1、習題解答習題解答習題解答習題解答Solving o f problemsSolving o f problems1Quantum mechanics小小 結結第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題2/88小結小結(Summary)一維問題數(shù)學上處理較簡單一維問題數(shù)學上處理較簡單,容易得到嚴格解容易得到嚴格解,而量而量子力學體系的特征子力學體系的特征,都可以在一維問題中展示都可以在一維問題中展示.此外此外,一維問題是處理各種復雜問題的基礎一維問題是處理各種復雜問題的基礎.關于一維定關于一維定態(tài)問題態(tài)問題,有幾個一般定理有幾個一般定理:(1),定態(tài)解的復數(shù)共軛必定定態(tài)解的復數(shù)共軛必定也是同一能量的定

2、態(tài)解也是同一能量的定態(tài)解;(2),對于具有空間反射不變對于具有空間反射不變性的勢函數(shù)性的勢函數(shù),若若(x)是定態(tài)解是定態(tài)解,則則 (- -x)也是同一能量也是同一能量的定態(tài)解的定態(tài)解;(3),勢函數(shù)的有限躍變點處勢函數(shù)的有限躍變點處,波函數(shù)及其導波函數(shù)及其導數(shù)必定連續(xù)數(shù)必定連續(xù);(4),無簡并定理無簡并定理.若一維勢若一維勢V(x)在有限在有限x處無奇點處無奇點,則對應全部束縛定態(tài)波函數(shù)都是不簡并則對應全部束縛定態(tài)波函數(shù)都是不簡并的的.就是說就是說,這類一維問題的分立能級無簡并這類一維問題的分立能級無簡并Quantum mechanics小小 結結第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題3/88(

3、5),節(jié)點交錯定理節(jié)點交錯定理.如將一維問題如將一維問題(規(guī)則勢函數(shù)規(guī)則勢函數(shù))的分立的分立譜波函數(shù)譜波函數(shù)n(x)按其能量本征值遞順序編號按其能量本征值遞順序編號,則對應第則對應第n+1個能級個能級En的本征函數(shù)的本征函數(shù)n(x),在其定義域內有限在其定義域內有限x值值處共有處共有n個節(jié)點個節(jié)點(即零點即零點).其中其中,基態(tài)無節(jié)點基態(tài)無節(jié)點;(6)宇稱交宇稱交錯定理錯定理.對于具有空間反射不變性的規(guī)則勢函數(shù)對于具有空間反射不變性的規(guī)則勢函數(shù),基態(tài)基態(tài)為偶宇稱為偶宇稱,第一激發(fā)態(tài)為奇宇稱第一激發(fā)態(tài)為奇宇稱,第二激發(fā)態(tài)為偶宇稱第二激發(fā)態(tài)為偶宇稱,依此按照能量本征值遞增順序依此按照能量本征值遞增

4、順序,奇偶宇稱交錯出現(xiàn)奇偶宇稱交錯出現(xiàn).一維無限深方勢阱的勢函數(shù)一維無限深方勢阱的勢函數(shù),能量本征值能量本征值,坐標表象下坐標表象下的能量本征函數(shù)為的能量本征函數(shù)為:222220,0sin,0( ), ( ),1,2,.,0,20,0,nn xxaxanV xxEnaaxxaaxxa動量波函數(shù)為關于動量的連續(xù)函數(shù)動量波函數(shù)為關于動量的連續(xù)函數(shù)(見題見題4),這是量子這是量子學非定域效應的一個例子學非定域效應的一個例子Quantum mechanics小小 結結第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題4/88質量為質量為粒子在諧振子勢場粒子在諧振子勢場V= x2/2中運動中運動,其能量本其能量本征值

5、征值,及其相應的能量本征函數(shù)為及其相應的能量本征函數(shù)為22/21(),( )(),2,2!xnnnnEnnxN eHxNn 22( )( 1)nnxxnndH xeedx 即即H1(x)=1,H2(x)=2x等等,能量本征函數(shù)能量本征函數(shù)n(x),的宇稱性質的宇稱性質n(- -x),=(- -1)nn(x),其中基態(tài)無節(jié)點其中基態(tài)無節(jié)點,必為偶宇稱態(tài)必為偶宇稱態(tài),又是又是最小不確定態(tài)最小不確定態(tài).此外此外,諧振子問題也可在動量表象中求解諧振子問題也可在動量表象中求解.Quantum mechanics小小 結結第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題5/88除了求解束縛態(tài)以外除了求解束縛態(tài)以外,還

6、有一類問題即一維散射問題還有一類問題即一維散射問題,束束縛定態(tài)的能量本征值一般由方程結合邊界條件縛定態(tài)的能量本征值一般由方程結合邊界條件,波函數(shù)波函數(shù)連接條件確定連接條件確定,是分立的是分立的,而且束縛態(tài)本身滿足平方可積而且束縛態(tài)本身滿足平方可積條件條件,一定是可歸一的一定是可歸一的.散射態(tài)則一定不可歸一散射態(tài)則一定不可歸一,其能量本其能量本征值是連續(xù)的征值是連續(xù)的(取決于入射粒子取決于入射粒子).設粒子從勢壘左邊入射設粒子從勢壘左邊入射,其波函數(shù)其波函數(shù)的漸近行為如下給出的漸近行為如下給出:112,( ),ik xik xik xerexxsex其中其中k1,k2分別為入射波和透射波的波矢分

