1、精選優質文檔-傾情為你奉上圓周運動中的臨界問題和周期性問題一、圓周運動問題的解題步驟：1、確定研究對象2、畫出運動軌跡、找出圓心、求半徑3、分析研究對象的受力情況，畫受力圖4、確定向心力的來源5、由牛頓第二定律列方程求解二、臨界問題常見類型：1、按力的種類分類：（1）、與彈力有關的臨界問題：接觸面間的彈力：從有到無,或從無到有 繩子的拉力：從無到有，從有到最大，或從有到無（2）、與摩擦力有關的彈力問題：從靜到動，從動到靜，臨界狀態下靜摩擦力達到最大靜摩擦2、按軌道所在平面分類：（1）、豎直面內的圓周運動（2）、水平面內的圓周運動三、豎直面內的圓周運動的臨界問題1、單向約束之繩、外軌道約束下的豎

2、直面內圓周運動臨界問題：特點：繩對小球，軌道對小球只能產生指向圓心的彈力 mgO軌道mgO 臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：mg=mv2/Rv臨界= （可理解為恰好轉過或恰好轉不過的速度） 即此時小球所受重力全部提供向心力能過最高點的條件：v，當v時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力不能過最高點的條件：vV臨界（實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道做斜拋運動）例1、繩子系著裝有水的木桶，在豎直面內做圓周運動，水的質量m=0.5kg，繩子長度為l=60cm，求：（g取10m/s2）A、最高點水不留出的最小速度？B、設水在最高點速度為V=3m/s，求水對桶底的壓力？答案：（1） （2）2.5

3、NmgO變式1、如圖所示，一質量為m的小球，用長為L細繩系住，使其在豎直面內作圓周運動.(1)若過小球恰好能通過最高點，則小球在最高點和最低點的速度分別是多少？小球的受力情況分別如何？(2)若小球在最低點受到繩子的拉力為10mg，則小球在最高點的速度及受到繩子的拉力是多少？2、單向約束之內軌道約束下（拱橋模型）的豎直面內圓周運動的臨界問題：汽車過拱形橋時會有限速，是因為當汽車通過半圓弧頂部時的速度時，汽車對弧頂的壓力FN=0，此時汽車將脫離橋面做平拋運動，因為橋面不能對汽車產生拉力例2、半徑為 R 的光滑半圓球固定在水平面上，頂部有一小物體，如圖所示。今給小物體一個水平初速度，則小物體將（ ）

4、A.沿球面下滑至 M 點 B.先沿球面下滑至某點，然后便離開斜面做斜下拋運動.按半徑大于 R 的新的圓弧軌道做圓周運動 D.立即離開半圓球做平拋運動3、雙向約束之輕桿、管道約束下的豎直面內圓周運動的臨界問題物體(如小球)在輕桿作用下的運動，或在管道中運動時，隨著速度的變化，桿或管道對其彈力發生變化這里的彈力可以是支持力，也可以是壓力，即物體所受的彈力可以是雙向的，與輕繩的模型不同因為繩子只能提供拉力，不能提供支持力；而桿、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中運動，物體速度較大時可對上壁產生壓力，而速度較小時可對下壁產生壓力在彈力為零時即出現臨界狀態（一）輕桿模型如圖所示，輕桿一端連一

5、小球，在豎直面內作圓周運動(1)能過最高點的臨界條件是：這可理解為恰好轉過或恰好不能轉過最高點的臨界條件，此時支持力(2)當時，N仍為支持力，且N隨v的增大而減小，(3)當時，N0，此為輕桿不受彈力的臨界條件 (4)當時，N隨的增大而增大，且N為拉力指向圓心，例3、如圖所示，有一長為L的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質量為m的小球，現使小球恰好能在豎直面內做完整的圓周運動。已知水平地面上的C點位于O點正下方，且到O點的距離為1.9L。不計空氣阻力。(1)求小球通過最高點A時的速度vA;(2)若小球通過最低點B時，細線對小球的拉力T恰好為小球重力的6倍，且小球經過B點的瞬間讓細線斷裂，求

