1、7 7 克拉默（克萊姆）法則克拉默（克萊姆）法則的系數行列式不等于零，即的系數行列式不等于零，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD則方程組（則方程組（8 8）有）有唯一唯一解：解：. , , ,2211DDxDDxDDxnn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(8)(8)若線性方程組若線性方程組nbb1nnjnjnnnjjjaaaaaaaaD1,1,111, 11, 111 其中其中.), 2 , 1(nj 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明證明： 1)存在性。存在性。Dj= b1A1j+b2A

2、2j+bnAnj= nssjsAb1把把 代入第代入第 j (j=1,2,n)個方程，得個方程，得DDxjj iinsnjsjijsnjnsijijsnjnssjsijnjjijnjjijbDbDAabDAabDAbaDDDaxa 111111111111故故 是方程組的解。是方程組的解。DDxjj 克拉默法則證明，存在性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 克拉默法則證明，唯一性2)唯一性唯一性設設(c1,c2,cn)是方程組的一個解，則是方程組的一個解，則)n,i (bcainjjij211 )n,i (AbcaAikinjjijik211 DcAaccaAcaAknjniikijjninj

3、jijikninjjijik 111111,1kniikiDAb DDckk 得得所以方程組有唯一解。所以方程組有唯一解。左端相加左端相加右端相加右端相加 從而從而ckD=Dk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例19 解線性方程組解線性方程組 . 0674 , 52 2 , 96 3 , 8 5 243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212 06031151 2 D 2 12 060 31 212rr 075 1312 7 7 0 24rr 12772121357 212cc 71 5 3 07 232cc 2733 . 027 203 機動 目錄 上頁 下

4、頁 返回 結束 6 74 1 2 12 0 60 31 1 51 2 D1D 32 r 6740 212520 131518 3 74 120 151 3 213cc 110112242cc 1 02 2 271221115113 12 1 113 12cc 132cc 50622021 22521613 ,81 0 59 8 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 ,2707415120903185124 D,27 D,811 D于是得于是得. 1 , 1 , 4 , 34321 xxxx機動 目錄 上

5、頁 下頁 返回 結束 程的個數與未知量的個數不等時程的個數與未知量的個數不等時, , 就不能用克拉就不能用克拉通過上述例子通過上述例子, , 我們看到用克拉默法則求解我們看到用克拉默法則求解線性方程組時線性方程組時, ,要計算要計算 n+1 個個 n 階行列式階行列式, ,這個這個計算量是相當大的計算量是相當大的, , 所以所以, , 在具體求解線性方程在具體求解線性方程組時組時, , 很少用克拉默法則很少用克拉默法則. . 另外另外, , 當方程組中方當方程組中方默法則求解默法則求解. .但這并不影響克拉默法則在線性方程組理論但這并不影響克拉默法則在線性方程組理論中的重要地位中的重要地位.

6、. 克拉默法則不僅給出了方程組有克拉默法則不僅給出了方程組有唯一解的條件唯一解的條件, , 并且給出了方程組的解與方程組并且給出了方程組的解與方程組的系數和常數項的關系的系數和常數項的關系. .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 克拉默法則可敘述為下面的重要定理克拉默法則可敘述為下面的重要定理. . 定理定理 4 的逆否命題為的逆否命題為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(9)當當 全為零時，全為零時，nbbb,21即即稱稱（9）式為式為齊次線性方程組齊次線性方程組。021 nxxx一定是（一定是

7、（9）式的解）式的解 零解零解。若有一組不全為零的數是（若有一組不全為零的數是（9）式的解）式的解非零解非零解。定理定理5 5 如果齊次線性方程組（如果齊次線性方程組（9 9）的系數行列式）的系數行列式 D00，則（，則（9 9）式式沒有非零解沒有非零解（有唯一零解）。（有唯一零解）。定理定理55如果齊次線性方程組（如果齊次線性方程組（9 9）有非零解有非零解，則它的系數行列式，則它的系數行列式必為零。必為零。對于線性方程組（對于線性方程組（8）右端的常數項）右端的常數項nbbb,21線性方程組（線性方程組（8）叫做）叫做非齊次線性方程組非齊次線性方程組；不全為零時，不全為零時，機動 目錄 上

8、頁 下頁 返回 結束 解解例例20 問問取何值時，齊次線性方程組取何值時，齊次線性方程組 0-4 2 0 62 02 2 5zxyxzyx 有非零解？有非零解？（10）由定理由定理5知，要使（知，要使（10）有非零解，）有非零解， 則其系數行列式則其系數行列式D= =0。 402062225D 6444465 825. 0 得得 、 或或 。2 5 8 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 典型例題典型例題主要內容主要內容機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一章 行列式習題課習題課全排列機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一一 行列式定義行列式定義1.二階三階行列式的對角線法則2.n階行列式的