7、別為入射波和透射波的波矢,反射振幅反射振幅r,透射透射振幅振幅s,根據(jù)具體的勢函數(shù)求解根據(jù)具體的勢函數(shù)求解.透射系數(shù)和反射系數(shù)別為透射系數(shù)和反射系數(shù)別為:2221| | | ,| | |sriijjkRrSsjjkQuantum mechanics小小 結結第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題6/88能量小于勢壘高度的粒子仍可以一定幾率透射能量小于勢壘高度的粒子仍可以一定幾率透射,稱為隧稱為隧道效應道效應.Gamov就是利用隧道效應解釋了放射性核素的就是利用隧道效應解釋了放射性核素的衰變衰變,對于如下方勢壘對于如下方勢壘0,00,0,VxaVxxa002 (),2:exp2 ()aVEaTVE

8、當當時時透透射射系系數(shù)數(shù)此式是掃描隧道顯微鏡的工作原理此式是掃描隧道顯微鏡的工作原理 Quantum mechanics小小 結結第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題7/88-勢的勢函數(shù)為勢的勢函數(shù)為V(x)=(x),其中其中為一常數(shù)量為一常數(shù)量.根據(jù)波函數(shù)根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋以及波函數(shù)滿足的的幾率解釋以及波函數(shù)滿足的Schrodinger方程方程, x=0處處波函數(shù)連接條件為波函數(shù)連續(xù)波函數(shù)連接條件為波函數(shù)連續(xù),而波函數(shù)導數(shù)滿足而波函數(shù)導數(shù)滿足22(0 )(0 )(0)-勢阱勢阱(為負為負)存在唯一的一個束縛態(tài)存在唯一的一個束縛態(tài).-勢問題的求解也勢問題的求解也可在動量表象中進行可在動量表象

9、中進行.另外另外,如果求解如果求解-勢的散射問題勢的散射問題,則則可知其透射振幅在可知其透射振幅在k復平面正虛軸上的極點對應于復平面正虛軸上的極點對應于-勢勢阱的束縛態(tài)阱的束縛態(tài).其實其實,束縛態(tài)在散射振幅的極點里束縛態(tài)在散射振幅的極點里,這是一個這是一個普遍的事實普遍的事實.Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題8/881,設粒子處于二維無限深勢阱中設粒子處于二維無限深勢阱中0,0,0( , ),xaybV x y其其余余地地方方求粒子的能量本征值和本征函數(shù)求粒子的能量本征值和本征函數(shù).如如a=b,能級簡并度如何能級簡并度如何? 解解:定態(tài)薛定

10、諤方程定態(tài)薛定諤方程 22222()( , ) ( , )( , )2V x yx yEx ymxy00,E其其余余地地方方22222() ( , )( , ),0,02x yEx yx ay bmxy 分離變量法分離變量法( , )( ) ( )x yX x Y y2222221122XYEm XxmY y22222211,22xyxyXYEEEEEm Xxm Yy22222222,0,0yxxyxymEmEXYkkk Xk YxyQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題9/8822222222,0,0yxxyxymEmEXYkkk Xk Yxy

11、sin,sinxxyyXCk x YCk y|0, |0, ,1,2,.x axxy byyxyXk a nYk b nn n22222222222222,2222,()22222xyyyyxxxxyn nxyknnknnEEEEEmmammbmab2200221,1,abxyX dxCY dyCab2( , )sinsinyxnnx yxyabab2222,22, ( , )sinsin,(),1,2,.2xyyxn nxyxynnabx yxy Ennn naaama可見簡并度取決于可見簡并度取決于(nx,ny)使得使得nx2+ny2=nx2+ny2的的(nx,ny)組組個數(shù)個數(shù),例如基態(tài)

12、無簡并例如基態(tài)無簡并,第一激發(fā)態(tài)第一激發(fā)態(tài)(1,2),(2,1)二重簡并二重簡并,.Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題10/882,設粒子限制在長方體中運動設粒子限制在長方體中運動,即即0,0,0,0( , , ),x ay bz cV x y z 其其余余地地方方求粒子的能量本征值和本征函數(shù)求粒子的能量本征值和本征函數(shù).如如a=b=c,能級簡并度如何能級簡并度如何? 解解:定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 2222222()( , , ) ( , , )( , , )2V x y zx y zEx y zm xyz00,E其其余余地地方方222