6、小球落地點到C點的距離。解：(1)小球恰好能做完整的圓周運動，則小球通過A點時細線的拉力剛好為零，根據向心力公式有：mg=解得:。(2)小球在B點時根據牛頓第二定律有T-mg=m其中T=6mg解得小球在B點的速度大小為vB=細線斷裂后，小球從B點開始做平拋運動，則由平拋運動的規律得:豎直方向上1.9L-L=(2分)水平方向上x=vBt(2分)解得:x=3L(2分)即小球落地點到C點的距離為3L。答案:(1)(2)3L管道模型質點(小球)在光滑、豎直面內的圓管中作圓周運動(圓管截面半徑r遠小于球的圓周運動的半徑R)，如圖所示小球達到最高點時對管壁的壓力有三種情況：(1)剛好對管壁無壓力，此時重力

7、為向心力，臨界速度為(2)當時，對下管壁有壓力，此時，故。(3)當時，對上管壁有壓力，此時。實際上，輕桿和管道兩種約束情況可化歸為同類的物理模型，即雙向約束模型例4、一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多），圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）。A球的質量為m1，B球的質量為m2。它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為v0。設A球運動到最低點時，球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應滿足關系式是 。解：首先畫出小球運動達到最高點和最低點的受力圖，如圖4-1所示。A球在圓管最低點必受向上彈力N1，

8、此時兩球對圓管的合力為零，m2必受圓管向下的彈力N2，且N1=N2。據牛頓第二定律A球在圓管的最低點有： 同理m2在最高點有： m2球由最高點到最低點機械能守恒： 由上述方程可得：【小結】 比較復雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變為簡單問題。找出其中的聯系就能很好地解決問題。四、水平面內圓周運動中的臨界問題：解決圓周運動中臨界問題的一般方法1、對物體進行受力分析2、找到其中可以變化的力以及它的臨界值3、求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值4、用向心力公式求出運動學量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值OOA例5、水平轉盤上放有質量為m的物快，當物塊到

9、轉軸的距離為r時,若物塊始終相對轉盤靜止，物塊和轉盤間最大靜摩擦力是正壓力的倍，求轉盤轉動的最大角速度是多大？ 解：由 得： 點評：提供的向心力的臨界值決定了圓周運動角速度的臨界值變式5、物體與圓筒壁的動摩擦因數為 ，圓筒的半徑為R，若要物體不滑下，圓筒的角速度至少為多少？ 解： 得30°45°ABC例6、如圖所示，兩繩系一質量為m0.1kg的小球，上面繩長L2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊，當角速度為3 rads時，上、下兩繩拉力分別為多大？解：當漸大，AC繩與桿夾角變大，但BC繩還沒拉直。當AC

10、繩與桿夾角為30°時，BC繩處在虛直狀態。之后再增大，BC繩上也會有拉力。所以BC繩虛直為臨界狀態。30°45°ABC，BC繩上有拉力。分析小球，由牛頓第二定律：變式6-1：如圖，長為L的繩子，下端連著質量為m的小球，上端接于天花板上，當把繩子拉直時，繩與豎直方向夾角=60°。此時小球靜止于光滑水平面上。（1）當小球以 做圓錐擺運動時，繩子張力多大？桌面支持力多大？（2）當小球以 做圓周運動時，繩子張力多大？桌面受到的壓力多大？答案：（1）T=mg (2)T=4mg mgNT變式6-2、如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與

11、軸線之間的夾角為30°，一條長度為L的繩（質量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體（物體可看質點），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。當v時，求繩對物體的拉力；當v時，求繩對物體的拉力。解：物體在水平面內做勻速圓周運動，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，當角速度很小時，物體在圓錐體上運動。由（2）得：代入（1）得：由此可得，當v增大時，N減少。當大到一定值時，物體將離開錐面，繩與豎直方向的夾角將變大。顯然當球與錐面虛接觸（即N=0，=30°）時的線速度值為物體的臨界速度。對球分析，由牛頓第二定律：當，所以N>0。由（

12、2）得：代入（1）得：當，此時N=0，但夾角變大，不為30°由（6）得：（7），代入（5）得：代入（7）得：例7、如圖所示，細繩一端系著質量M0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質量m0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N。現使此平面繞中心軸線轉動，問角速度在什么范圍m會處于靜止狀態？（g10ms2）Mrom（的范圍是：即 2.9 rads6.5 rads）變式7：在以角速度勻速轉動的轉臺上放著一質量為M的物體，通過一條光滑的細繩，由轉臺中央小孔穿下，連接著一m的物體，如圖所示。設M與轉臺平面間的最大靜摩擦力為壓力的k倍

