1、華羅庚教授曾舉過一個例子：華羅庚教授曾舉過一個例子：從一個袋子里摸出來一個紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，從一個袋子里摸出來一個紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們立刻會出現一種猜想：立刻會出現一種猜想：“是不是袋里的東西全部都是紅玻是不是袋里的東西全部都是紅玻璃球？璃球？”但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了；這時我們會出現另外一個猜想：這個猜想失敗了；這時我們會出現另外一個猜想：“是不是不是袋里的東西全部都是玻璃球？是袋里的東西全部都是玻璃球

2、？”但是，當我們有一次摸但是，當我們有一次摸出一個木球的時候，這個猜想又失敗了；那時我們又會出出一個木球的時候，這個猜想又失敗了；那時我們又會出現第三個猜想：現第三個猜想：“是不是袋里的東西全部都是球？是不是袋里的東西全部都是球？”這個這個猜想對不對，還必須加以檢驗猜想對不對，還必須加以檢驗從上面的情境中，我們看到了探索活動是一個不斷地提出猜想驗證猜想再提出猜想再驗證猜想的過程第1頁/共46頁第2頁/共46頁問題情境問題情境11、對自然數、對自然數n，考，考查查112nnn0123456112nn11111331172341都是質數結論：結論：對所有的自然數對所有的自然數n， 都是質數。都是質

3、數。 112nn第3頁/共46頁2、前提前提：矩形的對角線的平方等于其長和寬的平：矩形的對角線的平方等于其長和寬的平方和。方和。 結論結論：長方體的對角線的平方等于其長、寬、：長方體的對角線的平方等于其長、寬、高的平高的平 方和。方和。3、前提前提：所有的樹都是植物，：所有的樹都是植物， 梧桐是樹。梧桐是樹。結論結論：梧桐是植物。：梧桐是植物。思考思考:這三個情境有什么共同特這三個情境有什么共同特點？點？這三個情境各什么特點？這三個情境各什么特點？都由前提和結論兩都由前提和結論兩部分構成部分構成推理的結構形式推理的結構形式有不同的特點有不同的特點推理推理第4頁/共46頁推理：推理：從一個或幾個

4、已知命題得出另一個新命題從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為的思維過程稱為推理推理.說明：說明：（1 1）任何推理都包括）任何推理都包括前提前提和和結論結論兩個部兩個部分；分；（2 2）前提是推理所依據的命題，它告訴我們已知什么；）前提是推理所依據的命題，它告訴我們已知什么； 結論是根據前提推得的命題，它告訴我們推出什么結論是根據前提推得的命題，它告訴我們推出什么（3 3）推理包括：）推理包括：合情推理合情推理和和演繹推理演繹推理 其中合情推理包括其中合情推理包括歸納推理歸納推理和和類比類比推理推理第5頁/共46頁第6頁/共46頁第7頁/共46頁第8頁/共46頁第9頁/共46頁例

5、例1. 蛇是用肺呼吸的蛇是用肺呼吸的, 鱷魚是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的， 海龜也是用肺呼吸的，海龜也是用肺呼吸的， 蜥蜴是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的， 蛇蛇、鱷魚鱷魚、海龜海龜、蜥蜴都是爬行動物。蜥蜴都是爬行動物。例例2 三角形的內角和是三角形的內角和是 , 凸四邊形的內角和是凸四邊形的內角和是 , 凸五邊形的內角和是凸五邊形的內角和是 180360540180)2(n例題解析：例題解析：由此我們猜想:凸n邊形的內角和是所以，所有的爬行動物都是用肺呼吸的。第10頁/共46頁例3:22 133 1由此我們猜想: ( , ,bbma b maam均為正實數）222332223333第11頁/

