1、高中數(shù)學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)選修一圓錐曲線及方程知識(shí)點(diǎn)精匯橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定 （2）繩長-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定思考：在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）由此，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長有關(guān)(為下面離心率概念作鋪墊)由橢圓的定義可知它的基本特征，但對于這種曲線還具有哪些性質(zhì)，我們幾乎一無所知，因此需要建立橢圓的方程，以便于做進(jìn)一步的

2、認(rèn)識(shí)。2.根據(jù)定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：取過焦點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的焦距是（）.則，又設(shè)M與距離之和等于()（常數(shù)），化簡，得 ，由定義,令代入，得 ，兩邊同除得：（a>b>0），此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程， 其中注意若坐標(biāo)系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程 如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）焦點(diǎn)則變成,只要將方程中的調(diào)換，即可得（a>b>0），也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 理解：(1)所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程

3、中，都有的要求，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1;(3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2，a最大；由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值;(4)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，分母即為a2，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。在不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的情況下，橢圓方程可設(shè)為：；(5)判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的方法：由標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)；由焦點(diǎn)坐標(biāo)的寫法；(6)橢圓有互相垂直的兩條對稱軸，其焦點(diǎn)總在較長的對稱軸上，若較長的軸在x軸上，則若較長的軸在y軸上，則(7)方程均不為0且表示橢圓的條件：方程可化為所以只要同號(hào)且時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；

4、當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上；三、講解范例：例1 （教材第103頁例1）寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，2）和（0,2）且過（,）解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知，又所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為 另法： 可設(shè)所求方程，后將點(diǎn)（,）的坐標(biāo)代入可求出，從而求出橢圓方程點(diǎn)評(píng)：題（）根據(jù)定義求 若將焦點(diǎn)改為(0,-4)、（0，4）其結(jié)果如何；題（）由學(xué)生的思考與練習(xí)，總結(jié)有兩種求法：其一由定義求出長軸

5、與短軸長，根據(jù)條件寫出方程；其二是由已知焦距，求出長軸與短軸的關(guān)系，設(shè)出橢圓方程，由點(diǎn)在橢圓上的條件，用待定系數(shù)的辦法得出方程 例2 （導(dǎo)學(xué)與評(píng)價(jià)第100頁例2（2）四、課堂練習(xí)：教材第106頁練習(xí)第1、2、3題五、課堂小結(jié) ：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意以下幾點(diǎn): 橢圓的定義中, ； 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,焦點(diǎn)的位置看,的分母大小來確定； 、的幾何意義 六、課后作業(yè)：教材第106頁習(xí)題8.1 第2、3題課題：81橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）教學(xué)目的：1能正確運(yùn)用橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程解題；2學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法與定義法求曲線的方程教學(xué)重點(diǎn)：用待定系數(shù)法與定義法求曲線的方程教學(xué)難點(diǎn)：待定系數(shù)法 授

6、課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定（2）繩長-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長有關(guān)(為下面離心率概念作鋪墊)2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中（2）它所表示的橢圓

7、的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式類比，如中，由于，所以在軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在軸上(即看分母的大小) 二、講解范例：例1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2，0)和點(diǎn)(0，1).(2)焦點(diǎn)在軸上，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，10)，P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.選題意圖：訓(xùn)練待定系數(shù)法求方程的思想方法，考查橢圓上離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為長軸一端點(diǎn)等基本知識(shí).解：(1)因?yàn)闄E圓

8、的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：橢圓經(jīng)過點(diǎn)(2，0)和(0，1)故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（，）在橢圓上，10.又P到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2，c（），故c=8.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.說明：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程決定的橢圓中，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))實(shí)際即為與的值.(2)后面的學(xué)習(xí)中將證明橢圓長軸端點(diǎn)距焦點(diǎn)最遠(yuǎn)或最近.例2 已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)（，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則有 ，解得 所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例3（教材第104頁例2）已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC6，且的周長等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：以BC所在直線為軸，BC中垂線

