1、導數知識點歸納及應用一、相關概念1導數的概念略二、導數的運算1基本函數的導數公式: C0;（C為常數）xnnxn 1;(sin x)cos x ;(cos x)sin x; (ex ) ex ; (a x )ax ln a ; ln x1;x l o ga x1 log a e.x例 1：下列求導運算正確的是()A (x+1 )11B(log 2x) =1xx 2x ln 2xx2C (3 ) =3 log 3 eD (xcosx) =-2xsinx2導數的運算法則法則 1： ( uv) 'u 'v' .法則 2：'''.''uv

2、u vuv若C為常數,則(Cu)Cu .( )法則 3： uu' vuv'（ v0）。vv23. 復合函數求導三、導數的幾何意義函數 y=f （ x）在點 x 0 處的導數的幾何意義是曲線y=f （x）在點 p（ x 0 ， f （ x 0 ）處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f （ x）在點 p（x 0 ，f （ x 0 ）處的切線的斜率是f （ x 0 ）。相應地，切線方程為y y 0 =f / （ x 0 ）（ x x 0 ）。例：曲線f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 處的切線平行于直線y = 4 x - 1，則 p0 點的坐標為（）A (1,0)B (

3、2,8)C (1,0) 和 (1, 4)D (2,8) 和 ( 1,4)四、導數的應用1. 函數的單調性與導數（ 1）如果如果ff''( x)0，則 f (x) 在此區間上為增函數；( x)0 ，則 f ( x) 在此區間上為減函數。（2）如果在某區間內恒有 f ' ( x)0 ，則 f ( x) 為常數 。例：函數x x3x2f)( )31是減函數的區間為 (A (2,)B (,2)C( ,0)D（0，2）2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為 0，極值點處的導數為 0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正， 右側為負； 曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；例：

4、函數( )3239, 已知 f ( x)在x3時取得極值，則fxaxxa= ()xA 2B 3C 4D53最值：在區間 a ，b 上連續的函數f ( x) 在 a ， b 上必有最大值與最小值。但在開區間（a，b）內連續函數f （ x）不一定有最大值，例如f ( x)x3 , x( 1,1) 。函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出來的。函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例： 函數 f (x)x 33x

5、1 在閉區間 -3 ， 0 上的最大值、最小值分別是_、 _.（數學選修 1-1 ）第一章導數及其應用 基礎訓練 一、選擇題3函數 y = x3 + x 的遞增區間是（）A (0,)B (,1)C ( ,)D(1, )4 f ( x)ax33x22 , 若 f ' ( 1)4 , 則 a 的值等于（）A 19B 16C 13D 1033336函數43yxx在區間2,3上的最小值為（）4A 72B 36C 12D 0二、填空題1若 f ( x)x3 , f ' ( x0 )3 ，則 x0 的值為 _；2曲線 yx34 x 在點 (1, 3) 處的切線傾斜角為_；3函數 ysin

6、xx的導數為 _ ；4曲線 yln x 在點 M (e,1) 處的切線的斜率是_，切線的方程為 _ ；5函數 yx3x25x5的單調遞增區間是 _ 。三、解答題1求垂直于直線2 x6 y10 并且與曲線 yx3 3x2 5 相切的直線方程。3求函數f ( x)x55x45x31在區間1,4 上的最大值與最小值。4已知函數yax 3bx2 ，當 x1 時，有極大值 3 ；（ 1）求 a,b 的值；（ 2）求函數 y 的極小值。經典例題選講例 1.已知函數yxf (x) 的圖象如圖所示（其中f ( x) 是函數 f ( x) 的導函數），下面四個圖象中yf ( x) 的圖象大致是()例 2.已知函

7、數f ( x)x3bx2axd 的圖象過點P（ 0,2 ）, 且在點 M(1, f ( 1) 處的切線方程為6xy70 .（）求函數yf ( x) 的解析式；（）求函數yf ( x) 的單調區間 .例 4.設函數 f xx3bx2cx(x R) ，已知 g( x) f ( x) f( x) 是奇函數。（）求 b 、c 的值。（）求 g(x) 的單調區間與極值。例 5.已知 f （x） = x3ax 2bxc 在 x=1， x=2 時，都取得極值。求 a、 b 的值。3例 7：已知函數 f (x)( x2ax2a23a)ex (x R), 其中 a R（ 1）當 a0 時，求曲線 yf ( x)

