1、會計學1復合函數求導法復合函數求導法yzxz ,復合函數的微分法則就無能為力了. 為此還是要介紹多元復合函數的微分法和隱函數的微分法.如 z=f(x2y2, xy) 是由z=f(u, v)及 u=x2y2, v=xy復 合而成的. 由于 f 沒有具體給出, 在求 時, 一元 一、鏈式法則 定理: 如果函數 u=(t) 及 v=(t) 都在點 t 處可導, 函數z=f(u, v)在對應點(u, v)處具有連續偏導數, 則復合函數 z=f(t), (t) 在對應點 t 處可導, 且其導數可用下列公式計算:dtdvvzdtduuzdtdz 證: 設自變量 t 獲得增量t , 則 u=(t+t)(t)

2、, v=(t+t)(t); 第1頁/共28頁,21vuvvzuuzz tvtutvvztuuztz 21 ,dtdutu ,tdvdtv .lim0tddvvztdduuztztddzt 由于函數z=f(u, v)在對應點(u, v)處有連續偏導數, 則當u0, v0時, 10, 2 0. 有 當 t0時, u0, v0且 因此 上述定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況. 如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 第2頁/共28頁zuvwt以上公式中的導數 稱為dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情況: z=f(x, y), (x, y). 經常將函數, 中間

3、變量, 自變量之間的關系用圖表示. 稱為變量關系圖. 如果 u=(x, y)及 v=(x, y)都在點(x, y)具有對x和 y的偏導數, 且函數 z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續偏導數, 則復合函數z=f(x, y), (x, y)在對應點(x, y)的兩個偏導數存在, 且可用下列公式計算:,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 以上導出的四個公式習慣稱為鏈式法則. 第3頁/共28頁這兩個公式的特征: (1) 函數z=f(x, y), (x, y)有兩個自變量x和y, 故 法則中包含 yzxz ,兩個公式; zuvxy變量關系圖為: (2) 由于在函數復合過程中有兩個中

4、間變量u和v, 故, 法則中每一個公式都是兩項之和, 這兩項分別含有 .,vzuz (3) 每一項的構成與一元復合函數的鏈導法則類似, 即“函數對中間變量的偏導數乘以中間變量對自變量的偏導數”.多元復合函數的求導法則簡言之即: “分道相加, 連線相乘”. 第4頁/共28頁 類似地再推廣, 設u=(x, y), v=(x, y)及w=(x, y)都在點(x, y)具有對x和y的偏導數, 函數z=f(u, v, w)在對應點(u, v, w)的偏導數連續, 則復合函數z=f(x, y), (x, y), (x, y)在點(x, y)的兩個偏導數存在, 且可用下列公式計算,xwwzxvvzxuuzx

5、z ywwzyvvzyuuzyz zwvuyx特殊地 z=f(u, x, y), u=(x, y), 即z=f(x, y), x, y, 令 v = x, w = y. 則 , 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 ywuyxz11第5頁/共28頁,xfxuufxz .yfyuufyz 區別類似,vzxuuzxz .wzyuuzyz 由于 v=x, w=y. 記,vzxf .wzyf 則把z=f(u, x, y)中的u及y看作不變而對x的偏導數.把復合函數z=f(x, y), x, y中的y看作不變而對x的偏導數.兩者的區別 此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情形. 如 z

6、= f (u1, u2, , um)ui = ui(x1, x2, , xn)( i = 1, 2, , m )第6頁/共28頁則 ), 2 , 1( ,1njxuuzxzjimiij 從以上推廣中可以得出: 有多少自變量就有多少個公式; 所有公式中兩兩乘積的項數等于中間變量的個數.關于多元復合函數求偏導問題 這是一項基本技能, 要求熟練掌握, 尤其是求二階偏導數, 既是重點又是難點. 對求偏導公式不求強記, 而要切實做到徹底理解. 注意以下幾點將會有助于領會和理解公式, 在解題時自如地運用公式. 用圖示法表示出函數的復合關系; 清楚函數對某個自變量的偏導數的結構(項數及項的構成);第7頁/共

7、28頁 求抽象函數的偏導數時, 一定要設中間變量; 注意引用這些公式的條件: 外層函數可微(偏導數連續)內層函數偏導數存在. fuv, fvu的合并問題視題設條件而定. 弄清 fu(u, v)和fv(u, v)的結構是求抽象的復合函數二階偏導數的關鍵, 即fu(u, v)和fv(u, v)仍是復合函數, 且復合結構與f(u, v)完全相同, 即fu(u, v)和fv(u, v)仍是以u, v為中間變量, 以x, y為自變量的復合函數. 因此求它們關于x, y 的偏導數時必須使用鏈式法則.),(),(),(vufvufvufvuuvxyxvfxufvufxxvfxufvufxvvvuvuvuuu

8、 ),(),(第8頁/共28頁 在具體計算中最容易出錯的地方是對 fu(u, v) 和fv(u, v)再求偏導數這一步. 原因就是不注意 fu(u, v)和fv(u, v)是與f(u, v)具有相同結構的復合函數. 特別是在使用符號 時, 會誤認為其僅為u的函數, 而造成漏項.uz .,yzxz 例1: 設 z = eu sin v, 而 u = xy, v = x + y, 求 解:1cossin veyveuu),cossin(vvyeu 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 第9頁/共28頁例2: 設 z = uv+sin