9、為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)，根據(jù)已知條件得|AB|+|AC|=10再根據(jù)橢圓定義得所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為 （0）（特別強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)) 因?yàn)锳為ABC的頂點(diǎn)，故點(diǎn)A不在軸上，所以方程中要注明0的條件例4 （教材第105頁例3）如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段PP，求線段PP的中點(diǎn)M的軌跡（若M分 PP之比為，求點(diǎn)M的軌跡）解：（1）當(dāng)M是線段PP的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 ，即 所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是 （2）當(dāng)M分 PP之比為時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所

10、以有 ，即 所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是 可以看到：將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓。三、課堂練習(xí)：教材第106頁練習(xí)第4題四、課堂小結(jié) ：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 五、課后作業(yè)：教材第106頁習(xí)題8.1 第4、5、6題導(dǎo)學(xué)與評(píng)價(jià)第101頁 自練自查自評(píng) 第1、2題，第102頁第5、6、8、9題課題：82橢圓的簡單幾何性質(zhì)（一）教學(xué)目的：1熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點(diǎn)等簡單幾何性質(zhì)2掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，以及的相互關(guān)系3理解、掌握坐標(biāo)法中根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的一般方法教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：如何貫徹?cái)?shù)形結(jié)合思想，運(yùn)

11、用曲線方程研究幾何性質(zhì)授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一，根據(jù)曲線的條件列出方程，如果說是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質(zhì)、畫圖就是解析幾何的目的 怎樣用代數(shù)的方法來研究曲線原性質(zhì)呢？本節(jié)內(nèi)容為系統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質(zhì)提供了一個(gè)范例，因此，本節(jié)內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握應(yīng)從哪些方面來討論一般曲線的幾何性質(zhì)，從而對曲線的方程和方程的曲線彼此之間的相輔相成的辯證關(guān)系，對解析幾何的基本思想有更深的了解 通過對橢圓幾種畫法

12、的學(xué)習(xí)，能深化對橢圓定義的認(rèn)識(shí)，提高畫圖能力；通過幾何性質(zhì)的簡單的應(yīng)用，了解到如何應(yīng)用幾何性質(zhì)去解決實(shí)際問題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是橢圓的幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程；根據(jù)方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思路與方法；橢圓的幾種畫法。難點(diǎn)是橢圓的離心率、準(zhǔn)線方程及橢圓的第二定義的理解，關(guān)鍵是掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓圖形的對應(yīng)關(guān)系，理解關(guān)掌握兩種橢圓的定義的等價(jià)性根據(jù)教學(xué)大綱的安排，本節(jié)內(nèi)容分4個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，本節(jié)內(nèi)容的課時(shí)分配作如下設(shè)計(jì)：第一課時(shí)，橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、橢圓的畫法；第二課時(shí)，橢圓的第二定義、橢圓的準(zhǔn)線方程；第三課時(shí)，焦半徑公式

13、與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第四課時(shí)，橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡2標(biāo)準(zhǔn)方程：， （）3問題：（1）橢圓曲線的幾何意義是什么？（2）“范圍”是方程中變量的取值范圍，是曲線所在的位置的范圍，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的取值范圍是什么？其圖形位置是怎樣的？（3）標(biāo)準(zhǔn)形式的方程所表示的橢圓，其對稱性是怎樣的？（4）橢圓的頂點(diǎn)是怎樣的點(diǎn)？橢圓的長軸與短軸是怎樣定義的？長軸長、短軸長各是多少？的幾何意義各是什么？（5）橢圓的離心率是怎樣定義的？用什么來表示？它的范圍如何？在這個(gè)范圍內(nèi)，它的變化對橢圓有什么影響？（6）畫橢圓草

14、圖的方法是怎樣的？ 二、講解新課：由橢圓方程() 研究橢圓的性質(zhì).(利用方程研究,說明結(jié)論與由圖形觀察一致) (1)范圍: 從標(biāo)準(zhǔn)方程得出,即有,，可知橢圓落在組成的矩形中(2)對稱性:把方程中的換成方程不變，圖象關(guān)于軸對稱換成方程不變，圖象關(guān)于軸對稱把同時(shí)換成方程也不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱如果曲線具有關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中的任意兩種，則它一定具有第三種對稱原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心軸、軸叫橢圓的對稱軸從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距（3）頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)在橢圓的方程里，令得，因此橢圓和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，它們是橢圓的頂點(diǎn)令，得，因此橢圓和軸有兩