6、共46頁歸納推理的一般模式:S S1 1具有具有P,P,S S2 2具有具有P,P,S Sn n具有具有P,P, (S(S1 1,S,S2 2, ,S,Sn n是是A A類事物的對象）類事物的對象）所以A類事物具有P第12頁/共46頁歸納推理的幾個特點歸納推理的幾個特點; ;1.1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象歸納是依據特殊現象推斷一般現象, ,因而因而, ,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍. .2.2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象推斷尚屬未知的現象, ,因而結論具有猜測性因而結論具有猜

7、測性. .3.3.歸納的前提是特殊的情況歸納的前提是特殊的情況, ,因而歸納是立因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上足于觀察、經驗和實驗的基礎之上. .歸納是立足于觀察、經驗歸納是立足于觀察、經驗、實驗和對有限資實驗和對有限資料分析的基礎上料分析的基礎上. .提出帶有規律性的結論提出帶有規律性的結論. .需證明需證明第13頁/共46頁歸納推理的基礎歸納推理的基礎歸納推理的作用歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發現新事實、獲得新結論由部分到整體、個別到一般的推理注意注意歸納推理的結論不一定成立第14頁/共46頁第15頁/共46頁（3）地圖的“四色猜想”：數學家猜想，任何地圖著色只需四種顏色就

8、足夠了。直到1976年9月，美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了地圖的四色猜想是正確的! 他們將地圖的四色問題化為2000個特殊的圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了1200個小時，終于證明了四色問題。第16頁/共46頁（4）哥尼斯堡七橋猜想：18世紀在哥尼斯堡城的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖1所示。城中的居民經常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。第17頁/共46頁第18頁/共46頁2.2.人們仿照魚類的外型和它們在人們仿照魚類的外型和它們在水中沉

9、浮的原理水中沉浮的原理, ,發明了潛水艇發明了潛水艇. .1.1.古代工匠魯班類比帶齒的草葉古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒和蝗蟲的牙齒, ,發明了鋸發明了鋸第19頁/共46頁第20頁/共46頁第21頁/共46頁. . .試將平面上的圓與空間的球進行類比試將平面上的圓與空間的球進行類比第22頁/共46頁圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合的集合.圓圓弦弦直徑直徑周長周長面積面積球球截面圓截面圓大圓大圓表面積表面積體積體積第23頁/共46頁圓的

10、概念和性質圓的概念和性質球的類似概念和性質球的類似概念和性質圓心圓心與與弦弦(非直徑非直徑)中點連線垂直中點連線垂直于弦于弦.與與圓心圓心距離相等的兩距離相等的兩弦弦相等相等;與與圓圓心心距離不等的兩距離不等的兩弦弦不等不等,距距圓心圓心較較近的近的弦弦較長較長.以點以點P(x0,y0)為圓心為圓心,r為半徑的圓為半徑的圓的方程為的方程為(x-x0)2(y-y0)2=r2.球心與截面圓(不經過球心的截面圓)圓心連線垂直于截面圓.與球心距離相等的兩截面圓面積相等;與球心距離不等的兩截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大.以點P(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(

11、y-y0)2+(z-z0)2=r2.第24頁/共46頁第25頁/共46頁1、進行類比推理的步驟： (1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去猜測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；(3)檢驗這個猜想.2、類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質d.A類事物具有性質a,b,c,d,B類事物具有性質a,b,c,(a,b,c與a,b,c相似或相同）觀察、比較觀察、比較聯想、類推聯想、類推猜想新結論猜想新結論第26頁/共46頁第27頁/共46頁 1下面幾種推理是類比推理的是() A因為三角形的內角和是180(32)，四邊形的內角和是180(42)，所以n邊形的內角和

12、是180(n2) B由平面三角形的性質，推測空間四邊形的性質 C某校高二年級有20個班，1班有51位團員，2班有53位團員，3班有52位團員，由此可以推測各班都超過50位團員 D4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶數能被2整除 答案：B第28頁/共46頁 2已知bn為等比數列，b52，則b1b2b3b8b929，若an為等差數列，a52，則an類似的結論為() Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a3a929 Da1a2a929 解析：在等差數列中“積”變“和”得a1a2a929. 答案：D第29頁/共46頁第30頁/共46頁例題：類比平面內直角三角形的勾股定理，