13、2222(),0,0,02Ex ay bzcmxyz 分離變量法分離變量法( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z222222222111222XYZEm XxmY ymZz222222222111,222xyzxyzXYZEEE EEEEm Xxm Yym Zz222222222222,0,0,0yxzxyzxyzmEmEmEXYZkkkk Xk Yk ZxyzQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題11/88sin,sin,sinxxyyzzXCk x YCk y ZCk z|0, |0,|0,1,2,.x axxy

14、 byyz bzzxyzXk anYk bnZk cnn n n22222222222222222222222,222,222222()2xyzyyxxzzxyzyxznnnxyzknknknEEEmmammbmmcnnnEEEEmabc2220002221,1,1,abcxyzX dxCY dyCZ dzCabc22( ,)sinsinsinyxznnnx yxyzabcabc222222222222,0,0,0yxzxyzxyzmEmEmEXYZkkkk Xk Yk Zxyz223/2222,22,( , , )( )sinsinsin,()2xyzyxznnnxyznnnabcx y z

15、xyz EnnnaaaamaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題12/8822( ,)sinsinsinyxznnnx yxyzabcabc3/222222,22, ( , , )( )sinsinsin,(),1,2,.2xyzyxzn n nxyzxyznnnabcx y zxyzaaaaEnnnn n nma可見簡并度取決于可見簡并度取決于(nx,ny,nz)使得使得nx2+ny2+nz2=nx2+ny2+nz2 的的(nx,ny,nz)組個數(shù)組個數(shù),基態(tài)無簡并基態(tài)無簡并,其他例如第一激發(fā)態(tài)其他例如第一激發(fā)態(tài)(1,1,2),(1,2,1)

16、,(2,1,1)三三重簡并重簡并,. Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題13/883,設粒子處于一維無限深方勢阱中運動設粒子處于一維無限深方勢阱中運動,即即0,0( ),0,xaV xxxa對處于第對處于第n個定態(tài)個定態(tài)n(x)的粒子計算坐標和動量的期望值的粒子計算坐標和動量的期望值x,p以及以及相應的漲落相應的漲落x,p.討論當討論當n的情況的情況,并與經(jīng)典力學比較并與經(jīng)典力學比較.解解:粒子波函數(shù)為當粒子波函數(shù)為當0 xa時時2( )sinnn xxaa當當xa時時,n(x)=0.22220020222022|( )|sin()sin1(

17、1 cos2)sin2cos2|22(2 )2ann xaxxxdxxdxxnxdxaaaaaxxaxnx dxnxnxnn21cossincosxxpxdxpxpxppQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題14/88222223220022322220333222022|( )|sin( )sin22(1 cos2)()sin2cos2|22(2 )(2 )32ann xaxxxdxxdxxnxdxaaaaaxxxaaxnx dxnxnxnnnn223222cos()sincosxxxpxdxpxpxppp22222222266()()(1),

18、1122 3aaxxxxxxnn *00202( )()( )sin(sin)2sincoscos|02annaan xn xpxix dxdxxaiaxann xn xinan xdxai aaaanaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題15/8822*2220222002( )( )|( )|()sin1212()(1 cos)() (cos)|()2annnaann xpx px dxpxdxdxaaann xnan xndxxaaaaanaa22222()()() ,nnppppppaa 22622 3xpn 2,2 2anxp Qua

19、ntum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題16/88經(jīng)典力學計算經(jīng)典力學計算:粒子將在勢阱中粒子將在勢阱中(0 x0方向運動方向運動,在到達在到達a之前做速度為之前做速度為v0的勻速運動的勻速運動,與與a碰撞后以碰撞后以- -v0返回返回,以此以此類推則類推則.00002(1),2(1)(21)2,(21)2 )natnatnaxnatnatn avvvv000000/2/00/2/000/111( )( )( )11(2)2TaaCaaaaxx t dtx t dtx t dtTTTatdtat dtTTvvvvvvvv00000/2/222200/2/

20、02222000/111( )( )( )113TaaCaaaxxt dtxt dtxt dtTTTat dttdtTTvvvvvvv與量子力學計算與量子力學計算n情形一致情形一致.與量子力學計算與量子力學計算n情形基本一致情形基本一致.Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題17/8800002(1),2(1)(21)2,(21)2 )natnatnaxnatnatn avvvv000000/2/00/2/000/11( )( )( )()0TaaCaaaampmt dtt dtt dtTTTmmdtdtTTvvvvvvvvvvv0000022/

21、2/2222200/22/02220000/1( )( )( )()TaaCaaammpmt dtt dtt dtTTTmmdtdtmTTvvvvvvvvvvv與量子力學計算與量子力學計算n情形一致情形一致.與量子力學計算與量子力學計算n情形不一致情形不一致.Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題18/884,設粒子處于一維無限深方勢阱中運動設粒子處于一維無限深方勢阱中運動,即即0,|/ 2( ),|xaV xxa處于基態(tài)處于基態(tài),求粒子的動量分布求粒子的動量分布.解解:粒子處于基態(tài)粒子處于基態(tài)(n=1),波函數(shù)波函數(shù):12cos,| |/2(