15、個(gè)交，它們也是橢圓的頂點(diǎn) 因此橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)： ，加兩焦點(diǎn)共有六個(gè)特殊點(diǎn). 叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸長分別為分別為橢圓的長半軸長和短半軸長.橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn).觀察圖示，由橢圓的對稱性知，橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等，且等于長半軸長，即，在中，即，我們把稱為橢圓的特征三角形。另外，.至此我們從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍, 對稱性, 頂點(diǎn)因而只需少量描點(diǎn)就可以較正確的作圖了。 (4)離心率:發(fā)現(xiàn)長軸相等，短軸不同，扁圓程度不同這種扁平性質(zhì)由什么來決定呢？概念：橢圓焦距與長軸長之比定義式：范圍：考察橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓

16、在時(shí)的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特例 5、光學(xué)性質(zhì)：從F1射出的光線經(jīng)橢圓反射必經(jīng)過F2.6、橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)；橢圓上到焦點(diǎn)距離最小最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)；7、通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通徑，弦的端點(diǎn)坐標(biāo)和或和通徑長；8、設(shè)是橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大；9、橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y)（y）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱之為焦點(diǎn)三角形，其周長為2（a+c）10、橢圓中有“四線”（兩條對稱軸、兩條準(zhǔn)線），“六點(diǎn)”（兩個(gè)焦點(diǎn)、四個(gè)頂點(diǎn)）應(yīng)該給于重視。焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的性質(zhì)類比可得

17、。三、講解范例：例1 （教材第109頁例1）求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程所以，因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為，離心率，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是， 將已知方程變形為，根據(jù)，在的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：01234543.93.73.22.40 先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個(gè)橢圓：【作圖規(guī)則：教材第110頁】例2（教材第110頁例2）例3（教材第110頁例3）我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道是以地心(地球的中心)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離

18、地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面2384km，并且、A、B在同一直線上，設(shè)地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程 (精確到1km)解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B、在軸上，則 |OA|O|A|63714396810|OB|O|B|637123848755解得7782.5，972.5.衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程為 四、課堂練習(xí)：教材第113頁 練習(xí)第4、5題五、課堂小結(jié) ：這節(jié)課學(xué)習(xí)了用方程討論曲線幾何性質(zhì)的思想方法；學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì)：對稱性、頂點(diǎn)、范圍、離心率；學(xué)習(xí)了橢圓的描點(diǎn)法畫圖及徒手畫橢圓草圖的方法 六、課后作業(yè)：教材第114頁 習(xí)題8.2第3、4、5題課題：82橢圓的簡單幾何性質(zhì)（二）教

19、學(xué)目的：1. 掌握橢圓范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程等幾何性質(zhì)；2理解橢圓第二定義與第一定義的等價(jià)性；3掌握根據(jù)曲線方程來研究曲線性質(zhì)的基本思路與方法；培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，概括能力；提高學(xué)生畫圖能力；提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力 教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的第二定義、橢圓的準(zhǔn)線方程教學(xué)難點(diǎn)：橢圓第二定義 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 回顧一下焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程：如果對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行適當(dāng)變形，我們會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)： ，即 同時(shí)還有 (3)觀察上述三式的結(jié)構(gòu)，說出它們各自的幾何意義,從而引出橢圓的第二定義二

20、、講解新課：1橢圓的第二定義:一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率2橢圓的準(zhǔn)線方程對于，相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線；相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線對于，相對于下焦點(diǎn)對應(yīng)著下準(zhǔn)線；相對于上焦點(diǎn)對應(yīng)著上準(zhǔn)線準(zhǔn)線的位置關(guān)系：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）其上任意點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：（分情況討論）點(diǎn)評(píng)：（1）從上面的探索與分析可知，橢圓的第二定義與第一定義是等價(jià)的，它是橢圓兩種不同的定義方式（2）橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱 判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的方法：由標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)；由焦點(diǎn)坐標(biāo)的