9、 t , 而 u = e t , v = cos t, 求 .dtdz解: z= f(u, v, t)=uv+sin t , u=u(t)=e t , v=v(t)=cos t, tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 則zuvt.,tzsz 例3: 設z=f(u, v), u=u(x, y), v=v(x, y), x=x(s, t), y=y(s, t)均滿足復合函數求偏導數的條件, 計算(兩重復合問題) 解: 復合函數的變量關系圖 第10頁/共28頁由鏈式法則: ,svvzsuuzsz ,syy

10、usxxusu ,syyvsxxvsv 故).()(syyvsxxvvzsyyusxxuuzsz .syyvvzsxxvvzsyyuuzsxxuuzsz 即同理可得: )()(tyyvtxxvvztyyutxxuuztz .tyyvvztxxvvztyyuuztxxuuztz 即zuvxyst第11頁/共28頁.,2zxwxw 例4: 設 w=f( x+y+z, xyz )具有二階連續偏導數, 求 解: 令 u= x+y+z, v= xyz, 記 ,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有 ,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fzyf zxw 2)(21fzy

11、fz ;221zfzyfyzf 則zf 1zvvfzuuf 11;1211fyxf zf 2zvvfzuuf 22;2221fyxf 而第12頁/共28頁于是 zxw 21211fyxf 2fy )(2221fyxfzy .)(22221211fyfzyxfzxyf 二、全微分形式不變性 .dvvzduuzdz .dyyzdxxzdz 設函數 z = f(u, v) 具有連續偏導數, 則有全微分: 當 u=u(x, y), v=v(x, y)時, 有 全微分形式不變性的實質: 無論 z 是自變量 x, y 的函數, 還是中間變量 u, v 的函數, 它的全微分形式是一樣的.第13頁/共28頁d

12、yyzdxxzdz dxxvvzxuuz)( dyyvvzyuuz)( 事實上, )(dyyudxxuuz )(dyyvdxxvvz duuz .dvvz 利用全微分形式不變性, 在逐步作微分運算的過程中, 不論變量間的關系如何錯綜復雜, 都可以不加辨認和區分, 而一律作為自變量來處理, 且作微分運算的結果對自變量的微分dx, dy, dz, 來說是線性的. 從而為解題帶來很多方便, 而且也不易出錯.第14頁/共28頁uytxzxyyfxfxu xtxxy xtyfxyfxfxu 例5: 設u=f(x, y, z), y=(x, t), t =(x, z), 各函數滿足求偏導的條件, 求.xu

13、 解一: 復合函數變量間的關系圖: 則而所以 解二: 這里變量間的關系比較亂, 用全微分來解. 由全微分形式的不變性: dzzfdyyfdxxfdu 第15頁/共28頁dzzftdtdxxyfdxxf dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf )( 注意到 x, z 是獨立自變量, 故 由全微分的必要條件定理得: xtyfxyfxfxu zfztyfzu dxxtyfxyfxfdu)( dzzfztyf)( 注: 解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯. 第16頁/共28頁 1、鏈式法則: 分三種情況, 特別要注意課中所講的特殊情況;2、全微分形式不變性: 理解其實質. 三、小 結 第17頁

14、/共28頁思考題解答 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 不相同. 等式左端的 z 是作為一個自變量 x 的函數, 而等式右端最后一項的 f 是作為u, v, x的三元函數. 寫出來為: 設 z =f(u, v, x), u=(x), v=(x), 則 思考題 ,xfdxdvvfdxduufdxdz 試問 與 是否相同? 為什么? dxdzxf 第18頁/共28頁第四節 復合函數求導法則第19頁/共28頁一、中間變量均為一元函數dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導數 稱為dtdz如果函數u(t)及v(t)都在點t可導 函數z

15、f(u v)在對應點(u, v)具有連續偏導數 則復合函數zf(t) (t)在點t可導 且有dtdvvzdtduuzdtdz 設zf(u, v, w), uu(t), vv(t), ww(t), 則 第20頁/共28頁二、中間變量均為多元函數 定理2： 如果函數u(x y) v(x y)都在點(x y)具有對x及y的偏導數 函數zf(u v)在對應點(u v)具有連續偏導數 則復合函數zf(x y) (x y)在點(x y)的兩個偏導數存在 且有 xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ， . 設zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 則 xwwzxvvzxuuzxz

16、 , ywwzyvvzyuuzyz .第21頁/共28頁例例 1 1 設設vezusin ，而，而xyu ，yxv ，求求xz 和和yz . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 設zf(u v) u(x y) v(x y) 則dtdvvzdtduuzdtdz 設zf(u v) u(t) v(t) 則 (1)設 zf(u v) u(x y) v(y) 則xz？yz？ (2)設 zf(u x y) 且 u(x y) 則xz？yz？ 三、中間變量既有一元函數，又有多元函數第22頁/共28頁特殊地),(yxufz 其中),(yxu ,xfxuufxz .yfyuufyz 兩者的區別把把復復合合

17、函函數數,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數區別類似例例 2 2： 設設tuvzsin ， 而， 而teu ，tvcos ， 求全導數， 求全導數dtdz. 第23頁/共28頁例3 ：設 而 ，求 和 。222),(zyxezyxfu yxzsin2 xu yu 的結構是求的復合函數的的關鍵。 ),(),(vufvufvu 弄清 ),(),(vufvufvu即仍是),(22xyeyxfz 具具中中fyzxz ,(其有一階連續偏導數),求例4第24頁/共28頁 例例 5 5 設設),(xyzzyxfw ，f具有二階連續具有二階連續偏導數，求偏導數，求xw 和和zxw 2. . 全微分形式不變性的實質： 無論 是自變量 的函數還是中間變量 的函數，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、例3 ：設 而 ，求 和 。（用全微分形式不變性來做）222),(zyxezyxfu yxzsin2 xu yu