1、第 2 講 命題及其關系、充分條件與必要條件、知識梳理1命題用語言、 符號或式子表達的， 可以判斷真假的陳述句叫做命題 其中判斷為真的語句叫 做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其關系(1) 四種命題間的相互關系(2) 四種命題的真假關系 兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； 兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系3充分條件、必要條件與充要條件的概念若 p? q，則 p 是 q 的充分條件， q 是 p 的必要條件p是 q的充分不必要條件p? q 且 q?/ pp是 q的必要不充分條件p?/ q 且 q? pp是 q的充要條件p? qp是 q的既不充分也不必要條件p

2、?/ q 且 q?/ p 注意 不能將“若 p，則 q ”與“ p? q”混為一談，只有“若 p，則 q”為真命題時，才有“ p? q”，即“ p? q” ? “若 p，則 q”為真命題常用結論1充要條件的兩個結論(1) 若 p 是 q 的充分不必要條件， q 是 r 的充分不必要條件，則 p 是 r 的充分不必要條件(2) 若 p 是 q 的充分不必要條件，則綈 q 是綈 p 的充分不必要條件2一些常見詞語及其否定詞語是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個是不等于不大于二、習題改編221(選修 1-1 P8A組 T2改編)命題“若 x2>y2，則 x>y”的逆否命題是 ( )

3、A“若 x<y，則 x2<y2”B“若 x>y，則 x2>y2”C“若 xy，則 x2 y2”D“若 xy，則 x2y2”解析：選 C.根據原命題和逆否命題的條件和結論的關系得命題“若x2>y2，則 x>y”的逆否命題是“若 xy，則 x2 y2”故選 C.2(選修 1-1 P10練習 T3(2)改編) “(x 1)( x2) 0”是“ x1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 B.若 x1，則(x1)( x2)0顯然成立，但反之不成立，即若( x1)( x2) 0，則 x 的值也可能為 2.故選 B.一、思考辨析

4、判斷正誤 ( 正確的打“”，錯誤的打“×”)(1) “ x22x3<0”是命題 ( )(2) 命題“若 p，則 q”的否命題是“若 p，則綈 q” ()(3) 若原命題為真， 則這個命題的否命題、 逆命題、 逆否命題中至少有一個為真 ( )(4) 當 q是 p的必要條件時， p是 q的充分條件 ( )(5) q不是 p 的必要條件時， “ p?/ q”成立 ()答案： (1) × (2) × (3) (4) (5) 二、易錯糾偏 常見誤區(1) 不明確命題的條件與結論；(2) 對充分必要條件判斷錯誤；(3) 含有大前提的命題的否命題易出錯1命題“若 ABC有

5、一內角為 3 ，則 ABC的三個內角成等差數列”的逆命題( )A與原命題同為假命題B與原命題的否命題同為假命題 C與原命題的逆否命題同為假命題D與原命題同為真命題解析：選 D.原命題顯然為真， 原命題的逆命題為“若 ABC的三個內角成等差數列， 則ABC有一內角為 3 ”，它是真命題22已知 p： a<0，q： a2>a，則綈 p 是綈 q 的條件( 填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要 ) 解析：綈 p： a0；綈 q：a2a，即 0 a1，故綈 p 是綈 q 的必要不充分條件 答案：必要不充分3已知命題“對任意 a，b R，若 ab>0，則 a>0”，

6、則它的否命題是 答案：存在 a，b R，若 ab0，則 a0.14四種命題的相互關系及其真假判斷 ( 師生共研 ) (2020·長春質量檢測 (二) 命題“若 x2<1，則 1<x<1”的逆否命題是 ( )A若 x2 1，則 x1或 x 1B若 1<x<1，則 x2<1C若 x>1 或 x< 1，則 x2>12D若 x1或 x 1，則 x2 1【解析】 命題的形式是“若 p，則 q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題為“若 綈 q，則綈 p”的形式，所以“若 x2<1，則 1<x<1”的逆否命題是“若 x1或 x