22、)0,| |/2xxaxaaxa它的動量空間波函數(shù)它的動量空間波函數(shù):/2/11/2()()/2/2/2/2()()/2/2112( )( )cos2211()()22cos12|2()()aipxipxaxxppiiixixaaipxaaaaaappixixaaaaxpdxexdxeaadxeeedx eeaaeeppaaaiiaa222(/ )papa221322 2cos42|( )|(/ ) papapaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題19/885,設粒子設粒子(能量能量E0)從左入射從左入射,碰到下列勢阱碰到下列勢阱:00,0(

23、),0 xV xV x試求阱的反射系數(shù)試求阱的反射系數(shù).解解:粒子在勢阱中的勢能函數(shù)分為兩個區(qū)域粒子在勢阱中的勢能函數(shù)分為兩個區(qū)域.對于對于x0區(qū)域區(qū)域,粒子波函數(shù)方程及其解粒子波函數(shù)方程及其解:2()()0,2/,()ikxxkxkm Exse入射粒子流密度與反射粒子流密度分別為入射粒子流密度與反射粒子流密度分別為:2(. ),|2ik xik xiridJeec cJrJimdx 透射粒子流密度為透射粒子流密度為:222(. )| | | |2ikxikxsidkkJeecc sssJimdxmkQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題20/8

24、8x=0波函數(shù)及導數(shù)的連續(xù)性給出波函數(shù)及導數(shù)的連續(xù)性給出:1,1krsrsk 22(1) ,kks skkk2(1) ,kkkrs rkkk02() /,2/km EVkmE 00002,EVEEVrsEVEEVE22040|()riVJrJEVEQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題21/886,(a),利用利用Hermite多項式的遞推關系多項式的遞推關系,證明諧振子波函數(shù)證明諧振子波函數(shù)滿足下列關系滿足下列關系:11222211( )( )( )221( )(1)( )(21)( )(1)(2)( )2nnnnnnnnnxxxxxxn nx

25、nxnnx(b),由此證明由此證明,在在n (x)下下:0,/2nxVE證明證明:(a),諧振子波函數(shù)諧振子波函數(shù)2/2( )( ),2 !nnnmxeHxn Hermite多項式的遞推關系多項式的遞推關系:11( )2( )2( )0nnnHHnHQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題22/882/22 !nen11( )2( )2( )0nnnHHnH在上式兩邊乘以在上式兩邊乘以1111( )( )( )22nnnnnxxxx222/2/2/211( ) 2( ) 2( )02!2!2!nnnnnneHeHneHnnn112(1)( )2(

26、)2( )0nnnnxxxnx 再乘以再乘以x211222222211( )( )( )( )22111112( )( )( )( )2222221(1)( )(21)( )(1)(2)( )2nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxnnnnnnxxxxn nxnxnnxQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題23/88(b),由波函數(shù)的正交歸一化得由波函數(shù)的正交歸一化得:1111( )( )( )22nnnnnxxxx2*|( )|( )( )0nnnxxxdxx xx dx諧振子的哈密頓量及能量諧振子的哈密頓量及能量:22211,()222

27、npHmxEnm其勢能的平均值其勢能的平均值:22222*2211|( )|( )( )221(1/2)111()2222nnnnVmxmxxdxx xx dxnmnEmQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題24/887,(a),利用利用Hermite多項式的遞推關系多項式的遞推關系,證明諧振子波函數(shù)證明諧振子波函數(shù)滿足下列關系滿足下列關系:1122222( )1( )( )22( )(1)( ) (21)( )(1)(2)( )2nnnnnnndxnnxxdxdxn nxnxnnxdx(b),由此證明由此證明,在在n (x)下下:210,22n

28、EpTpm證明證明:(a),諧振子波函數(shù)諧振子波函數(shù)2/2( )( ),2 !nnnmxeHxn Hermite多項式的遞推關系多項式的遞推關系:1()2()nnHnHQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題25/882/21( )( ),( )2( ),2 !nnnnnxeHHnHn222/2/22/21( )2( ),()nnddH xn Hxeexedxdx2222/2/22/2/2211( )( )( )2!( )2( )( )2( )2!nnnnnnnnndxdHdeHedxdxdxnxeHen Hxxnxn 1111( )( )( )2

29、2nnnnnxxxx11( )1( )( )22nnndxnnxxdxQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題26/8811( )1( )( )22nnndxnnxxdx211222222( )( )1( )( )221 ( )( )222112 ( )( )222(1)( )(21)( )(1)(2)( )2nnnnnnnnnnndxdxdn dndxxdxdxdxdxdxnnnxxnnnxxn nxnxnnxQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題27/88(b),由波函數(shù)的正交歸一化得由波函數(shù)的正

