米時，發(fā)現(xiàn)繩子的末端剛好接觸地面，旗桿的高度為 變式3:小溪旁長著兩棵樹，恰好隔岸相望，一棵樹 A高30尺，一棵樹B高20尺，兩棵樹 之間距離恰好為50尺，每棵樹頂部都停有一只小鳥，忽然兩只鳥同時看到兩樹間水面游出一只小魚，他們立刻以相同的速度飛去抓魚，結(jié)果同時到達目標， 問游魚出現(xiàn)在距離 A多少尺？構(gòu)造直角三角形：例題 4 四邊形 ABCD 中，/ A=135, / B=Z D=90 , BC=5, AD=2,則四邊形ABCD的面積是變式 1.如圖，在四邊形 ABCD 中 B 135o, C 120o,AB J6, BC 3 J3,CD 6, 則

7、 AD =.變式2:如下（右）圖一副直角三角板放置， 點C在FD的延長線上，AB / CF, / F= / ACB=90 °AC=5 , CD 的長.變式 3:如圖，ABC 中，AB=AC，/ A=30 ° 點 D 在 AB 上，/ ACD=15 ° AD=#1， 貝y bc=變式4：如圖所示，P為 ABC邊BC上一點，且PC=2PB已知 ABC =45， APC 60 ,求 ACB的度數(shù)。AP轉(zhuǎn)化思想例5.等邊三角形 ABC內(nèi)一點P, AP= 3, BP= 4, CP= 5,求/ APB的度數(shù).Rt ABC 中，/ CAB = 90°, P 是厶 AB

8、C 內(nèi)一點，且 PA=1, PB=3,PC= 7 ;求：/ CPA的大小。變式2:如圖，0是等邊 ABC內(nèi)一點，0A=3, OB=4, OC=5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中 心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段B0',下列結(jié)論：厶BO'A可以由 BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到； 點0與0的距離為4;_9 ；3/ A0B=150° ;四邊形 A0 B0 的面積為 6 33 ; S a0c+Sm°b=6+二.4其中正確的結(jié)論是 （只填正確的序號）變式 3 .如圖所示，在 Rt ABC 中，BAC 90,AC AB, DAE 45,且 bd 3,CE 4

9、,求 DE 的 長.變式4如圖， ABC是直角三角形，/ CAB=90° , MCN 45（1）當點M、N在AB上時，求證：MN2 AM 2 BN2（2） 將 MCN繞點C旋轉(zhuǎn)，當點M在BA的延長線上時，以上結(jié)論是否成立？若不成立,請說明理由.直角的判定：2 2 2例5、已知 ABC的三邊a、b、c滿足條件a b c 338 10a 24b 26c，求證: ABC是直角三角形.變式1、如圖，在四邊形 ABCD中， B 90、AB 3、BC 4、CD 12、AD 13，求 四邊形ABCD的面積。CA變式 2 如圖 Rt ABC 中， ACB 90，CD AB 于 D 點，AC b, B

10、C a，CD h.丄丄丄有下列四種說法：（1）ab=ch （2）/ b7 h7 ；（ 3）a b c h ； 以 a b、h、c h為三邊的三角形是直角三角形。其中正確的有 （填序號）格點問題例6、如圖，2 X 2的方格中小正方形的邊長是為（）A、35B、5310D、35"2-1,點 A、B變式1、如圖，方格紙中小正方形的邊長為1， ABC的三個頂點都在小正方形的格點上,小明在觀察探究時發(fā)現(xiàn)：ABC勺形狀是等腰三角形；厶 ABC勺周長是2 .10+ _：'2;4 ABC的面積是5;點C到AB邊的距離是5 .冠你認為小明觀察的結(jié)論正確的序號有變式2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正

11、方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形 ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 3變式3、如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC,若小方格邊長為1,則厶ABC是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C鈍角三角形 D.以上答案都不對變式4、如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD勺面積是（）A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.517BCADBC三勾股定理實際應(yīng)用最短路徑問題例題1如圖，長方體的長為 15，寬為10，高為20,點B離點C的距離為5，已知螞蟻如果要沿著長方體的表面從點 A爬到點B,需要爬行的最短距離是（）B.25c.10.5 5D.35變式1、

12、如圖，一個無蓋的長廊體盒子緊貼地面，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子表面上爬到點G，已知 AB 7、BC 5、CG求這只螞蟻爬行的最短距離G變式2圖變式3圖變式2、如圖，長方體的底面邊長分別為 1cm和3cm，高為6cm，如果用一根細線從點 A 開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點 B,那么所用細線最短需要cm ;如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達點B,所用細線最短需要 cm。變式3、如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部 3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器 上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A

13、13cm B 2. 'I cm C Vsi cm D. 2 - cm影響判定問題例題2如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的 M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行 30分鐘到達B處，此時又測得該島 在北偏東30°的方向上，已知在 C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行， 該貨船有無暗礁危險？試說明理由。變式1如圖，某沿海開放城市 A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風(fēng)中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市 A到BC的距離AD=100km那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點

14、？如果在距臺風(fēng)中心 30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在 D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險?變式2:如圖，公路 MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30°，點A處有一所中學(xué)，AP= 160m。假設(shè)拖拉機行駛時， 周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響， 那么拖拉機在公路 MN 上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒?變式3:某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓，其中AB =2.3 m, BC =2m ,現(xiàn)有一輛裝滿貨

15、物的卡車，高為2.5 m ,寬為1.6 m，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由綜合練習(xí)一、選擇題1、以a、b、c三邊長能構(gòu)成直角三角形的是（）A.a=1, b=2, c=3 B.a=3 如圖，已知 ABC中，/ ABC=90°，AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線11，12,13上，且11，12之間的距離為2，12，13之間的距離為3，則AC的長是. 如圖是兩個全等的三角形紙片，其三邊長之比為3: 4: 5，按圖中方法分別將其對折，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點， 且使該頂點所在兩邊重合，記折疊后不重疊部分面 積分別為 Sa ， SB ， 已知 S+Q39 ，

16、則紙片 A 的面積是, b=42, c=52 C.a=二，b= -；，c=. = D.a=5, b=6, c=72、如圖，在RtA ABC 中,ACB 90° BC 3, AC 4, AB 的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為（A、256D、23、如圖，正方形 ABCD的邊長為2,其面積標記為 Si，以CD為斜 邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外 作正方形，其面積標記為 S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則 S9的值E、填空題1、如圖，已知 AB=16，DA丄AB于點A，CB丄AB于點B，DA=10，CB=2，AB上有一點 E使DE+EC最短，那么 DE

17、+EC的最短距離為 .4、如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路11和12間有一條Z”型道路連通，其 中AB段與高速公路11成30°夾角，長為20km, BC段與AB、CD段都垂直.長 為10km，CD段長為30km，貝U高速公路間的距離為 .（結(jié)果保留根號）&四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH已知 AM為RtAABM較長直角邊,AM=2 :'：EF,則正方形ABCD的面積為（用含s的式子表示）5、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細線從點 A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要 6、（整體思想）已知Rt ABC的周長是4 4、3，斜邊上的中線長是2,則Sa abc=.7、直角三角形周長為 13cm，斜邊長為 5cm,求直角三角形的面積三、解答題1.在等腰直角三角形中，AB=AC點D是斜邊BC的中點，點E、F分別為AB AC邊上的點,且 DEI DF。（1）說明：BE2 CF2 EF2