7、 1，則 x21”故選 D.【答案】 D(1) 判斷命題真假的兩種方法(2) 由原命題寫出其他三種命題的方法將原命題的條件與結論由原命題寫出其他三種命題， 關鍵要分清原命題的條件和結論， 互換即得逆命題， 將原命題的條件與結論同時否定即得否命題， 將原命題的條件與結論互換 的同時進行否定即得逆否命題1命題“若 a2 b20，則 a0 且 b0”的逆否命題是 （)A若a2b20，則a0且 b0B若a2b20，則a0或 b0C若a 0 且 b0，則 a2 b2 0D若a0或 b 0，則 a2 b2 0解析：選 D. “若 a2b20，則 a0 且 b0”的逆否命題是“若 a0或 b0，則 a2 b

8、2 0”，故選 D.2（2020·甘肅酒泉敦煌中學一診 ） 有下列四個命題，其中真命題是 （ ） “若 xy 1，則 lg xlg y0”的逆命題； “若 a·b a·c，則 a（b c） ”的否命題； “若 b0，則方程 x22bxb2b 0 有實根”的逆否命題； “等邊三角形的三個內角均為60°”的逆命題ABCD解析：選 B. “若 xy 1，則 lg xlg y0”的逆命題為“若 lg xlg y0，則 xy 1”，該命題為真命題；“若 a·b a·c，則 a（bc）”的否命題為“若 a·b a·c，則 a

9、不垂直 （bc） ”， 由 a·b a·c可得 a（bc）0，據此可知 a不垂直 （ bc） ，該命題為真命題； 若 b0，則方程 x22bxb2b0的判別式 （2b）24（b2b） 4b0，方 程有實根，為真命題，則其逆否命題為真命題； “等邊三角形的三個內角均為60°”的逆命題為“三個內角均為60°的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題綜上可得，真命題是 . 故選 B.充分條件、必要條件的判斷 （師生共研 ）（1）（2019 ·高考天津卷 ）設xR，則“x25x<0”是“|x1|<1”的 （）A充分而不必要條件B必要而不充分條件

10、C充要條件D既不充分也不必要條件（2）（2019 ·高考北京卷 ）設函數 f（x）cos x bsin x（b為常數），則“ b0”是“ f（x） 為偶函數”的 （ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件2解析】 (1)由x25x<0可得 0<x<5，由| x1|<1 可得 0<x<2.由于區間 (0 ， 2)是(0 ， 5) 的真子集，故“ x25x<0”是“|x1|<1 ”的必要而不充分條件(2)b0時，f(x)cos x，顯然 f ( x)是偶函數，故“ b0”是“ f ( x)是偶函數”的充

11、分條件； f ( x)是偶函數，則有 f ( x) f ( x) ，即 cos( x) bsin( x) cos xbsin x， 又 cos( x) cos x，sin( x) sin x，所以 cos x bsin xcos x bsin x，則 2bsin x0對任意 xR恒成立，得 b 0，因此“ b0”是“ f ( x)是偶函數”的必要條件 因此“b 0”是“ f( x)是偶函數” 的充分必要條件，故選 C.【答案】 (1)B (2)C充分條件、必要條件的三種判斷方法(1) 定義法：根據 p? q，q? p 進行判斷(2) 集合法：根據 p，q 成立的對應的集合之間的包含關系進行判斷

12、(3) 等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命 題進行判斷這個方法特別適合以否定形式給出的問題1設 U為全集， A，B是集合，則“存在集合 C使得 A? C，B? ?UC” 是“ AB?”的 ( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 A.由A? C，B? ?UC，易知 AB?，但AB?時未必有 A? C，B? ?UC，如圖 所示，所以“存在集合 C使得 A? C，B? ?UC”是“ AB ?”的充分不必要條件2設 x R，則“ 2 x0”是“(x1)21”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條

13、件2解析：選 B.2 x0，則 x2，( x1)21，則1x11，即 0x2，據此可知， “2x0”是“(x1) 21”的必要不充分條件3已知 p：xy2，q：x，y不都是 1，則 p是 q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 A.因為 p： x y 2， q：x 1或 y1，所以綈 p：xy 2，綈 q：x1 且 y1，因為綈 q? 綈 p 但綈 p?/ 綈 q，所以綈 q 是綈 p 的充分不必要條件，即 p 是 q 的充分不 必要條件故選 A.充分條件、必要條件的應用 （ 典例遷移 ）已知條件 p：集合 Px|x28x200，條件 q：非空集合 S

