1、.高中數學必修 1 知識點第一章集合與函數概念 1.1 集合【 】集合的含義與表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（ 2）常用數集及其記法N 表示自然數集，N或 N表示正整數集，Z 表示整數集，Q 表示有理數集，R 表示實數集 .（ 3）集合與元素間的關系對象 a 與集合 M 的關系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.描述法： x | x 具有的性質 ，其中 x 為集合的代表元素.圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.（ 5）集合的分類含有有限個元素

2、的集合叫做有限集. 含有無限個元素的集合叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做空集().【】集合間的基本關系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖AB子集（或A 中的任一元素都屬于 BBA)ABA B，且 B中至真子集少有一元素不屬于（或 BA） A集合A 中的任一元素都AB屬于 B，B 中的任一相等元素都屬于A(1)AA(2)AA(B)BA(3)若 AB 且 BC，則 AC(4)若 AB 且 BA，則 AB或（ 1）A （ A 為非空子集）BA(2) 若A B且B C，則A C(1)ABA(B)(2)BA（ 7）已知集合 A 有 n( n1) 個元素，則它有2n 個子集，它有

3、2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有 2n2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本運算（ 8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖;.交集并集補集. x | xA, 且（1） AAA（2） AABAB（3） ABAxBABB x | xA, 或（1） AAA（2） AAABAB（3） ABAxBABB1A(e A)且痧U(A B) (U A) (?U B)UU x | x U ,xe AA痧U(A B)(U(e A)UUA)(? B) 2AU【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含絕對值的不等式的解法不等式解集| x |a( a0)| x |a(a0)| ax

4、b |c,| axb |c(c0)（ 2）一元二次不等式的解法判別式b24ac0二次函數 x |axax | xa 或 xa把 axb 看成 一 個 整 體 ， 化 成 | x | a ，| x |a(a0) 型不等式來求解00yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程bb24ac2x1,22abaxbxc0(a0)x1 x2無實根2a（其中 x1 x2 )的根ax2bxc0( a0) x | xb R x | x x1 或 x x2的解集2aax2bxc0(a0)xx2 x | x1的解集;. 1.2 函數及其表示【 】函數的概念（ 1）函數的概念設 A 、B 是兩個非空的數集， 如果按照某

5、種對應法則f ，對于集合 A 中任何一個數x ，在集合 B 中都有唯一確定的數f ( x) 和它對應，那么這樣的對應（包括集合A ， B 以及A 到 B 的對應法則f ）叫做集合A 到 B 的一個函數，記作f : AB 函數的三要素: 定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數（ 2）區間的概念及表示法設 a,b 是兩個實數，且 ab ，滿足 axb 的實數 x 的集合叫做閉區間， 記做 a, b ；滿足 a xb 的實數 x 的集合叫做開區間，記做( a, b) ；滿足 axb ，或 ax b的 實 數 x 的 集 合 叫 做 半 開 半 閉 區 間 ， 分

6、 別 記 做 a, b)， ( a, b ； 滿 足x a, x,ax , bx的實b數 x 的集合分別記做 a, ),( a,),(, b,(, b) 注意：對于集合 x | ax b 與區間 (a,b) ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必須a b （ 3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時，定義域是全體實數 f ( x) 是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數 f ( x) 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于 1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負

7、）指數冪的底數不能為零若 f (x) 是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知f (x) 的定義域為 a, b ，其復合函數 f g (x) 的定義域應由不等式ag ( x)b 解出對于含字母參數的函數，求其定義域， 根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義;.（ 4）求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值因此求函數的最值與

8、值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值判別式法：若函數yf (x) 可以化成一個系數含有y 的關于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，則在 a( y)0 時，由于 x, y 為實數，故必須有b2 ( y)4a( y) c( y)0 ，從而確定函數的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化

9、為三角函數的最值問題反函數法： 利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值函數的單調性法【】函數的表示法（ 5）函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系（ 6）映射的概念設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法則f ，對于集合A 中任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應法則f

10、）叫做集合A 到 B 的映射，記作f : AB 給定一個集合A 到集合 B 的映射，且aA, bB 如果元素a 和元素 b 對應，那么我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函數的基本性質【 】單調性與最大（小）值（ 1）函數的單調性定義及判定方法函數的圖象判定方法定義性 質;.如果對于屬于定義域I 內（ 1）利用定義某個區間上的任意兩個yy=f(X)f(x2 )（ 2）利用已知函數自變量的值 x1 、x2, 當 x1<的單調性（ 3）利用函數圖象x2 時，都有 f(x 1)<f(x2) ，f(x1 )（在某個區間圖那么就說f(x) 在這個區ox

11、x象上升為增）間上是增函數 12x函數的（ 4）利用復合函數單調性如果對于屬于定義域I 內（ 1）利用定義某個區間上的任意兩個yy=f(X)（ 2）利用已知函數自變量的值 x1、x2，當 x1<f(x 1)的單調性（ 3）利用函數圖象x2 時，都有 f(x 1)>f(x2) ，2f(x )（在某個區間圖那么就說f(x) 在這個區ox1x 2x象下降為減）間上是減函數 （ 4）利用復合函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數對于復合函數yf g( x) ，令 ug (x) ，若 yf (u) 為增，

12、 ug (x) 為增，則yf g( x)為增；若 yf (u) 為減， ug( x) 為減，則 yf g( x) 為增；若 yf (u)為增， ug( x) 為減，則yf g( x) 為減；若yf (u) 為減， ug (x) 為增，則yf g( x)為減（ 2）打“”函數 f ( x)xa (a0)的圖象與性質xf (x) 分別在 (,a 、 a ,) 上為增函數，分別在a ,0) 、 (0,a 上為減函數（ 3）最大（小）值定義一般地， 設函數 yf ( x) 的定義域為 I ，如果存在實數 M滿足：（ 1）對于任意的 xI ，都有 f (x) M ；（ 2）存在 x0I ，使得f ( x

13、0 ) M 那么，我們稱 M 是函數 f ( x) 的最大值，記作f max ( x)M yox一般地， 設函數 yf ( x) 的定義域為I ，如果存在實數m 滿足：（ 1）對于任意的 xI ，都有 f ( x)m ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 )m 那么，我們稱m 是函數 f (x) 的最小值，記作fmax ( x)m ;.【 】奇偶性（ 4）函數的奇偶性定義及判定方法函數的定義圖象判定方法性 質如果對于函數f(x) 定義（ 1）利用定義（要域內任意一個x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x), 那么函關于原點對稱）（ 2）利用圖象（圖數 f(x) 叫做奇函數 象關于原

14、點對稱）函數的奇偶性如果對于函數f(x) 定義（ 1）利用定義（要域內任意一個x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x) , 那么 函 數關于原點對稱）（ 2）利用圖象（圖f(x) 叫做偶函數 象關于 y 軸對稱）若函數 f (x) 為奇函數，且在 x 0 處有定義，則 f (0) 0 奇函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相反在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數補充知識函數的圖象（ 1）作圖利用描點法作圖：確定函數的定義

15、域；化解函數解析式；討論函數的性質（奇偶性、單調性）；畫出函數的圖象利用基本函數圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象平移變換yf ( x)yf ( x)伸縮變換h 0,左移 h個單位 h 0,右移 | h|個單位k 0,上移 k個單位 k 0,下移 | k|個單位y f (x h) y f (x) kyf ( x)01,伸1,縮yf ( x)0A 1,縮A 1,伸對稱變換y f ( x) y Af ( x);.yf ( x)y f ( x) y f ( x)yf ( x)x軸yf (x)yf()y軸f(x)xy原點f ( x)yf ( x)直線 y