30、交歸一化得:*( )( )( )()( )0nnnnpx px dxxix dxx諧振子的哈密頓量及能量諧振子的哈密頓量及能量:22211,()222npHmxEnm其勢能的平均值其勢能的平均值:22*22211( )()( )()()22nnpxx dxnnmx2111()2222npTnEmQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題28/888,諧振子處于諧振子處于n (x)態(tài)下態(tài)下,試計算以下各量試計算以下各量:2222,xxxpppxp 解解:利用題利用題6,7結果結果:22110,(),0,()22xxnppnmm22221()21()21

31、1()22xxxnmpppnmxpn Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題29/889,荷電為荷電為q的一維諧振子的一維諧振子,受到沿振子運動方向大小為受到沿振子運動方向大小為的的外電場作用外電場作用,其勢函數(shù)為其勢函數(shù)為:221( )2V xmxq x解解:將勢函數(shù)進行變形將勢函數(shù)進行變形:求能量的本征值和本征函數(shù)求能量的本征值和本征函數(shù).22222222111( )()222qqV xmxq xmxmm這樣這樣Schrodinger方程為方程為:2222222222222211( )() ( )( )22211( )()( )() ( )2

32、22qqxmxxExmmmqqxmxxExmmmQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題30/88222222211( )()( )() ( )222qqxmxxExmmm22222222,( )()()11()()() ()222qqxxxxxmmqxmxxExmm對照諧振子方程知其能量本征態(tài)和本征值為對照諧振子方程知其能量本征態(tài)和本征值為:()()nxx2222()()11()22nnnqxxmqEnm Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題31/8810,粒子在如下不對稱勢阱中運動粒子在如下不對

33、稱勢阱中運動. 12,0( )0,0,VxVxx aVxa其中其中V1V20,求能量的本征值和本征函數(shù)求能量的本征值和本征函數(shù).解一解一:求束縛態(tài)解求束縛態(tài)解(0EV2),x0區(qū)域粒子的區(qū)域粒子的Schrodinger方程為方程為:21( )( )( ),02xVxEx xm2111( )( )0,2 () / ,0 xkxkm VEx11( ),0k xxCex0 xa區(qū)域粒子的區(qū)域粒子的Schrodinger方程為方程為:2222( )( )0,2 () / ,xkxkm VExa22( ),k xxC exa根據(jù)根據(jù)x=0,a兩處波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性可得兩處波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性可得:

34、22111222()()k ak aikaikaikaikaCABk Cik ABC eAeBek C eik AeBe2211112222(1)2(1)2(1)2(1)2k ak aikaikakkiCAiCBkkkkiC eAeiC eBekkQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題33/8811222 ()/ ,2/ ,2 ()/km VEkmEkm VE2211112222(1)2(1)2(1)2(1)2k ak aikaikakkiCAiCBkkkkiC eAeiC eBekk2222111122()()()()k aikaikak ak

35、ik C eekik Ckik Cekik C e22112() ()() ()ikakikkikekikkik1221ikakikVekikV2121222221()ikakik kkk kVekkV 2121222222121121222222121()()cos()()sinEVEVEkk kVVkakkVVVEVEVEk kkVVkakkVVV Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題34/882121222222121121222222121()()cos()()sinEVEVEkk kVVkakkVVVEVEVEk kkVVkakkVV

36、V 121221212()()tan()()EVEVEk kkkakk kEVEVE2222sincos2 tansin2222tancoscossincottan1tan22222xxxxxxxxxxx1222122 tan()21tan2kak kkkakk k221212tan2tan102()2kk kkakak kkQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題35/88解二解二:0 xa區(qū)域粒子的區(qū)域粒子的Schrodinger方程為方程為:12111222( ),2 () / ,0( ),2 () / ,k xk xxCekm VExxC

37、ekm VExa2( )( )0,2/ ,0 xkxkmExa( )sin(),0 xAkxxa根據(jù)根據(jù)x=0,a兩處波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性可得兩處波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性可得:22111222sincossin()cos()k ak aCAkCkAC eAkak C ekAka1122tan,tan()kEkEkakVEkVEQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題36/881122tan,tan()kEkEkakVEkVEtantantan()1 tantan1212()tan()tantan1 tan()tan()()EVEVEkakakaEV

38、E VE此結果與此結果與解一解一的結果完全相同的結果完全相同Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題37/88221212tan2tan102()2kk kkakak kk222121212122222212121212tan()12()()1()()()()kk kkk kkak kkk kkkk kkkkkk kkk kk 11222 ()/ ,2/ ,2 ()/km VEkmEkm VE121 21212()()tan22()()EVE VEVVamEEVEVEEVEVE此方程為超越方程此方程為超越方程.Quantum mechanics習題

39、解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題38/8811,設設粒子在下列勢阱中運動粒子在下列勢阱中運動,試求粒子的能級試求粒子的能級. 22,0( )10,02xVxmxx解解:x0粒子的波函數(shù)滿足粒子的波函數(shù)滿足(0)=0,()=0,與普通諧振子能量比較知能量本征態(tài)為與普通諧振子能量比較知能量本征態(tài)為:21( )2( ),0,1,2,.nnxx n其中其中:n (x)為普通諧振子的波函數(shù)為普通諧振子的波函數(shù),粒子能量本征值為粒子能量本征值為:3(2),0,1,2,.2nEnnQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題39/8812,設設粒子處