21、寫法；由準(zhǔn)線方程的寫法；三、講解范例：例1求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：（1） (2) 解：方程可化為 ，是焦點(diǎn)在軸上且，的橢圓所以此橢圓的準(zhǔn)線方程為 方程是焦點(diǎn)在軸上且，的橢圓所以此橢圓的準(zhǔn)線方程為 例2橢圓上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為10，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離 解：橢圓的離心率為，根據(jù)橢圓的第二定義得，點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)距離為 再根據(jù)橢圓的第一定義得，點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20812 例3橢圓的焦半徑公式：設(shè)是橢圓的一點(diǎn),和分別是點(diǎn)與點(diǎn),的距離.那么（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率推導(dǎo)方法一： ，即（左焦半徑）,（右焦半徑）推導(dǎo)方法二：，同理有焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式

22、： （ 其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）注意：焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān) 可以記為：左加右減，上減下加例4 橢圓，其上一點(diǎn)P(3,)到兩焦點(diǎn)的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程解：由橢圓的焦半徑公式，得，解得，從而有 所求橢圓方程為 四、課堂練習(xí)：五、課堂小結(jié) ：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的第二定義，橢圓兩種定義是等價(jià)的；橢圓的兩種類型的準(zhǔn)線方程也是不同的，須區(qū)別開來六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：本課時(shí)背景材料是課本例4，學(xué)生解答例4并不困難，但對例4中直線的出現(xiàn)感到突然與困難，對由此得出的第二定義與第一定義有何內(nèi)在聯(lián)系搞不清楚 本設(shè)計(jì)通過反思橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

23、的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)橢圓的第二定義 使學(xué)生明白兩種定義是等價(jià)的，消除了學(xué)生困惑 利用引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)定義的教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，加強(qiáng)了知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué) 使用多媒體輔助教學(xué)，增加了課堂教學(xué)容量，提高了課堂教學(xué)效益 課題：82橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三）教學(xué)目的：1. 了解橢圓的參數(shù)方程，了解參數(shù)方程中系數(shù)的含義2通過學(xué)習(xí)橢圓的參數(shù)方程，進(jìn)一步完善對橢圓的認(rèn)識(shí)，理解參數(shù)方程與普通方程的相互聯(lián)系并能相互轉(zhuǎn)化提高綜合運(yùn)用能力教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步鞏固和掌握由曲線求方程及由方程研究曲線的方法及橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo).教學(xué)難點(diǎn)：深入理解推導(dǎo)方程的過程.靈活運(yùn)用方程求解問題. 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課

24、時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 復(fù)習(xí)圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)。二、講解新課：1.問題：如圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以 ()為半徑作兩個(gè)圖，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作NAOX垂足為N，過點(diǎn)B作BMAN，垂足為M求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程 解答：設(shè)A的坐標(biāo)為，取 為參數(shù)，那么也就是 這就是所求點(diǎn)A的軌跡的參數(shù)方程將變形為發(fā)現(xiàn)它可化為，說明A的軌跡是橢圓2.橢圓的參數(shù)方程 注意：角不是角的幾何意義是橢圓的離心角3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程的互化。三、講解范例：例1把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為參數(shù)方程(1) (2)解：(1) (2) 例2

25、已知橢圓上的點(diǎn)P(),求的取值范圍.解：例3 已知橢圓與軸的正半軸交于A,O是原點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)M,使MAMO,求橢圓離心率的取值范圍解：A(,0)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），由MAMO得化簡得 所以 四、課堂練習(xí)：五、課堂小結(jié) ：橢圓的參數(shù)方程及形式,與普通方程的互化 橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）課題：82橢圓的簡單幾何性質(zhì)（四）直線與橢圓的位置關(guān)系解析幾何作為數(shù)學(xué)研究的重要的、有效的工具，集幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)于一體，為數(shù)學(xué)的研究帶來了方便。它的基礎(chǔ)是用代數(shù)的方法來研究幾何，從而把幾何問題的討論從定性的研究推進(jìn)到可以計(jì)算的定量的層面。從下面幾個(gè)關(guān)于直線與橢圓位置關(guān)系問題

26、中可略見一斑.研究直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是通過解直線方程與橢圓方程所組成的方程組，對解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，有兩組不同實(shí)數(shù)解（）時(shí)，直線與橢圓相交，有兩組相同實(shí)數(shù)解（）時(shí)，直線與橢圓相切，無實(shí)數(shù)解（）時(shí)，直線與橢圓相離.一、公共點(diǎn)問題通過方程判別式來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，幾何的交點(diǎn)問題與代數(shù)的方程根問題完美結(jié)合于此.例1、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系解：由得化簡整理得：當(dāng)時(shí)，得，直線與橢圓相切；當(dāng)時(shí)，得，直線與橢圓相交；當(dāng)時(shí)，得，直線與橢圓相離；例2、若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解法一：由可得，即解法二：直線恒過一定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，短半軸長，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則即當(dāng)時(shí)，橢