8、在點 (1, f (1)處的切線的斜率；（ 2）當 a2f ( x) 的單調區間與極值。時，求函數3導數知識點歸納及應用教師一、相關概念1導數的概念略二、導數的運算1基本函數的導數公式: C0;（C為常數）xnnxn 1;(sin x)cos x ;(cos x)sin x; (ex ) ex ; (a x )ax ln a ; ln x1;x l o ga x1 log a e.x例 1：下列求導運算正確的是(A (x+1 )11B(log 2x) =1xx 2x ln 2 解析 ： A 錯， (x+1)11xx 2B1正確， (log 2x) =x ln 2C錯， (3 x ) =3x l

9、n3D錯， (x 2cosx) =2xcosx+ x 2 (-sinx)2導數的運算法則法則 1： ( uv) 'u 'v' .法則 2：( )''v uv' .若C為常數,則(Cu)'uvu)xx2C (3 ) =3 log 3 eD (xcosx) =-2xsinxCu' .法則 3： uu' v uv' （ v0）。vv2四、導數的幾何意義函數 y=f （ x）在點 x 0 處的導數的幾何意義是曲線y=f （x）在點 p（ x 0 ， f （ x 0 ）處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f （ x）在點 p

10、（x 0 ，f （ x0 ）處的切線的斜率是f （ x 0 ）。相應地，切線方程為y y 0 =f /（ x 0 ）（ x x 0 ）。例：曲線f ( x) =x3+ x -2 在p0 處的切線平行于直線y = 4 x - 1，則p0 點的坐標為（）A (1,0)B (2,8)C (1,0) 和 (1,4)D (2,8)和( 1, 4)四、導數的應用1. 函數的單調性與導數（1）如果 f ' ( x)0，則 f(x) 在此區間上為增函數；如果 f ' ( x)0 ，則 f( x) 在此區間上為減函數。（2）如果在某區間內恒有 f' ( x)0 ，則 f ( x) 為常數

11、 。例：函數321是減函數的區間為 (x xxf)( )3A (2,)B (,2)C ( ,0)D（ 0，2） 解析 ：由 f / ( x)3x26x <0，得 0<x<2函數 f( x)x33x21是減函數的區間為（0， 2）2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為 0，極值點處的導數為 0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正， 右側為負； 曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；例：函數329, 已知fxxaxxf ( x)在x3時取得極值，則a= ()( )3A 2B 3C 4D5解析 ：/x3x2ax3 ，又f (x)x3f在時取得極值( )2/( 3)3060fa

12、則 a =53最值：在區間 a ，b 上連續的函數f ( x)在 a ， b 上必有最大值與最小值。但在開區間（a，b）內連續函數f （ x）不一定有最大值，例如f ( x)x3 , x( 1,1) 。函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出來的。函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例： 函數 f (x)x 33x1 在閉區間 -3 ， 0上的最大值、最小值分別是. 解析 ：由 f ' ( x)3x

13、23 =0，得 x1，當 x1時， f /(x) >0，當 1x1 時， f / ( x) <0，當 x1時， f / (x) >0，故 f ( x)的極小值、極大值分別為f (1) 3、 f (1)1，而 f (3)17、 f (0) 1故函數 f (x)x33x 1 在 -3 ， 0上的最大值、最小值分別是3、 -17 。（數學選修1-1 ）第一章導數及其應用 基礎訓練組 一、選擇題3函數 y = x3 + x 的遞增區間是（）A (0,)B (,1)C ( ,)D(1, )4 f ( x)ax33x22 , 若 f ' ( 1)4 , 則 a 的值等于（）A 1

14、9B 16C 13D 1033336函數43yxx在區間2,3上的最小值為（）4A 72B 36C 12D 0二、填空題1若 f ( x)x3 , f ' ( x0 )3 ，則 x0 的值為 _；2曲線 yx34 x 在點 (1, 3) 處的切線傾斜角為_；3函數 ysin xx的導數為 _ ；4曲線 yln x 在點 M (e,1) 處的切線的斜率是_，切線的方程為 _ ；5函數 yx3x25x5的單調遞增區間是 _ 。三、解答題1求垂直于直線2 x6 y10 并且與曲線 yx3 3x2 5 相切的直線方程。3求函數f ( x)x55x45x31在區間1,4 上的最大值與最小值。4已