14、 x|1 mx1m 若 p是 q 的必要條件，求 m的取值范圍【解】 由 x28x200，得 2 x10， 所以 Px| 2x10，由 p 是 q 的必要條件，知 S? P.1 m 1 m，則 1m 2， 所以 0 m3.1m10，所以當 0 m3時， p是 q的必要條件，即所求 m的取值范圍是 0，3 問是否存在實數 m，使 p 是 q 的充要條件【遷移探究 1】 （ 變結論 ） 若本例條件不變，解：若 p 是 q 的充要條件，則 PS，1 m 2 ， 所以m3，所以1 m 10，m9，即不存在實數 m，使 p是 q的充要條件【遷移探究 2】（ 變結論 ） 本例條件不變，若綈 p 是綈 q

15、的必要不充分條件，求實數 m的取值范圍解：由例題知 P x| 2x10， 因為綈 p 是綈 q 的必要不充分條件， 所以 p? q 且 q? p.所以 2， 10 1 m，1m1m 2， 1m<2，所以 或1 m>101 m10.所以 m9，即 m的取值范圍是 9 ， ） 已知充分、必要條件求參數取值范圍的解題策略(1) 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合的包含、相等關 系，然后列出有關參數的不等式 ( 組) 求解(2) 涉及參數問題，直接解決較為困難時，可用等價轉化思想，將復雜、生疏的問題轉 化為簡單、熟悉的問題來解決，如將綈p，綈 q之間的關系轉化成 p

16、，q 之間的關系來求解 注意 (1) 注意對區間端點值的處理；(2) 注意條件的等價變形m 1 m 11設 p：m2 1<x<m2 1( m>0) ； q： x<12或 x>1，若 p 是 q的充分不必要條 件，則實數 m的取值范圍為 m 1 1解析：因為 p 是 q 的充分不必要條件，又 m>0，所以 2 2，所以 0<m2.答案： (0 ，2思想方法系列 1 等價轉化思想在充要條件中的應用 等價轉化思想就是對原問題換一個方式、 換一個角度、 換一個觀點加以考慮， 把要解決 的問題通過某種轉化， 再轉化， 化歸為一類已經解決或比較容易解決的問題， 從

17、而使問題得 到圓滿解決的思維方式已知條件 p：| x4|6；條件 q：(x1) m 0( m>0) 若綈 p是綈 q 的充分不 必要條件，則 m的取值范圍為 【解析】 條件 p： 2 x10，條件 q：1mx1 m，又綈 p 是綈 q的充分不必要 m>0，條件，則 q是 p 的充分不必要條件故有 1 m 2 ，所以 0<m3.1 m10，【答案】 (0 ，3本例涉及參數問題， 直接解決較為困難， 先用等價轉化思想， 將復雜、 生疏的問題化歸 為簡單、 熟悉的問題來解決 一般地，在涉及字母參數的取值范圍的充分、 必要條件問題中， 常常要利用集合的包含、相等關系來考慮，這是解此類

18、問題的關鍵1如果 x， y 是實數，那么“ x y”是“ cos xcos y”的 ()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件解析：選 C.法一：設集合 A（ x，y）| xy ，B（ x， y）|cos xcos y ，則 A的補集 C（ x，y）| xy ，B的補集 D（ x， y）|cos xcos y，顯然 C D，所以 B A，于 是“ x y”是“ cos x cos y”的必要不充分條件法二（等價轉化法 ） ：因為 xy? cos xcos y，而 cos xcos y?/ xy，所以“ cos x cos y”是“ x y”的必要不充分條件，故“ x

19、y”是“ cos xcos y”的必要不充分條 件2（2020·寧夏銀川一中模擬 ） 王昌齡的從軍行中兩句詩為“黃沙百戰穿金甲，不 破樓蘭終不還” ，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的 （ ）A充分條件 B必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件 解析：選 B. “攻破樓蘭”不一定“返回家鄉”，但“返回家鄉”一定是“攻破樓蘭”， 故“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的必要非充分條件故選 B. 基礎題組練 1已知命題 p：若 x a2b2，則 x2ab，則下列說法正確的是（ ）A命題 p 的逆命題是“若 B命題 p 的逆命題是“若 C命題 p 的否命題是“若 D命題 p 的否命題是“若