13、，且轉臺不轉時M不能相對轉臺靜止。求：（1）如果物體M離轉臺中心的距離保持R不變，其他條件相同，則轉臺轉動的角速度滿足什么條件，物體M才能隨轉臺轉動？（2）物體M隨轉臺一起以角速度勻速轉動時，物體離轉臺中心的最大距離和最小距離。Mm答案：（1）（2）例8、 如圖所示，在水平轉臺上放有A、B兩個小物塊，它們距離軸心O分別為，它們與臺面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的0.4倍，取。（1）當轉臺轉動時，要使兩物塊都不發生相對于臺面的滑動，求轉臺轉動的角速度的范圍；（2）要使兩物塊都對臺面發生滑動，求轉臺轉動角度速度應滿足的條件。答案：（1） （2）變式8：如圖，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向

14、放置用細線相連的質量均為m的A、B兩個小物塊。A離軸心的距離r1=20cm，B離軸心的距離r2=30cm，A和B與盤面間相互作用的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，求：OOB A（1）若細線上沒張力，圓盤轉動的角速度應該滿足什么條件？（2）欲使A、B與盤間不發生相對滑動，圓盤轉動的最大角速度為多少？（3）當A即將滑動時，燒斷細線，A、B運動狀態如何？答案：（1） （2）4rad/s（3）A繼續做圓周運動，B做離心運動五、圓周運動的周期性問題：利用圓周運動的周期性把另一種運動（例如勻速直線運動、平拋運動）聯系起來。圓周運動是一個獨立的運動，而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時

15、間相等來聯系。在這類問題中，要注意尋找兩種運動之間的聯系，往往是通過時間相等來建立聯系的。同時，要注意圓周運動具有周期性，因此往往有多個答案。例9：如圖所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉動，其正上方h處沿OB方向水平拋出一個小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B，則小球的初速度v_，圓盤轉動的角速度_。【審題】小球做的是平拋運動，在小球做平拋運動的這段時間內，圓盤做了一定角度的圓周運動。解：小球做平拋運動，在豎直方向上：hgt2則運動時間t又因為水平位移為R， 所以球的速度 vR·在時間t內，盤轉過的角度n·2，又因為t則轉盤角速度：2n(n1，2，3)【總結】上

16、題中涉及圓周運動和平拋運動這兩種不同的運動，這兩種不同運動規律在解決同一問題時，常常用“時間”這一物理量把兩種運動聯系起來。變式9-1：如圖所示，小球Q在豎直平面內做勻速圓周運動，當Q球轉到圖示位置時，有另一小球P在距圓周最高點為h處開始自由下落.要使兩球在圓周最高點相碰，則Q球的角速度應滿足什么條件？【審題】下落的小球P做的是自由落體運動，小球Q做的是圓周運動，若要想碰，必須滿足時間相等這個條件。解：設P球自由落體到圓周最高點的時間為t，由自由落體可得gt2=h 求得t=Q球由圖示位置轉至最高點的時間也是t，但做勻速圓周運動，周期為T，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3) 兩式聯立再由T

17、=得 (4n+1)=所以=(4n+1) (n=0，1，2，3)【總結】由于圓周運動每個周期會重復經過同一個位置，故具有重復性。在做這類題目時，應該考慮圓周運動的周期性六、圓周運動中的臨界問題練習：ro1、如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，當物塊到轉軸的距離為r時，連接物塊和轉軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉盤間最大靜摩擦力是其下壓力的倍。求：當轉盤角速度1時，細繩的拉力T1。當轉盤角速度2時，細繩的拉力T2。答案：（1）0 （2）2、 （ABD）3、( BD )4、在質量為M的電動機飛輪上，固定著一個質量為m的重物，重物到軸的距離為R，如圖所示，為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪轉動的最大角速度不能超過（ B ）ABCD5、A B在光滑的水平面上釘有兩個釘子A和B.相距20cm.用一根長度為1m的細繩.一端系一個質量為0.4kg的小球.另一端栓在釘子A上.使小球開始位于A的左邊.并以2m/s的速率在水平面上繞A做勻速圓周運動.若繩子承受4N的拉力就會斷.那么從開始運動到繩被拉斷.小球轉的半圓周數（ B ）A.2 B.3 C.4 D.56.如圖所示，水平轉盤可繞豎直中心軸轉動，盤上疊放著