15、知函數yax 3bx2 ，當 x1 時，有極大值 3 ；（ 1）求 a,b 的值；（ 2）求函數 y 的極小值。（數學選修1-1 ）第一章導數及其應用 基礎訓練 A組一、選擇題3 Cy'= 3x2+ 1> 0 對于任何實數都恒成立4 Df ' ( x)3ax26 x, f ' (1)3a64, a1036 Dy'4x34,令y'0,4 x340, x1,當x1時, y'0;當x1時 , y'0得極小值y |x1 0,而端點的函數值y |227, y |72 ，得 ymin0yxx 3二、填空題1 1f ' (x0 ) 3x0

16、 23, x012 3y'3x24, ky'|x 11,tan1,3443 x cos xsin xy'(sin x) ' x sin x(x)'x cos xsin xx2x2x24 1 , xey0y'1 , ky' |xe1 , y11 ( x e), y1 xe5xee5e5 (,),(1,)令 y'3x22x50, 得 x,或 x 133三、解答題1解：設切點為P(a, b) ，函數 yx33x2 5 的導數為 y'3x26x切線的斜率 ky' |x a3a26a3 ，得 a1，代入到 yx33x25得

17、b3，即 P( 1, 3) ， y 33( x 1),3x y 6 0 。3解：f()5x420x31525x2(x3)(x1) ,xx當 f (x)0 得 x0 ，或 x1 ，或 x3 ， 01,4，1 1,4 ，31,4列表 :x1(1,0)0(0, 4)f ' (x)0f ( x)0又+0+1f (0)0, f ( 1)0； 右端 點處f (4)2625 ；函數 yx55x45x31 在區間 1,4 上的最大值為2625 ，最小值為 0 。4解：（ 1） y'3ax22bx,當 x1時， y' |x 13a2b0, y |x 1a b3 ，3a2b09即, a 6

18、,ba b 3（ 2） y6x39 x2 , y'18x2 18x，令 y'0，得 x0,或x1y極小值y |x 00經典例題選講例 1.已知函數yxf ( x) 的圖象如圖所示（其中f ( x) 是函數 f (x) 的導函數），下面四個圖象中yf ( x) 的圖象大致是() 解析 ：由函數yxf (x) 的圖象可知：當 x1時，xf (x) <0f( x) >0f (x)增，此時當1x0 時， xf ( x) >0， f ( x) <0，此時 f ( x) 減當0x1時，xf (x) <0，f ( x) <0，此時f (x)減當 x 1時，

19、 xf (x) >0， f ( x) >0，此時 f (x) 增故選 C例 2.已知函數f x x3bx2ax d 的 圖 象 過 點 P（ 0,2）,且在點 M(1, f ( 1) 處 的 切 線 方 程 為( )6xy70 .（）求函數yf ( x) 的解析式；（）求函數yf (x) 的單調區間 .解：（）由f ( x)的圖象經過 P（ 0， 2），知 d=2，所以()322,fxxbxcxf ( x)3x22bxc.由在M(1,f ( 1) 處的切線方程是 6xy70 ，知6f (1)70,即f (1)1, f (1)6.32bc6,即2bc3,c3.1bc2bc解得 b1.

20、0,故所求的解析式是f ( x)x33x23x2.（）( ) 3263.令3263 0,即2210.fxxxxxxx解得 x112, x212. 當 x12,或 x12時 , f ( x) 0;當 12x 12時 , f (x) 0.故f(x)x33x23x2(,12) 內是增函數，在在 (12,12)內是減函數，在(12,) 內是增函數 .例 4.設函數 fxx3bx2cx(xR) ，已知 g( x)f ( x)f( x) 是奇函數。（）求 b、 c 的值。（）求 g(x) 的單調區間與極值。解：（）fxx3bx2cx ， fx3x22bxc 。從而g ( x)f ( x) f( x) x3

21、 bx2cx(3x22bxc) x3(b3)x2(c 2b) x c 是一個奇函數，所以g(0)0得 c0 ，由奇函數定義得b3；（）由（）知g (x)x36x ，從而 g ( x)3x26，由此可知，(,2) 和(2,) 是函數 g (x) 是單調遞增區間；(2,2) 是函數 g (x) 是單調遞減區間；g( x) 在 x2 時，取得極大值，極大值為42 ，g( x) 在 x2 時，取得極小值，極小值為42 。例 5.已知 f （x） = x3ax 2bxc 在 x=1， x=2時，都取得極值。3（1）求 a、b 的值。解：（ 1）由題意 f / （x） = 3x22axb 的兩個根分別為1和23由韋達定理，得： 12=2a，