40、于半壁粒子處于半壁無限高的勢場中無限高的勢場中. 0,0( ),00,xV xVxaxa試求粒子能量的本征值以及至少存在一個束縛能級的條件試求粒子能量的本征值以及至少存在一個束縛能級的條件.解解:求求束縛態(tài)解束縛態(tài)解(- -V0E0),在在x0區(qū)域區(qū)域 (x)=0.而而0 xa區(qū)域區(qū)域, Schrodinger方程為：方程為：2( )( )0,2/xKxKmE( ),KxxCexaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題40/880( ),2 () / ,0( ),2,ikxikxKxxAeBekm E VxaxCeKmE xa00, (0)0,0

41、, ( )sin,0 xABxAkxxa根據(jù)根據(jù)x=a處波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性可得處波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性可得:00sin,cosKaKaAkaCeA kkaCKetankkaK可見與對稱方勢阱的奇宇稱態(tài)束縛態(tài)能量條件相同可見與對稱方勢阱的奇宇稱態(tài)束縛態(tài)能量條件相同,本題本題的束縛態(tài)實際上是對稱方勢阱的奇宇稱態(tài)的束縛態(tài)實際上是對稱方勢阱的奇宇稱態(tài).tanka0區(qū)域區(qū)域 (x)=0.而而x0區(qū)域區(qū)域, Schrodinger方程為：方程為：2( )()( )( )2xxaxExm其中能量本征值其中能量本征值E0.在在x=- -a位勢的奇異性導致波函數(shù)導數(shù)位勢的奇異性導致波函數(shù)導數(shù)的跳躍的跳躍.為

42、考慮這一點為考慮這一點,在在x=- -a的鄰域作積分的鄰域作積分:aadx 222()()()0,()()()2maaaaaam xa區(qū)域區(qū)域, Schrodinger方程為：方程為：2( )( )2xExm2( )( )0,2/xKxKmE( ),KxxAexaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題46/88同理在同理在- -ax0,故當故當L2a時時f(s)沒有正根沒有正根,因此此時不存在束縛態(tài)因此此時不存在束縛態(tài).因此存在束縛態(tài)的條件是因此存在束縛態(tài)的條件是:L0,故當故當L2a時時f(s)沒有正根沒有正根,因此此時不存在束縛態(tài)因此此時不存

43、在束縛態(tài).因此存在束縛態(tài)的條件是因此存在束縛態(tài)的條件是:L2a.22/242 ,( )0sa LaLa fseL因此因此f (s)是增函數(shù)是增函數(shù).Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題49/8822 ,(0)10,()1aLa ffL 2/2/2,( )1,( )1sa Lsa LaKLs f ssefseL 根據(jù)連續(xù)函數(shù)中值定理并有根據(jù)連續(xù)函數(shù)中值定理并有f (s)是增函數(shù)是增函數(shù), f (s)在在(0,+)上有唯一零點上有唯一零點,設為設為s002/0022()10,ln2s a LaLafsesLaL 0000,( )0,0,( )0,s

44、sf ssf s 因此當因此當0ss0時時,f(s)從從2ln122LaLaLa遞增到遞增到f(+)=+由連續(xù)函數(shù)中值定理并由由連續(xù)函數(shù)中值定理并由f(s)在在ss0上的遞增性上的遞增性,f(s)在在ss0上有唯一的根上有唯一的根s*.這相當于系統(tǒng)唯一的束縛態(tài)這相當于系統(tǒng)唯一的束縛態(tài).Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題50/882/,( )1sa LKLs f sse s*相應于相應于K=s*/L,束縛態(tài)能量束縛態(tài)能量.22222*22KsEmm L2210,02KELmL2/10sa Lse 為一超越方程為一超越方程,無法解析求解無法解析求

45、解,對應于不同的對應于不同的a/L,用數(shù)值用數(shù)值方法求得如下方法求得如下:a/L 0.5+ 0.6 0.7 0.8 1 1.2 1.5 2 3 +s* 0+ 0.314 0.511 0.642 0.797 0.879 0.941 0.980 0.998 1 Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題51/8814,同上同上勢阱勢阱,設粒子從左設粒子從左(x0.求反射振求反射振幅幅,并解析拓展到并解析拓展到E0區(qū)域區(qū)域,分析極點位置分析極點位置,與上題結果比較與上題結果比較.解解:在在x0區(qū)域區(qū)域 (x)=0.而而x0區(qū)域區(qū)域, Schrodinger

46、方程為：方程為：2( )()( )( )2xxaxExm在在x=- -a位勢的奇異性導致波函數(shù)導數(shù)的跳躍位勢的奇異性導致波函數(shù)導數(shù)的跳躍.為考慮這一為考慮這一點點,在在x=- -a的鄰域作積分的鄰域作積分:aadx 222()()()0,()()()2maaaaaam xa區(qū)域區(qū)域, Schrodinger方程為：方程為：2( )( )2xExm2( )( )0,2/xkxkmE( ),02ikxikxAeBexaxi Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題52/8822,()()()mLaaaL x0)的粒子向的粒子向x正向正向運動運動,在在x