13、例題：類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想。試給出空間中四面體性質的猜想。S3S2S1CAPEFDB第31頁/共46頁直角三角形直角三角形C C90902 2條直角邊條直角邊a a，b b和和1 1條斜條斜邊邊c c3個面兩兩垂直的四面體個面兩兩垂直的四面體PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三個兩兩垂直的面三個兩兩垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1個個“斜面斜面” ” S S例題例題:類比平面內直角三角形的勾股定理，類比平面內直角三角形的勾股定理， 試給出空間中四面體性質的猜想。試給出空間中四面體性質的猜想。ABCbacs1s3PEF的

14、面積為的面積為SPEs2F2322212ssss Mabc第32頁/共46頁2322212ssss ,212121,2222322caacDMDMcaDMEFacscaEF由題知PEF的面積為S222222bcaacPDDMPM )(222222222222222222222414141414121cbbacabcacacabcaaccaPMEFS )()()()(232221sss 2322212ssss 下面證明猜想是否成立：下面證明猜想是否成立：,cDPbDFaED證明：設過過D點作點作DMEF,垂足為垂足為M，連接，連接PM，則，則PMEFPEFMacb1S2S3S第33頁/共46頁

15、變式練習：在三角形ABC中有結論：AB+BCAC，類似地在四面體P-ABC中有 .PABCS1S2S3PAB的面積為SSSSS 321第34頁/共46頁平面圖形（二維）平面圖形（二維）立體圖形（三維）立體圖形（三維）點點點或線點或線線線線或面線或面平面直角坐標系平面直角坐標系空間直角坐標系空間直角坐標系幾何中常見的類比對象幾何中常見的類比對象第35頁/共46頁幾何中常見的類比對象幾何中常見的類比對象三角形三角形四面體四面體（各面均為（各面均為三角形三角形）四邊形四邊形六面體六面體（各面均為（各面均為四邊形四邊形）圓圓球球代數中常見的類比對象代數中常見的類比對象復數復數向量向量方程方程函數函數不

16、等式不等式交集，并集，補集交集，并集，補集且，或，非運算且，或，非運算第36頁/共46頁四面體四面體（各面均為（各面均為三角形三角形）球球線線幾何中常見的類比對象幾何中常見的類比對象三角形三角形圓圓代數中常見的類比對象代數中常見的類比對象平面幾何平面幾何立體幾何立體幾何點點第37頁/共46頁例例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。、試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：等式的性質：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2; 猜想不等式的性質：猜想不等式的性質：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;例題解析：例

17、題解析：問：這樣猜想出的結論是否一定正確？問：這樣猜想出的結論是否一定正確？第38頁/共46頁例例2 類比實數的加法和乘法類比實數的加法和乘法,列出它們相似的運算性質列出它們相似的運算性質.類比角度類比角度實數的加法實數的加法實數的乘法實數的乘法運算結果運算結果若若a,bR,則則a+bR運算律運算律(交換律和交換律和結合律結合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運算逆運算加法的逆運算是減法加法的逆運算是減法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a單位元單位元a+0=a若若a,bR,則則abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運算是除法乘法的逆運算是除法,使得使得

18、ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a第39頁/共46頁圓的概念和性質圓的概念和性質球的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長以點以點(x(x0 0,y,y0 0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點的連線中點的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓心

19、的連線垂直于截面的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點以點(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圓的性質類比得出球的性質利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的體積3 34 4V = RV = R3 3球的表面積球的表面積2 2S = 4RS = 4R圓的周長圓的周長 S S = = 2 2R R圓的面積圓的面積2 2S S = =R R第40頁/共46頁練習練習. 在平面上在平面上,設設ha,hb,hc是三角形