20、22 x<a2b2，則 x< 2ab” x< 2ab，則 x< a2b2”22 x<a2b2，則 x< 2ab” xa2b2，則 x< 2ab”解析：選 C.命題 p的逆命題是“若 x2ab，則 xa2b2”，故 A，B都錯誤；命題 p 的 否命題是“若 x<a2b2，則 x<2ab”，故 C正確， D錯誤2已知 p： a0， q： ab 0，則 p 是 q 的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 B. a0?/ ab 0，但 ab0? a 0，因此 p是 q 的必要不充分條件3已知 a，b，c 是實

21、數，下列結論正確的是 （ ）A“ a2>b2”是“ a>b”的充分條件B“ a2>b2”是“ a>b”的必要條件C“ ac2>bc2”是“ a>b”的充分條件D“| a|>| b| ”是“ a>b”的充要條件解析：選 C.對于 A，當 a5，b1 時，滿足 a2>b2，但是 a<b，所以充分性不成立； 對于 B，當 a 1，b 2時，滿足 a>b，但是 a2<b2，所以必要性不成立；對于 C，由 ac2>bc2得 c0，則有 a>b 成立，即充分性成立，故正確；對于D，當 a5，b1 時， | a|>|

22、b|成立，但是 a<b，所以充分性不成立，當 a1，b 2時，滿足 a>b，但是| a|<| b|，所以 必要性也不成立，故“| a|>| b|”是“ a>b”的既不充分也不必要條件故選C.4已知命題 ：如果 x<3，那么 x<5；命題 ：如果 x3，那么 x 5；命題 ：如 果 x5，那么 x3. 關于這三個命題之間的關系中，下列說法正確的是（ ） 命題 是命題 的否命題， 且命題 是命題 的逆命題； 命題 是命題 的 逆命題，且命題 是命題 的否命題；命題 是命題 的否命題，且命題 是命題 的逆否命題ABCD解析：選 A. 本題考查命題的四種形式，

23、逆命題是把原命題中的條件和結論互換，否命 題是把原命題中的條件和結論都加以否定， 逆否命題是把原命題中的條件與結論先都否定然 后互換所得，故正確，錯誤，正確5“（x1）（ y2）0”是“ x1且 y2”的條件解析：因為 （ x1）（ y2）0，所以 x1 或 y 2，所以 （ x1）（ y2）0?/ x 1 且 y 2， x 1 且 y2? （x1）（ y 2） 0，所以是必要不充分條件答案：必要不充分16已知命題 p： x1，命題 q： x<1，則綈 p 是 q 的 x解析：由題意，得綈 p：x>1， q：x<0 或 x>1，故綈 p 是 q 的充分不必要條件 答案：

24、充分不必要條件7若命題“ ax22ax 3>0不成立”是真命題，則實數 a 的取值范圍是 解析：由題意知 ax2 2ax30恒成立，a<0，當 a0 時， 3 0 成立；當 a0時，得24a212a0，解得3 a<0，故 3 a0.答案： 3， 08已知命題 p：（ x 3）（ x1）>0 ；命題 q：x>a22a 2.若綈 p是綈 q的充分不必要條 件，求實數 a 的取值范圍解：已知 p：（ x3）（ x 1）>0 ，可知 p：x>1或 x< 3，因為綈 p是綈 q 的充分不必要條 件，所以 q是 p的充分不必要條件，得 a22a21，解得 a1或 a3，即 a（ ， 13 ，） 綜合題組練 1（創新型）（2020 ·撫州七校聯考 ） A， B， C三個學生參加了一次考試， A， B的得分均 為 70 分， C的得分為 65 分已知命題 p：若及格分低于 70 分，則 A，B，C 都沒有及格則 下列四個命題中為 p 的逆否命題的是 （ ）A若及格分不低于 70 分，則 A， B， C都及格B若 A，B，C都及格，則及格分不低于 70 分C若 A，B，C至少有一人及格，則及格分不