27、圓焦點(diǎn)在軸上，長半軸長可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即綜述：解法三：直線恒過一定點(diǎn)要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即評(píng)述由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接導(dǎo)致兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去或得到關(guān)于或的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交（2）直線與橢圓相切（3）直線與橢圓相離，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最基本的工具。或者可首先判斷直線是否過定點(diǎn)，并且初定定點(diǎn)在橢圓內(nèi)、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例2中法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點(diǎn)在橢圓內(nèi)

28、部這一特征：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則二、弦長問題設(shè)直線，橢圓方程，直線與橢圓相交與A、B兩點(diǎn)，則求|AB|的長度問題叫做弦長問題，具體求法如下：由聯(lián)立消去得的一元二次方程：設(shè)，則若聯(lián)立消去得的一元二次方程：設(shè)，則例3、已知橢圓：，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長。解：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。由題意知：與聯(lián)立消去y得：。設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn)，所以|AB|=例4、已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求ABF2的面積。解法一：由題可知：直線方程為由

29、可得，解法二：到直線AB的距離由可得，又解法三：令則，其中到直線AB的距離由可得，評(píng)述在利用弦長公式（k為直線斜率）或焦（左）半徑公式時(shí)，應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題。例5已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且交直線y=x+1于P,Q兩點(diǎn)，若OP OQ，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）>0，即m+nmn>0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x

30、1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦長公式得2·=（）2，將m+n=2代入，得m·n=. 或解得 m=， m=，n= n=. 橢圓方程為+y2=1或x2+=1.三、中點(diǎn)問題例6、已知中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離為2，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求橢圓的方程解法一：令橢圓方程為，由題得：，由可得，又即 ,橢圓方程為解法二：令橢圓方程為，由題得：，由作差得又即 橢圓方程為例7、若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且OAOB，求橢圓的方程.剖析：欲求

31、橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，由OM的斜率為.OAOB，易得a、b的兩個(gè)方程.解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.（a+b）x22bx+b1=0.由 x+y=1，ax2+by2=1，=，=1=.M（，）.kOM=，b=a. OAOB，·=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2. 由得a=2（1），b=2（1）.所求方程為2（1）x2+2（1）y2=1.評(píng)述：直線與橢圓相交的問題，通常采取設(shè)而不求，即設(shè)出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真

32、的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題.由OAOB得x1x2+y1y2=0是解決本題的關(guān)鍵.例8、已知橢圓，求以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程。解：設(shè)弦的端點(diǎn)則：故故直線方程為：評(píng)述橢圓中心定，焦點(diǎn)定，所以橢圓的位置定，而且由準(zhǔn)線方程可得一個(gè)方程，還有一個(gè)方程怎么找？根據(jù)直線與橢圓相交，可聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理解決，事實(shí)上就是把交點(diǎn)問題化歸為方程根的問題，有關(guān)中點(diǎn)問題還可設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減，式中含有三個(gè)未知量，但直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，同樣可得到a與b的關(guān)系（點(diǎn)差法）從而解決問題，但兩者又各有弊端：韋達(dá)定理解決過程中易漏解，需關(guān)

33、注直線的斜率問題；點(diǎn)差法則在確定范圍方面略顯不足。四、綜合問題例9、已知三角形ABC的頂點(diǎn)A,B在橢圓上，C在直線上，且（1）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長及三角形ABC的面積；（2）當(dāng),且斜邊AC的長最大時(shí)，求AB所在的直線方程。解：（1）易知,AB:由解得，故 又兩平行線間的距離 所以三角形ABC的面積為：（2）設(shè)AB:+m，由得，設(shè)則所以又所以當(dāng)m=-1時(shí)，AC邊最長，此時(shí)直線方程為：x-y-1=0例10、已知橢圓C：為其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，能否在橢圓C上找到一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是|MF1|和|MF2|的比例中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。解：由條件