47、=0處有一勢階處有一勢階,當當x0時勢能為時勢能為0,x0時勢能為時勢能為 - -E/3.試求經(jīng)勢階散射以后的反射粒子數(shù)以及透射粒子數(shù)試求經(jīng)勢階散射以后的反射粒子數(shù)以及透射粒子數(shù)的期望值的期望值.解解:(a),粒子在勢阱中的勢能函數(shù)分兩個區(qū)域粒子在勢阱中的勢能函數(shù)分兩個區(qū)域,對于對于x0,粒子波函數(shù)方程及其解粒子波函數(shù)方程及其解:22( )( ),( )( )0,2/2xExxkxkmEm( ),2/ ,0ikxikxxerekmEx對于對于x0,V0=- -E/3粒子波函數(shù)方程及其解粒子波函數(shù)方程及其解:2200( )( )( ),( )( )0,2 ()/2xVxExxkxkm E Vm(

48、 ),4/3 ,0ik xxsekk xQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題62/88( ),2/ ,0, ( ),4/3 ,0ikxikxikxxerekmExxsekk x入射粒子流密度與反射粒子流密度分別為入射粒子流密度與反射粒子流密度分別為:2(. ),| | |22ikxikxiridkJeec cJrJimdxm222(. )| | | |2ikxikxsidkkJeecc sssJimdxmk透射粒子流密度為透射粒子流密度為:在在x=0處波函數(shù)及導數(shù)連續(xù)性給出處波函數(shù)及導數(shù)連續(xù)性給出:1,1krsrsk22(1) ,kks skk

49、k2(1) ,kkkrs rkkkQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題63/882,kkkrskkkk2322 3(23) ,3232rs2/ ,4/3kmEkk透射系數(shù)與反射系數(shù)分別為透射系數(shù)與反射系數(shù)分別為:2424|( 32)9756 3,| ( 32)56 396,risiJRrJJkSsJk1RS所求所求10000個粒子的反射粒子數(shù)以及透射粒子數(shù)的期望值個粒子的反射粒子數(shù)以及透射粒子數(shù)的期望值:1000051.5,100009948.5rsNRNSQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題6

50、4/8818,試證明對于圖中所示的試證明對于圖中所示的任意勢壘的一維散射問題任意勢壘的一維散射問題,粒子的反射系數(shù)粒子的反射系數(shù)R以及透射以及透射系數(shù)系數(shù)S滿足滿足R+S=1.證明證明:如果勢函數(shù)如果勢函數(shù)V(x)沒有給定沒有給定,則則(x)無法求解無法求解,因而無因而無法計算各種幾率流密度法計算各種幾率流密度,但對于如圖勢壘但對于如圖勢壘,勢函數(shù)滿足勢函數(shù)滿足:V0V(x)Ox0lim( )0,lim( )xxV xV xV考慮波函數(shù)考慮波函數(shù)(x)的漸進行為的漸進行為.111,( ),2/ik xik xxxerekmE 入射粒子流密度與反射粒子流密度及反射系數(shù)分別為入射粒子流密度與反射粒

51、子流密度及反射系數(shù)分別為:1121(. ),| | | |22ikxikxirikdJeeccJrJimdxm2| |riJRrJQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題65/88220,( ),2 () /ik xxxsekm EV 透射粒子流密度與透射系數(shù)分別為透射粒子流密度與透射系數(shù)分別為:22222222211(. )| | | |,| |2ik xik xssiiJkkkdJeecc sssJ SsimdxmkJk在在x軸上任取兩點軸上任取兩點x1、x2,由于定態(tài)條件由于定態(tài)條件x1、x2之間粒子的之間粒子的總幾率不變總幾率不變,根據(jù)粒子

52、幾率守恒根據(jù)粒子幾率守恒(V(x)是實函數(shù)是實函數(shù)), x1、x2兩兩點的幾率密度相等點的幾率密度相等(J1=J2).可見對于一維定態(tài)問題可見對于一維定態(tài)問題,幾率密幾率密度處處相等度處處相等,現(xiàn)在取現(xiàn)在取x=- -,x=.*2( )( ). |(1 | | )(1)2xiriidJxxccJJrJR Jimdx 111,( ),2/ik xik xxxerekmE *2( )( ). | |2xsiidJxxccJsJSJimdx,1JJR SQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題66/8819,同上題圖中所示的一維勢壘同上題圖中所示的一維勢壘

