1、例析立體幾何中的排列組合問題春暉中學過月圓在數學中，排列、組合無論從內容上還是從思想方法上，都體現了實際應 用的觀點。立體幾何與排列組合綜合問題是高考命題的新趨勢，體現了考試大 綱要求的在知識交匯處命題的指導思想，應引起考生的重視。立體幾何中的計 數問題也是高考的熱點題型，解決這類問題的基本方法是以點帶面法，下面列舉 立體幾何中排列、組合問題的幾個例子。1占八、1. 1共面的點例1 （1997年全國高考（文）四面體的一個頂點為 A，從其它頂點與棱的中點中取 3個點，使它們和點 A在同 一平面上，不同的取法有（）A. 30種 B. 33種 C. 36種 D. 39種解析：四面體有4個頂點，6條棱

2、有6個中點，每個面上的6個點共面。點A所 在的每個面中含A的4點組合有，個，點A在3個面內，共有A在6條棱的3條棱上，每條棱上有3個點，這3點與這條棱對棱的中點共面 所以與點A共面的四點組合共有v個。答案：B點評：此題主要考查組合的知識和空間相像能力；屬97文科試題中難度最大的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的 3點與它對棱上的中點共面的情況計 算在內。1. 2不共面的點例2 （1997年全國高考（理）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 （）A. 150種 B. 147 種 C. 144 種 D . 141 種解析：從10個點中任取4個點有（種取法，

3、其中4點共面的情況有三類：第- 類，取出的4個點位于四面體的同一個面內，有 種；第二類，取任一條棱上 的3個點及對棱的中點，這4點共面有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊 形，它的4個頂點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同取法共有：匚；仁一 ？二厲 種。答案：D o點評：此題難度很大，是當時高考中得分最低的選擇題，對空間想像能力要求高， 很好的考察了立體幾何中點共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧 及分類討論的數學思想。2直線例3 （2005年全國高考卷1（理）過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（）A. 18對 B . 24 對 C. 30對 D

4、. 36對C1 Bi分析：選項數目不大，若不宜用公式直接求解，可考慮用樹圖法。解析：法一：一條底面棱有5條直線與其異面。例：與AB異面的直線分別是 B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。側面中與底面相交的棱有4條與其異面的直線；例：與BB1異面的直線分別是 AC、AC1、A1C1、A1C,側面中的對角線有5 條與其異面的直線；例：與AB1異面的直線分別是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每條直線都數兩遍。共有5x6+4x3+5x6=36對法二：一個四面體中有3對異面直線，在三棱柱的六個頂點中任取四個，可構 成四面體的個數為:仁 八二厶故共有異面直線'-1：| : o答案：

5、D點評：解法一是例舉法，把符合要求的所有的情況全列出來，列舉時一定要按 一定的次序進行，以防遺漏和重復，這一看似笨拙的方法對數目不太大的情況常給 人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，這一方法經常用到；解法二是利用影 射，構造四面體解決的，有較高的技巧，在競賽中時常出現。3平面例4 a B是兩個平行平面，在a內取4個點，在B內取5個點，這9個點最多能 確定多少個平面？解析：例5 （2002年全國高考）從正方體的六個面中選3個面，其中有兩個面不相鄰的選法共有（）A. 8種 B. 12 種 C. 16種 D . 20 種解析：4模型4. 1平面多邊形例6 （2004年高考 湖南卷）從正方體的八個頂

6、點中任取三個點為頂點作三角形， 其中直角三角形的個數為（）A. 56 B. 52 C. 48 D . 40解析：由于正方體各個頂點的位置一樣，故可研究一個頂點，比如B點。以B為直角頂點的三角形有：'二故正方體中共有'''o 答案：C點評：在，；中直角頂點只有一個，從直角頂點出發考慮問題可避免重復，正方 體中各頂點位置均等，抓住這一點也是問題解決得關鍵。4. 2空間多面體例7從正方體的八個頂點中任取四個點，所取的四個點中能構成四面體的取法共有5其它例8 （2005年高考江蘇卷）四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產品，有公共點的兩條棱所代表的化工產 品放在同一倉庫是危險的，沒有公共點的兩條棱所代表的化工產品放在同一倉庫是 安全的，現打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產品，那么安全存放的不同方法種數為（）A. 96 B. 48 C. 24 D . 0，與每條側棱異面