1、最優(yōu)捕魚模型一.問題的重述捕魚業(yè)在當(dāng)今社會中十分重要的行業(yè)， 捕魚量的大小決定著捕魚的經(jīng)濟(jì)效益，其中捕魚量與捕魚時間有著密切關(guān)聯(lián) . 所以如何利用數(shù)學(xué)模型了解捕魚量與捕魚時間之間的關(guān)系，是一個具有現(xiàn)實意義的問題 .現(xiàn)假設(shè)在一個魚塘中投放若干魚苗，魚苗尾數(shù)隨著時間的增長而減少，且相對減少率為常數(shù)；每尾魚的重量隨著時間增長而增加，且由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量增加率與魚的表面積成正比， 由于消耗引起的減少率與其重量本身成正比 . 分析如下問題：問題一：建立尾數(shù)和時間的微分方程并求解；問題二：建立每尾魚重量和時間的微分方程并求解；問題三：用控制網(wǎng)眼的方法不捕小魚，從一定時刻開始捕撈，用尾數(shù)的相對減少率表

2、示捕撈能力，分析開始捕魚的最佳時刻，使得捕獲量最大，并建立相關(guān)模型 .二 .問題分析1. 針對問題一，根據(jù)相對減少率的數(shù)學(xué)定義，可以建立魚尾數(shù)和時間的微分方程；2. 針對問題二，將魚體假設(shè)為球體，得出魚的表面積與它重量的關(guān)系，使得魚的重量完全成為一個關(guān)于時間的函數(shù)，進(jìn)一步建立出魚重量與時間的微分方程；3. 針對問題三，將捕撈行為看作連續(xù)的過程，瞬時捕撈量與瞬時捕魚尾數(shù)、每尾魚瞬時重量呈正相關(guān)關(guān)系，瞬時捕魚尾數(shù)與捕撈能力有關(guān)，每尾魚瞬時重量可由對問題二的解答得出，總捕撈量即為瞬時捕撈量關(guān)于時間的積分.三 . 基本假設(shè)1假設(shè)自然因素不會對魚的尾數(shù)產(chǎn)生影響；2假設(shè)在整個捕撈過程中魚沒有繁衍行為；3假

3、設(shè)每尾魚都均衡生長；4假設(shè)在捕撈過程中魚的條數(shù)連續(xù)；5假設(shè)魚為球體 .四符號表示n0魚塘中最初投放的魚苗數(shù)量t時間n魚塘內(nèi)魚苗尾數(shù)與時間的函數(shù)r魚苗尾數(shù)的相對減少率V每尾魚體積S每尾魚表面積G每尾魚重量G0每尾魚初始重量精選文庫每尾魚重量密度n(t )t 時刻魚塘內(nèi)魚苗尾數(shù)k2每尾魚重量減少率與其重量本身比例系數(shù)k1每尾魚重量增加率與魚表面積比例系數(shù)T能獲得最大捕撈量的初始時間E捕撈能力W總捕撈量五模型建立與求解模型一 . 魚苗尾數(shù)的相對減少率為常數(shù)r .由相對減少率的定義得 n( t t )n( t )rn (t )t即 limn( t t )n( t )tlimrn (t )t 0t 0即

4、 dnrn (t )dt解得 nn0 e rt模型二 . 假設(shè)魚為球體，體積為V ，表面積為 S ，半徑為 R ，重量為 G ，初始重量為 G0 ，魚的密度為;且每尾魚的重量隨著時間增長而增加，其中由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量增加率與魚表面積成正比（比例系數(shù)為k1 ），由于消耗引起的減少率與其重量本身成正比（比例系數(shù)為k2 ）.由 V4R3 ， S=4R2， GV 得323432SG 334令 b=23又由于 dG =k1S-k2G , t =0 ， GG0dt所以 Gk1b +3 G0- k1b e323t-1 kk2k2-2精選文庫模型三 . 控制網(wǎng)眼不捕小魚， 魚塘中瞬時魚尾數(shù)用n(t) 表示，捕撈能力（ E ）可以用尾數(shù)的相對減少率1 dn 表示，從 T 時刻開始捕撈，使得捕撈量W 能夠最大 .n dt其中減少量包括自然減少量（即第一模型中的減少量）和捕撈量.此時， n(t) =n0e-at -En(t)E =-1 dn1d (n0e-at )=-n0e-at=an dtdt所以， WEn(t) dt=an0e-atdt= an0e-aTTT1+a(1+a)a則，在此模型下，捕撈時間越早，捕撈量越大 .模型四 . 建立在模型三的基礎(chǔ)上， 捕撈量的大小不僅取決于魚尾數(shù)n(t) ，還取決于魚的重量 G .即 WEn(t)GdtTan0e