34、知：，令則又|MF1|+|MF2|=2a=4，則|MF2|=4-若M存在，則有即為，化為解得：（舍去），而左準(zhǔn)線為橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離的最小值是2，故M點(diǎn)不存在。課題：82橢圓的簡單幾何性質(zhì)（五）橢圓的應(yīng)用1、有相同離心率的橢圓系方程的設(shè)法：與橢圓有相同離心率的橢圓系方程可設(shè)為：>0，和>0，理由：橢圓的離心率是，方程>0，的離心率也是；>0，的離心率也是。【例】求經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)且與橢圓+=1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：設(shè)所求橢圓方程為+=k (k>0) ,或+= (>0)，將點(diǎn)M（1，2）代入解得：，故所求橢圓方程為或2、共焦點(diǎn)的橢圓系方程的

35、設(shè)法：與橢圓（）共焦點(diǎn)的橢圓系方程可設(shè)為：【例】求與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程。解：因?yàn)闄E圓方程可化為：，設(shè)所求橢圓方程為：將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程解得：或（舍） 故所求橢圓方程為：3、焦點(diǎn)三角形的面積：【例】 如下圖，設(shè)E：+=1（ab0）的焦點(diǎn)為F1與F2，且PE，F(xiàn)1PF2=2.求證：PF1F2的面積S=b2tan.證明：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，則S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2

36、.所以r1r2=.這樣即有S=·sin2=b2=b2tan.評(píng)述：橢圓中，解與PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a來解決.4、最值問題【例1】已知滿足，求的最大值。【例1】解：由條件可設(shè)故令則的最大值為【例2】求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離【例2】解法一：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為：聯(lián)立化簡得（*） ，故切線方程為：這兩條切線到已知直線的距離分別是故最短距離為解法二：（橢圓的參數(shù)方程求解）【例3】設(shè)，為橢圓+=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，當(dāng) 取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo).【例3】解：故故故取得最小值時(shí)， 取得最小值

37、時(shí)，只有P、M、N三點(diǎn)共線時(shí)才會(huì)取得最小值.此時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為【例4】設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則F1AB的面積最大為（ ） A. B. C. D. 【例4】解析：如圖，由橢圓對稱性知道O為AB的中點(diǎn)，則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。點(diǎn)評(píng)：抓住F1AB中為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。【例5】已知點(diǎn) 在圓 上移動(dòng)，點(diǎn) 在橢圓 上移動(dòng)，求 的最大值【例5】解析：設(shè)橢圓上一點(diǎn) ，又 ，于是 而 當(dāng) 時(shí)， 有最大值5故 的最大值為6點(diǎn)評(píng)：橢圓中的最值問題常轉(zhuǎn)化為二次

38、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題5、離心率問題：越接近1，則就越接近，從而越小，橢圓越扁；反之，越接近0，則就越接近0，從而越近于，橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形這時(shí)就變?yōu)閳A，此時(shí)方程即為.解關(guān)于離心率的問題關(guān)鍵在作圖，找出間的關(guān)系。【例1】 已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率.剖析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個(gè)量表示.本題沒有具體數(shù)值，因此只需把a(bǔ)、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.【例1】解：設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），F(xiàn)1（c

39、，0），c2=a2b2，則P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.評(píng)述：由題意準(zhǔn)確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.【例2】P是橢圓+=1（ab0）上一點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知求橢圓的離心率。【例2】解：由條件知，故為直角三角形，故，即故【例3】（1）在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）(A) (B) (C) (D)（2）設(shè)橢圓=1（ab0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是 。【例3】解析：（1）不妨

40、設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e，選B。（2）解析：由題意知過F1且垂直于x軸的弦長為，即e=。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的基本性質(zhì)。【例4】若橢圓短軸端點(diǎn)為滿足，求橢圓離心率。解析：練習(xí)：1. 在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為 2. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是3.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是4. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距

41、為2，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 5.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率6.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于7.已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為 8.已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是 9.設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，它與橢圓中心的連線和與長軸一個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍為 10、若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為,則橢圓的離心率為 11.已知?jiǎng)t當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓的的離心率為 12. 設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 （為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是13.已知矩形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。14.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是15.橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是16.設(shè)分別是橢圓（）的左、右