9、定義nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa21211 333231232221131211aaaaaaaaa注意注意:逆序數的求法逆序數的求法n 階行列式的性質階行列式的性質機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二二.行列式的計算行列式的計算1.利用定義法2.利用性質(6條性質)（如化三角形行列式）3.利用展開定理(降階法）4.利用已知結果（如范德蒙行列式）5.利用加邊法（升階法）6.利用遞推公式法7.利用數學歸納法注意：注意：代數余子式的重要性質：代數余子式的重要性質：nnnniinniinaaaabbaaaa1, 11 , 11, 11 , 1111inni

10、iAbAbAb2211nnjnnjnnnjjaabaaaabaa1,1,111, 111, 111njnjjAbAbAb2211關于代數余子式的重要性質機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三三.克拉默法則克拉默法則克拉默法則的理論價值克拉默法則的理論價值定理定理5 5 如果齊次線性方程組（如果齊次線性方程組（9 9）的系數行列式）的系數行列式 D00，則（，則（9 9）式）式沒有非零解沒有非零解（有唯一零解）。（有唯一零解）。定理定理55如果齊次線性方程組（如果齊次線性方程組（9 9）有非零解，）有非零解，則它的系數行列式必為零。則它的系數行列式必為零。典型例題典型例題一、計算排列的逆序數一、

11、計算排列的逆序數二、計算（證明）行列式二、計算（證明）行列式三、克拉默法則三、克拉默法則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 典型例題典型例題一、計算排列的逆序數一、計算排列的逆序數 （例）（例） .,并并討討論論奇奇偶偶性性的的逆逆序序數數求求排排列列kkkkkk 解解例例;0,2故故逆逆序序數數為為排排在在首首位位k; 1),2(11故故逆逆序序數數為為大大的的數數有有一一個個的的前前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序數為逆序數為故故大的數有一個大的數有一個的前面比的前面比kkk 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、計算排列的逆序數一、計算排列的逆序

12、數; 2),12 ,2(22 數數為為故故逆逆序序大大的的數數有有兩兩個個的的前前面面比比 kk; 2),12 ,2(2222 故故逆逆序序數數為為大大的的數數有有兩兩個個的的前前面面比比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數為故逆序數為個個大的數有大的數有的前面比的前面比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數為故逆序數為個個大的數有大的數有的前面比的前面比;),1, 12 ,2( kkkkkkk故故逆逆序序數數為為個個大大的的數數有有的的前前面面比比 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 kkkt 1122110 kkk 211122k 于是

13、排列的逆序數為于是排列的逆序數為當當 為奇數時，排列為奇排列為奇數時，排列為奇排列k當當 為偶數時，排列為偶排列為偶數時，排列為偶排列k 1) 1)(2(3232221212 kkkkkkkk二、計算（證明）行列式二、計算（證明）行列式 用定義計算（證明）用定義計算（證明）用定義計算用定義計算例用行列式定義計算例用行列式定義計算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、計算（證明）行列式二、計算（證明）行列式例解的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那

14、么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設設5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能組組成成，一一個個在在上上述述可可能能取取的的代代碼碼中中因因為為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算例例3計算計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根

15、據范德利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。.333222111222nnnDnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例解，于于是是得得到到增增至至冪冪次次數數便便從從則則方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，遞遞升升至至而而是是由由變變到到序序排排列列，但但不不是是從從次次數數自自左左至至右右按按遞遞升升次次方方冪冪數數的的不不同同方方冪冪中中各各行行元元素素分分別別是是一一個個10.1, 10, nnnDn解解.1333122

16、211111!121212nnnnDnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為 n 階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算例例4計算計算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解列都加到第一列，得列都加

17、到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 231221211110

18、10010001)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 用降階法計算用降階法計算，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324用降階法計算用降階法計算例例5計算計算.4abcdbadccdabdcbaD 解解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列列，得得列列都都減減去去第第、再再將將第第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 行展開，得行展開，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadc

19、baD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 列列，得得列列減減去去第第再再將將第第12行展開，得行展開，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5用遞推法計算（例用遞推法計算（例7）5用遞推法計算用遞推法計算例例6計算計算.1000

20、0000000100001000010000Dn解解拆成兩個行列式之和列把依第Dn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .10000000000100001000010000Dn.10000000000100001000000000化下三角形行列式按第一列展開機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .100000000000100000100000100000Dn.1Dn.1DDnnn從而由此遞推，得由此遞推，得221211,nnnnnnnDDDD于是如此繼續下去，可得如此繼續下去，可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2233221DDnnnnnn12332

21、21nnnnnnnnnn12216 擴充行列式 例8機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 6用加邊用加邊(升階升階)法計算法計算例例7計算計算.21xaaaaxaaaaxaDnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnxaaaaaxaaaaaxaaD 210001把第把第 1 列的列的 -1 倍加到其倍加到其余各列余各列nxaxaxa000000111121 把第把第 i 行的行的倍加到第一行倍加到第一行ix1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnxaxaxaxaxaxa00000000012121 nkknxaxxx1211用數學歸納法（例）用數學歸納法（例）用數學歸納法用數學歸納法例例8證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例證明證證對階數對階數n用數學歸納法用數學歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結結論論成成立立時時當當所所以以因因為為 nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現現將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數數等等于于下下證證對對的的行行列列式式結結論論成成立立假假設設對對階階數數小小于于