53、,其勢函數(shù)其勢函數(shù)V(x),試證明對試證明對于相同能量的粒子于相同能量的粒子,從勢壘左邊入射與從右邊入射從勢壘左邊入射與從右邊入射,其反其反射系數(shù)、透射系數(shù)均相同射系數(shù)、透射系數(shù)均相同.證明證明:粒子粒子從勢壘左邊入射從勢壘左邊入射,其波函數(shù)的漸進行為如下其波函數(shù)的漸進行為如下:112111202/,( ),2 () /ik xik xLik xkmEerexxs exkm EV 反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為:2221111111| ,| ,1kRrSsRSk現(xiàn)在設現(xiàn)在設粒子粒子從勢壘右邊入射從勢壘右邊入射,其波函數(shù)的漸進行為如下其波函數(shù)的漸進行為如下:221122202/

54、,( ),2 () /ik xik xRik xkmEer exxs exkm EV 反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為:2212222222| ,| ,1kRrSsRSkQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題67/88波函數(shù)波函數(shù)L(x), R(x)均滿足均滿足Schrodinger方程方程:22( )( ) ( )0mxEV xx*22( )( )( )0mxEV xx由上式可知若由上式可知若L(x)是定態(tài)是定態(tài)Schrodinger方程的解方程的解,則則L*(x) 也也是相同能量的定態(tài)是相同能量的定態(tài)Schrodinger方程

55、的解方程的解,因而它們的如下線因而它們的如下線性組合也同樣是相同能量的定態(tài)性組合也同樣是相同能量的定態(tài)Schrodinger方程的解方程的解*1*111( )( )LLrxxss221*11*1*11*1,1,ik xik xik xr seexsr rexs 22122,( ),ik xik xRik xer exxs ex 與與R(x)的漸進行為完全相同的漸進行為完全相同.Quantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題68/88而一維定態(tài)問題簡并度最多為而一維定態(tài)問題簡并度最多為2,可知可知= R比較兩式得比較兩式得:221*11*1*11*1,1,

56、ik xik xik xr seexsr rexs 22122,( ),ik xik xRik xer exxs ex *2111112221*11111111 |1r rrRS kkssssss kk2211kssk因而得粒子從勢壘右邊入射的透射系數(shù)因而得粒子從勢壘右邊入射的透射系數(shù):22221212221112121| ()|kkkkSsssSkkkk即粒子從勢壘右邊入射的透射系數(shù)等于從勢壘左邊入射即粒子從勢壘右邊入射的透射系數(shù)等于從勢壘左邊入射的透射系數(shù)的透射系數(shù).再再R1+S1=1,R2+S2=1,得證得證:R1=R2.2222211111222212| ,| ,| ,|kkRrSsR

57、rSskkQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題69/8820,設設粒子無限深方勢阱粒子無限深方勢阱0,0( ),0,xaV xxxa解解:(a),歸一化條件歸一化條件:222225011|( )|()|30axdxAxaxdxAa中中,狀態(tài)用波函數(shù)狀態(tài)用波函數(shù)(x)=Ax(a-x)描述描述,A是歸一化常數(shù)是歸一化常數(shù).(a),求歸一化常數(shù)求歸一化常數(shù);(b),求粒子處于能量本征態(tài)求粒子處于能量本征態(tài)2( )sinnnxxaa的幾率的幾率Pn,特別是特別是P1.(c),求求(x)下能量的平均值及漲落下能量的平均值及漲落.530Aa(b),無限深方

58、勢阱中粒子歸一化的能量本征態(tài)及本征值無限深方勢阱中粒子歸一化的能量本征態(tài)及本征值:22222( )sin,1,2,.2nnnxnxEnaamaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題70/88530( )()xx axa(b),(x)可用這組完備的本征函數(shù)展開可用這組完備的本征函數(shù)展開22222( )sin,1,2,.2nnnxnxEnaama( )( )nnxcx*50030( )( )()sinaannn xcxx dxx axdxaa22232122sincossin,sin()cossinxxxxpxdxpxpxxpxdxpxpxppppp

59、332 601( 1) nncn 330119201(21)( )sin(21)kkxxaka*1666960960,1,3,.0.998nnnPc cnPnQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題71/88*1666960960,1,3,.0.998nnnPc cnPn由于由于P1Pn(n1),(x)處于處于n(x)(n1)的幾率遠小于處的幾率遠小于處于于1(x)的幾率的幾率,也就是說基本上處于也就是說基本上處于1(x)態(tài)態(tài),因此因此(x)與與1(x)=Asinx/a的曲線非常相似的曲線非常相似.(c),能量的平均值可以按照幾率分布的公式計算能量

60、的平均值可以按照幾率分布的公式計算.224*2442400480151,(21)(21)96nnnkkEc c Emakmak4422*22422242002401301,(21)(21)8nnnkkEc c Em akm ak2225()EEEmaQuantum mechanics習題解答習題解答第三章一維定態(tài)問題第三章一維定態(tài)問題72/88另解另解:(c),在坐標表象下利用歸一化波函數(shù)通過積分直接計在坐標表象下利用歸一化波函數(shù)通過積分直接計算算.22*522002*2*00224522240305( )( )()() ()2( )( )( )( )3030() ()() ()22aanaa